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chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md

@@ -5,7 +5,7 @@ status: new
 
 # 14.2   动态规划问题特性
 
-在上节中，我们学习了动态规划是如何通过子问题分解来求解问题的。实际上，子问题分解是一种通用的算法思路，在分治、动态规划、回溯中的侧重点不同：
+在上节中，我们学习了动态规划是如何通过子问题分解来求解问题的。实际上，子问题分解是一种通用的算法思路，在分治、动态规划、回溯中的侧重点不同。
 
 - 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的解，最终得到原问题的解。
 - 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在分解过程中会出现许多重叠子问题。
@@ -21,13 +21,13 @@ status: new
 
     给定一个楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶，每一阶楼梯上都贴有一个非负整数，表示你在该台阶所需要付出的代价。给定一个非负整数数组 $cost$ ，其中 $cost[i]$ 表示在第 $i$ 个台阶需要付出的代价，$cost[0]$ 为地面起始点。请计算最少需要付出多少代价才能到达顶部？
 
-如图 14-6 所示，若第 $1$ , $2$ , $3$ 阶的代价分别为 $1$ , $10$ , $1$ ，则从地面爬到第 $3$ 阶的最小代价为 $2$ 。
+如图 14-6 所示，若第 $1$、$2$、$3$ 阶的代价分别为 $1$、$10$、$1$ ，则从地面爬到第 $3$ 阶的最小代价为 $2$ 。
 
 ![爬到第 3 阶的最小代价](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_example.png)
 
 <p align="center"> 图 14-6 &nbsp; 爬到第 3 阶的最小代价 </p>
 
-设 $dp[i]$ 为爬到第 $i$ 阶累计付出的代价，由于第 $i$ 阶只可能从 $i - 1$ 阶或 $i - 2$ 阶走来，因此 $dp[i]$ 只可能等于 $dp[i - 1] + cost[i]$ 或 $dp[i - 2] + cost[i]$ 。为了尽可能减少代价，我们应该选择两者中较小的那一个，即：
+设 $dp[i]$ 为爬到第 $i$ 阶累计付出的代价，由于第 $i$ 阶只可能从 $i - 1$ 阶或 $i - 2$ 阶走来，因此 $dp[i]$ 只可能等于 $dp[i - 1] + cost[i]$ 或 $dp[i - 2] + cost[i]$ 。为了尽可能减少代价，我们应该选择两者中较小的那一个：
 
 $$
 dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
@@ -35,11 +35,11 @@ $$
 
 这便可以引出最优子结构的含义：**原问题的最优解是从子问题的最优解构建得来的**。
 
-本题显然具有最优子结构：我们从两个子问题最优解 $dp[i-1]$ , $dp[i-2]$ 中挑选出较优的那一个，并用它构建出原问题 $dp[i]$ 的最优解。
+本题显然具有最优子结构：我们从两个子问题最优解 $dp[i-1]$ 和 $dp[i-2]$ 中挑选出较优的那一个，并用它构建出原问题 $dp[i]$ 的最优解。
 
 那么，上节的爬楼梯题目有没有最优子结构呢？它的目标是求解方案数量，看似是一个计数问题，但如果换一种问法：“求解最大方案数量”。我们意外地发现，**虽然题目修改前后是等价的，但最优子结构浮现出来了**：第 $n$ 阶最大方案数量等于第 $n-1$ 阶和第 $n-2$ 阶最大方案数量之和。所以说，最优子结构的解释方式比较灵活，在不同问题中会有不同的含义。
 
-根据状态转移方程，以及初始状态 $dp[1] = cost[1]$ , $dp[2] = cost[2]$ ，我们就可以得到动态规划代码。
+根据状态转移方程，以及初始状态 $dp[1] = cost[1]$ 和 $dp[2] = cost[2]$ ，我们就可以得到动态规划代码。
 
 === "Java"
 
@@ -455,7 +455,7 @@ $$
 
 不难发现，此问题已不满足无后效性，状态转移方程 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 也失效了，因为 $dp[i-1]$ 代表本轮跳 $1$ 阶，但其中包含了许多“上一轮跳 $1$ 阶上来的”方案，而为了满足约束，我们就不能将 $dp[i-1]$ 直接计入 $dp[i]$ 中。
 
-为此，我们需要扩展状态定义：**状态 $[i, j]$ 表示处在第 $i$ 阶、并且上一轮跳了 $j$ 阶**，其中 $j \in \{1, 2\}$ 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 $1$ 阶还是 $2$ 阶，我们可以据此来决定下一步该怎么跳：
+为此，我们需要扩展状态定义：**状态 $[i, j]$ 表示处在第 $i$ 阶、并且上一轮跳了 $j$ 阶**，其中 $j \in \{1, 2\}$ 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 $1$ 阶还是 $2$ 阶，我们可以据此来决定下一步该怎么跳。
 
