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chapter_heap/heap.md

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 # 8.1   堆
 
-「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为图 8-1 所示的两种类型：
+「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为图 8-1 所示的两种类型。
 
 - 「大顶堆 max heap」：任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值。
 - 「小顶堆 min heap」：任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值。
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 <p align="center"> 图 8-1 &nbsp; 小顶堆与大顶堆 </p>
 
-堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性：
+堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。
 
 - 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
 - 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
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 ### 4. &nbsp; 堆顶元素出堆
 
-堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采取以下操作步骤：
+堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采取以下操作步骤。
 
 1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）。
 2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）。

chapter_heap/summary.md

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 - 堆是一棵完全二叉树，根据成立条件可分为大顶堆和小顶堆。大（小）顶堆的堆顶元素是最大（小）的。
 - 优先队列的定义是具有出队优先级的队列，通常使用堆来实现。
-- 堆的常用操作及其对应的时间复杂度包括：元素入堆 $O(\log n)$ 、堆顶元素出堆 $O(\log n)$ 和访问堆顶元素 $O(1)$ 等。
+- 堆的常用操作及其对应的时间复杂度包括：元素入堆 $O(\log n)$、堆顶元素出堆 $O(\log n)$ 和访问堆顶元素 $O(1)$ 等。
 - 完全二叉树非常适合用数组表示，因此我们通常使用数组来存储堆。
 - 堆化操作用于维护堆的性质，在入堆和出堆操作中都会用到。
 - 输入 $n$ 个元素并建堆的时间复杂度可以优化至 $O(n)$ ，非常高效。

chapter_heap/top_k.md

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 ## 8.3.1   方法一：遍历选择
 
-我们可以进行图 8-6 所示的 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1$ , $2$ , $\dots$ , $k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。
+我们可以进行图 8-6 所示的 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1$、$2$、$\dots$、$k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。
 
 此方法只适用于 $k \ll n$ 的情况，因为当 $k$ 与 $n$ 比较接近时，其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ，非常耗时。