CS_learn/hello-algo
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chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md
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@@ -18,8 +18,8 @@ status: new
原问题定义为从 `preorder` 和 `inorder` 构建二叉树。我们首先从分治的角度分析这道题：
- **问题可以被分解**：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每个子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
- **子问题是独立的**：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历或后序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
- **子问题的解可以合并**：一旦我们得到了左子树和右子树，我们可以将它们链接到根节点上，从而得到原问题的解。
- **子问题是独立的**：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
- **子问题的解可以合并**：一旦得到了左子树和右子树（子问题的解），我们就可以将它们链接到根节点上，得到原问题的解。
### 如何划分子树
@@ -30,29 +30,29 @@ status: new
- 前序遍历：`[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]` ，例如上图 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` ；
- 中序遍历：`[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]` ，例如上图 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` ；
以上图数据为例，我们可以通过以下三步得到上述的划分结果：
以上图数据为例，我们可以通过以下步骤得到上述的划分结果：
1. 前序遍历的首元素 3 为根节点的值；
2. 查找根节点在 `inorder` 中的索引，基于该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` ；
3. 根据 `inorder` 划分结果，可得左子树和右子树分别有 1 个和 3 个节点，从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` ；
1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值；
2. 查找根节点 3 在 `inorder` 中的索引，利用该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` ；
3. 根据 `inorder` 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` ；
![在前序和中序遍历中划分子树](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png)
<p align="center"> Fig. 在前序和中序遍历中划分子树 </p>
### 使用指针描述子树区间
### 基于变量描述子树区间
至此，**我们已经推导出根节点、左子树、右子树在 `preorder` 和 `inorder` 中的索引区间**。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量：
根据以上划分方法，**我们已经得到根节点、左子树、右子树在 `preorder` 和 `inorder` 中的索引区间**。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量：
- 将当前树的根节点在 `preorder` 中的索引记为 $i$ ；
- 将当前树的根节点在 `inorder` 中的索引记为 $m$ ；
- 将当前树在 `inorder` 中的索引区间记为 $[l, r]$ ；
下表整理了根节点、左子树和右子树的索引区间在这些变量下的具体表示。
如下表所示，通过以上变量即可表示根节点在 `preorder` 中的索引，以及子树在 `inorder` 中的索引区间。
<div class="center-table" markdown>
| | 子树根节点在 `preorder` 中的索引 | 子树在 `inorder` 中的索引区间 |
| | 根节点在 `preorder` 中的索引 | 子树在 `inorder` 中的索引区间 |
| ------ | -------------------------------- | ----------------------------- |
| 当前树 | $i$ | $[l, r]$ |
| 左子树 | $i + 1$ | $[l, m-1]$ |
@@ -68,7 +68,7 @@ status: new
### 代码实现
接下来就可以实现代码了。为了提升查询 $m$ 的效率，我们借助一个哈希表 `hmap` 来存储 `inorder` 列表元素到索引的映射。
为了提升查询 $m$ 的效率，我们借助一个哈希表 `hmap` 来存储数组 `inorder` 中元素到索引的映射。
=== "Java"
@@ -282,7 +282,7 @@ status: new
[class]{}-[func]{buildTree}
```
下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边是在向上“归”的过程中建立的。
下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。
=== "<1>"
![构建二叉树的递归过程](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step1.png)