 - 当 $j$ 等于 $1$ ，即上一轮跳了 $1$ 阶时，这一轮只能选择跳 $2$ 阶。
 - 当 $j$ 等于 $2$ ，即上一轮跳了 $2$ 阶时，这一轮可选择跳 $1$ 阶或跳 $2$ 阶。
@@ -702,11 +702,11 @@ $$
     }
     ```
 
-在上面的案例中，由于仅需多考虑前面一个状态，我们仍然可以通过扩展状态定义，使得问题恢复无后效性。然而，许多问题具有非常严重的“有后效性”，例如：
+在上面的案例中，由于仅需多考虑前面一个状态，我们仍然可以通过扩展状态定义，使得问题重新满足无后效性。然而，某些问题具有非常严重的“有后效性”。
 
 !!! question "爬楼梯与障碍生成"
 
-    给定一个共有 $n$ 阶的楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶。**规定当爬到第 $i$ 阶时，系统自动会给第 $2i$ 阶上放上障碍物，之后所有轮都不允许跳到第 $2i$ 阶上**。例如，前两轮分别跳到了第 $2, 3$ 阶上，则之后就不能跳到第 $4, 6$ 阶上。请问有多少种方案可以爬到楼顶。
+    给定一个共有 $n$ 阶的楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶。**规定当爬到第 $i$ 阶时，系统自动会给第 $2i$ 阶上放上障碍物，之后所有轮都不允许跳到第 $2i$ 阶上**。例如，前两轮分别跳到了第 $2$、$3$ 阶上，则之后就不能跳到第 $4$、$6$ 阶上。请问有多少种方案可以爬到楼顶。
 
 在这个问题中，下次跳跃依赖于过去所有的状态，因为每一次跳跃都会在更高的阶梯上设置障碍，并影响未来的跳跃。对于这类问题，动态规划往往难以解决。
 

chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md

@@ -5,7 +5,7 @@ status: new
 
 # 14.3   动态规划解题思路
 
-上两节介绍了动态规划问题的主要特征，接下来我们一起探究两个更加实用的问题：
+上两节介绍了动态规划问题的主要特征，接下来我们一起探究两个更加实用的问题。
 
 1. 如何判断一个问题是不是动态规划问题？
 2. 求解动态规划问题该从何处入手，完整步骤是什么？
@@ -18,12 +18,12 @@ status: new
 
 换句话说，如果问题包含明确的决策概念，并且解是通过一系列决策产生的，那么它就满足决策树模型，通常可以使用回溯来解决。
 
-在此基础上，还有一些动态规划问题的“加分项”，包括：
+在此基础上，动态规划问题还有一些判断的“加分项”。
 
 - 问题包含最大（小）或最多（少）等最优化描述。
 - 问题的状态能够使用一个列表、多维矩阵或树来表示，并且一个状态与其周围的状态存在递推关系。
 
-而相应的“减分项”包括：
+相应地，也存在一些“减分项”。
 
 - 问题的目标是找出所有可能的解决方案，而不是找出最优解。
 - 问题描述中有明显的排列组合的特征，需要返回具体的多个方案。
@@ -104,7 +104,7 @@ $$
 
 ### 1.   方法一：暴力搜索
 
-从状态 $[i, j]$ 开始搜索，不断分解为更小的状态 $[i-1, j]$ 和 $[i, j-1]$ ，包括以下递归要素：
+从状态 $[i, j]$ 开始搜索，不断分解为更小的状态 $[i-1, j]$ 和 $[i, j-1]$ ，递归函数包括以下要素。
 
 - **递归参数**：状态 $[i, j]$ 。
 - **返回值**：从 $[0, 0]$ 到 $[i, j]$ 的最小路径和 $dp[i, j]$ 。

chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md

@@ -35,12 +35,12 @@ status: new
 
 每一轮的决策是对字符串 $s$ 进行一次编辑操作。
 
-我们希望在编辑操作的过程中，问题的规模逐渐缩小，这样才能构建子问题。设字符串 $s$ 和 $t$ 的长度分别为 $n$ 和 $m$ ，我们先考虑两字符串尾部的字符 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ ：
+我们希望在编辑操作的过程中，问题的规模逐渐缩小，这样才能构建子问题。设字符串 $s$ 和 $t$ 的长度分别为 $n$ 和 $m$ ，我们先考虑两字符串尾部的字符 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 。
 
 - 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 相同，我们可以跳过它们，直接考虑 $s[n-2]$ 和 $t[m-2]$ 。
 - 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 不同，我们需要对 $s$ 进行一次编辑（插入、删除、替换），使得两字符串尾部的字符相同，从而可以跳过它们，考虑规模更小的问题。
 
