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chapter_graph/graph/index.html

@@ -1649,6 +1649,8 @@ G & = \{ V, E \} \newline
 \end{aligned}
 \]</div>
 <p><img alt="链表、树、图之间的关系" src="../graph.assets/linkedlist_tree_graph.png" /></p>
+<p align="center"> Fig. 链表、树、图之间的关系 </p>
+
 <p>那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作结点，把「边」看作连接各个结点的指针，则可将「图」看成一种从「链表」拓展而来的数据结构。<strong>相比线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，也从而更为复杂</strong>。</p>
 <h2 id="911">9.1.1. &nbsp; 图常见类型<a class="headerlink" href="#911" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。</p>
@@ -1657,14 +1659,20 @@ G &amp; = \{ V, E \} \newline
 <li>在有向图中，边是有方向的，即 <span class="arithmatex">\(A \rightarrow B\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(A \leftarrow B\)</span> 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系；</li>
 </ul>
 <p><img alt="有向图与无向图" src="../graph.assets/directed_graph.png" /></p>
+<p align="center"> Fig. 有向图与无向图 </p>
+
 <p>根据所有顶点是否连通，分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。</p>
 <ul>
 <li>对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点；</li>
 <li>对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达；</li>
 </ul>
 <p><img alt="连通图与非连通图" src="../graph.assets/connected_graph.png" /></p>
+<p align="center"> Fig. 连通图与非连通图 </p>
+
 <p>我们可以给边添加“权重”变量，得到「有权图 Weighted Graph」。例如，在王者荣耀等游戏中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以使用有权图来表示。</p>
 <p><img alt="有权图与无权图" src="../graph.assets/weighted_graph.png" /></p>
+<p align="center"> Fig. 有权图与无权图 </p>
+
 <h2 id="912">9.1.2. &nbsp; 图常用术语<a class="headerlink" href="#912" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <ul>
 <li>「邻接 Adjacency」：当两顶点之间有边相连时，称此两顶点“邻接”。</li>
@@ -1677,6 +1685,8 @@ G &amp; = \{ V, E \} \newline
 <p>设图的顶点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 <span class="arithmatex">\(n \times n\)</span> 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 来表示两个顶点之间有边或无边。</p>
 <p>如下图所示，记邻接矩阵为 <span class="arithmatex">\(M\)</span> 、顶点列表为 <span class="arithmatex">\(V\)</span> ，则矩阵元素 <span class="arithmatex">\(M[i][j] = 1\)</span> 代表着顶点 <span class="arithmatex">\(V[i]\)</span> 到顶点 <span class="arithmatex">\(V[j]\)</span> 之间有边，相反地 <span class="arithmatex">\(M[i][j] = 0\)</span> 代表两顶点之间无边。</p>
 <p><img alt="图的邻接矩阵表示" src="../graph.assets/adjacency_matrix.png" /></p>
+<p align="center"> Fig. 图的邻接矩阵表示 </p>
+
 <p>邻接矩阵具有以下性质：</p>
 <ul>
 <li>顶点不能与自身相连，因而邻接矩阵主对角线元素没有意义。</li>
@@ -1687,6 +1697,8 @@ G &amp; = \{ V, E \} \newline
 <h3 id="_2">邻接表<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>「邻接表 Adjacency List」使用 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个链表来表示图，链表结点表示顶点。第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 条链表对应顶点 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，其中存储了所有与该顶点相连的顶点。</p>
 <p><img alt="图的邻接表表示" src="../graph.assets/adjacency_list.png" /></p>
+<p align="center"> Fig. 图的邻接表表示 </p>
+
 <p>邻接表仅存储存在的边，而边的总数往往远小于 <span class="arithmatex">\(n^2\)</span> ，因此更加节省空间。但是，因为在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，所以其时间效率不如邻接矩阵。</p>
 <p>观察上图发现，<strong>邻接表结构与哈希表「链地址法」非常相似，因此我们也可以用类似方法来优化效率</strong>。比如，当链表较长时，可以把链表转化为「AVL 树」，从而将时间效率从 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 优化至 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ，还可以通过中序遍历获取有序序列；还可以将链表转化为 HashSet（即哈希表），将时间复杂度降低至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</p>
 <h2 id="914">9.1.4. &nbsp; 图常见应用<a class="headerlink" href="#914" title="Permanent link">&para;</a></h2>

chapter_graph/graph_traversal/index.html

@@ -1661,6 +1661,8 @@
 <h2 id="931">9.3.1. &nbsp; 广度优先遍历<a class="headerlink" href="#931" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p><strong>广度优先遍历优是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张</strong>。具体地，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，随后遍历下个顶点的所有邻接顶点，以此类推……</p>
 <p><img alt="图的广度优先遍历" src="../graph_traversal.assets/graph_bfs.png" /></p>
+<p align="center"> Fig. 图的广度优先遍历 </p>
+
 <h3 id="_1">算法实现<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS “由近及远”的思想是异曲同工的。</p>
 <ol>
@@ -1878,6 +1880,8 @@
 <h2 id="932">9.3.2. &nbsp; 深度优先遍历<a class="headerlink" href="#932" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p><strong>深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式</strong>。具体地，从某个顶点出发，不断地访问当前结点的某个邻接顶点，直到走到尽头时回溯，再继续走到底 + 回溯，以此类推……直至所有顶点遍历完成时结束。</p>
 <p><img alt="图的深度优先遍历" src="../graph_traversal.assets/graph_dfs.png" /></p>
+<p align="center"> Fig. 图的深度优先遍历 </p>
+
 <h3 id="_3">算法实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>这种“走到头 + 回溯”的算法形式一般基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 <code>visited</code> 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:10"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_3_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label></div>