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chapter_graph/graph/index.html
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@@ -3444,12 +3444,12 @@ E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline
G & = \{ V, E \} \newline
\end{aligned}
\]</div>
<p>如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。如图 9-1 所示，<strong>相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高</strong>，从而更为复杂。</p>
<p>如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作一种从链表拓展而来的数据结构。如图 9-1 所示，<strong>相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高</strong>，因而更为复杂。</p>
<p><a class="glightbox" href="../graph.assets/linkedlist_tree_graph.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="链表、树、图之间的关系" class="animation-figure" src="../graph.assets/linkedlist_tree_graph.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 9-1 &nbsp; 链表、树、图之间的关系 </p>
<h2 id="911">9.1.1 &nbsp; 图常见类型与术语<a class="headerlink" href="#911" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>根据边是否具有方向，可分为图 9-2 所示的「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。</p>
<p>根据边是否具有方向，可分为「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」，如图 9-2 所示。</p>
<ul>
<li>在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。</li>
<li>在有向图中，边具有方向性，即 <span class="arithmatex">\(A \rightarrow B\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(A \leftarrow B\)</span> 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。</li>
@@ -3457,7 +3457,7 @@ G &amp; = \{ V, E \} \newline
<p><a class="glightbox" href="../graph.assets/directed_graph.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="有向图与无向图" class="animation-figure" src="../graph.assets/directed_graph.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 9-2 &nbsp; 有向图与无向图 </p>
<p>根据所有顶点是否连通，可分为图 9-3 所示的「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。</p>
<p>根据所有顶点是否连通，可分为「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」，如图 9-3 所示。</p>
<ul>
<li>对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。</li>
<li>对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。</li>
@@ -3465,7 +3465,7 @@ G &amp; = \{ V, E \} \newline
<p><a class="glightbox" href="../graph.assets/connected_graph.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="连通图与非连通图" class="animation-figure" src="../graph.assets/connected_graph.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 9-3 &nbsp; 连通图与非连通图 </p>
<p>我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到图 9-4 所示的「有权图 weighted graph」。例如在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。</p>
<p>我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到如图 9-4 所示的「有权图 weighted graph」。例如在“王者荣耀”等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。</p>
<p><a class="glightbox" href="../graph.assets/weighted_graph.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="有权图与无权图" class="animation-figure" src="../graph.assets/weighted_graph.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 9-4 &nbsp; 有权图与无权图 </p>
@@ -3489,16 +3489,16 @@ G &amp; = \{ V, E \} \newline
<li>对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。</li>
<li>将邻接矩阵的元素从 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 替换为权重，则可表示有权图。</li>
</ul>
<p>使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。然而，矩阵的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> ，内存占用较多。</p>
<p>使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查改操作的效率很高，时间复杂度均为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。然而，矩阵的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> ，内存占用较多。</p>
<h3 id="2">2. &nbsp; 邻接表<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>「邻接表 adjacency list」使用 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 条链表对应顶点 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。图 9-6 展示了一个使用邻接表存储的图的示例。</p>
<p>「邻接表 adjacency list」使用 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个链表对应顶点 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（与该顶点相连的顶点）。图 9-6 展示了一个使用邻接表存储的图的示例。</p>
<p><a class="glightbox" href="../graph.assets/adjacency_list.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="图的邻接表表示" class="animation-figure" src="../graph.assets/adjacency_list.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 9-6 &nbsp; 图的邻接表表示 </p>
<p>邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 <span class="arithmatex">\(n^2\)</span> ，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。</p>
<p>观察图 9-6 ，<strong>邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率</strong>。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 优化至 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降低至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</p>
<p>观察图 9-6 ，<strong>邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似的方法来优化效率</strong>。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 优化至 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</p>
<h2 id="913">9.1.3 &nbsp; 图常见应用<a class="headerlink" href="#913" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>如表 9-1 所示，许多现实系统都可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。</p>
<p>如表 9-1 所示，许多现实系统可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。</p>
<p align="center"> 表 9-1 &nbsp; 现实生活中常见的图 </p>
<div class="center-table">