-也就是说，我们在字符串 $s$ 中进行的每一轮决策（编辑操作），都会使得 $s$ 和 $t$ 中剩余的待匹配字符发生变化。因此，状态为当前在 $s$ , $t$ 中考虑的第 $i$ , $j$ 个字符，记为 $[i, j]$ 。
+也就是说，我们在字符串 $s$ 中进行的每一轮决策（编辑操作），都会使得 $s$ 和 $t$ 中剩余的待匹配字符发生变化。因此，状态为当前在 $s$ 和 $t$ 中考虑的第 $i$ 和 $j$ 个字符，记为 $[i, j]$ 。
 
 状态 $[i, j]$ 对应的子问题：**将 $s$ 的前 $i$ 个字符更改为 $t$ 的前 $j$ 个字符所需的最少编辑步数**。
 
@@ -48,7 +48,7 @@ status: new
 
 **第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程**
 
-考虑子问题 $dp[i, j]$ ，其对应的两个字符串的尾部字符为 $s[i-1]$ 和 $t[j-1]$ ，可根据不同编辑操作分为图 14-29 所示的三种情况：
+考虑子问题 $dp[i, j]$ ，其对应的两个字符串的尾部字符为 $s[i-1]$ 和 $t[j-1]$ ，可根据不同编辑操作分为图 14-29 所示的三种情况。
 
 1. 在 $s[i-1]$ 之后添加 $t[j-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i, j-1]$ 。
 2. 删除 $s[i-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i-1, j]$ 。
@@ -58,7 +58,7 @@ status: new
 
 <p align="center"> 图 14-29 &nbsp; 编辑距离的状态转移 </p>
 
-根据以上分析，可得最优子结构：$dp[i, j]$ 的最少编辑步数等于 $dp[i, j-1]$ , $dp[i-1, j]$ , $dp[i-1, j-1]$ 三者中的最少编辑步数，再加上本次的编辑步数 $1$ 。对应的状态转移方程为：
+根据以上分析，可得最优子结构：$dp[i, j]$ 的最少编辑步数等于 $dp[i, j-1]$、$dp[i-1, j]$、$dp[i-1, j-1]$ 三者中的最少编辑步数，再加上本次的编辑步数 $1$ 。对应的状态转移方程为：
 
 $$
 dp[i, j] = \min(dp[i, j-1], dp[i-1, j], dp[i-1, j-1]) + 1
@@ -417,7 +417,7 @@ $$
 
 ### 3. &nbsp; 空间优化
 
-由于 $dp[i,j]$ 是由上方 $dp[i-1, j]$ 、左方 $dp[i, j-1]$ 、左上方状态 $dp[i-1, j-1]$ 转移而来，而正序遍历会丢失左上方 $dp[i-1, j-1]$ ，倒序遍历无法提前构建 $dp[i, j-1]$ ，因此两种遍历顺序都不可取。
+由于 $dp[i,j]$ 是由上方 $dp[i-1, j]$、左方 $dp[i, j-1]$、左上方状态 $dp[i-1, j-1]$ 转移而来，而正序遍历会丢失左上方 $dp[i-1, j-1]$ ，倒序遍历无法提前构建 $dp[i, j-1]$ ，因此两种遍历顺序都不可取。
 
 为此，我们可以使用一个变量 `leftup` 来暂存左上方的解 $dp[i-1, j-1]$ ，从而只需考虑左方和上方的解。此时的情况与完全背包问题相同，可使用正序遍历。
 

chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md

@@ -367,7 +367,7 @@ status: new
 我们可以尝试从问题分解的角度分析这道题。设爬到第 $i$ 阶共有 $dp[i]$ 种方案，那么 $dp[i]$ 就是原问题，其子问题包括:
 
 $$
-dp[i-1] , dp[i-2] , \dots , dp[2] , dp[1]
+dp[i-1], dp[i-2], \dots, dp[2], dp[1]
 $$
 
 由于每轮只能上 $1$ 阶或 $2$ 阶，因此当我们站在第 $i$ 阶楼梯上时，上一轮只可能站在第 $i - 1$ 阶或第 $i - 2$ 阶上。换句话说，我们只能从第 $i -1$ 阶或第 $i - 2$ 阶前往第 $i$ 阶。
@@ -384,10 +384,7 @@ $$
 
 <p align="center"> 图 14-2 &nbsp; 方案数量递推关系 </p>
 
-我们可以根据递推公式得到暴力搜索解法：
-
-- 以 $dp[n]$ 为起始点，**递归地将一个较大问题拆解为两个较小问题的和**，直至到达最小子问题 $dp[1]$ 和 $dp[2]$ 时返回。
-- 最小子问题的解 $dp[1] = 1$ , $dp[2] = 2$ 是已知的，代表爬到第 $1$ , $2$ 阶分别有 $1$ , $2$ 种方案。
+我们可以根据递推公式得到暴力搜索解法。以 $dp[n]$ 为起始点，**递归地将一个较大问题拆解为两个较小问题的和**，直至到达最小子问题 $dp[1]$ 和 $dp[2]$ 时返回。其中，最小子问题的解是已知的，即 $dp[1] = 1$、$dp[2] = 2$ ，表示爬到第 $1$、$2$ 阶分别有 $1$、$2$ 种方案。
 
 观察以下代码，它和标准回溯代码都属于深度优先搜索，但更加简洁。
 
@@ -617,10 +614,10 @@ $$
 
 ## 14.1.2 &nbsp; 方法二：记忆化搜索
 
-为了提升算法效率，**我们希望所有的重叠子问题都只被计算一次**。为此，我们声明一个数组 `mem` 来记录每个子问题的解，并在搜索过程中这样做：
+为了提升算法效率，**我们希望所有的重叠子问题都只被计算一次**。为此，我们声明一个数组 `mem` 来记录每个子问题的解，并在搜索过程中将重叠子问题剪枝。
 
 1. 当首次计算 $dp[i]$ 时，我们将其记录至 `mem[i]` ，以便之后使用。
-2. 当再次需要计算 $dp[i]$ 时，我们便可直接从 `mem[i]` 中获取结果，从而将重叠子问题剪枝。
+2. 当再次需要计算 $dp[i]$ 时，我们便可直接从 `mem[i]` 中获取结果，从而避免重复计算该子问题。
 
 === "Java"
 
@@ -1163,10 +1160,10 @@ $$
 
 与回溯算法一样，动态规划也使用“状态”概念来表示问题求解的某个特定阶段，每个状态都对应一个子问题以及相应的局部最优解。例如，爬楼梯问题的状态定义为当前所在楼梯阶数 $i$ 。
 
-总结以上，动态规划的常用术语包括：
+根据以上内容，我们可以总结出动态规划的常用术语。
 
 - 将数组 `dp` 称为「$dp$ 表」，$dp[i]$ 表示状态 $i$ 对应子问题的解。
-- 将最小子问题对应的状态（即第 $1$ , $2$ 阶楼梯）称为「初始状态」。
+- 将最小子问题对应的状态（即第 $1$ 和 $2$ 阶楼梯）称为「初始状态」。
 - 将递推公式 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 称为「状态转移方程」。
 
 ## 14.1.4 &nbsp; 空间优化

chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md

@@ -11,7 +11,7 @@ status: new
 
 !!! question
 
-    给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。
+    给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。
 
 观察图 14-17 ，由于物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。
 
@@ -56,7 +56,7 @@ $$
 
 ### 1.   方法一：暴力搜索
 
-搜索代码包含以下要素：
+搜索代码包含以下要素。
 
 - **递归参数**：状态 $[i, c]$ 。
 - **返回值**：子问题的解 $dp[i, c]$ 。

chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md

@@ -11,7 +11,7 @@ status: new
 
 !!! question
 
-    给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。**每个物品可以重复选取**，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。
+    给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。**每个物品可以重复选取**，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。
 
 ![完全背包问题的示例数据](unbounded_knapsack_problem.assets/unbounded_knapsack_example.png)
 
@@ -24,7 +24,7 @@ status: new
 - 在 0-1 背包中，每个物品只有一个，因此将物品 $i$ 放入背包后，只能从前 $i-1$ 个物品中选择。
 - 在完全背包中，每个物品有无数个，因此将物品 $i$ 放入背包后，**仍可以从前 $i$ 个物品中选择**。
 
-这就导致了状态转移的变化，对于状态 $[i, c]$ 有：
+在完全背包的规定下，状态 $[i, c]$ 的变化分为两种情况。
 
 - **不放入物品 $i$** ：与 0-1 背包相同，转移至 $[i-1, c]$ 。
 - **放入物品 $i$** ：与 0-1 背包不同，转移至 $[i, c-wgt[i-1]]$ 。
@@ -545,7 +545,7 @@ $$
 
 ### 1.   动态规划思路
 
-**零钱兑换可以看作是完全背包的一种特殊情况**，两者具有以下联系与不同点：
+**零钱兑换可以看作是完全背包的一种特殊情况**，两者具有以下联系与不同点。
 
 - 两道题可以相互转换，“物品”对应于“硬币”、“物品重量”对应于“硬币面值”、“背包容量”对应于“目标金额”。
 - 优化目标相反，背包问题是要最大化物品价值，零钱兑换问题是要最小化硬币数量。
@@ -559,7 +559,7 @@ $$
 
 **第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程**
 
-与完全背包的状态转移方程基本相同，不同点在于：
+本题与完全背包的状态转移方程存在以下两个差异。
 
 - 本题要求最小值，因此需将运算符 $\max()$ 更改为 $\min()$ 。
 - 优化主体是硬币数量而非商品价值，因此在选中硬币时执行 $+1$ 即可。