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chapter_searching/binary_search.md

@@ -16,10 +16,10 @@ comments: true
 
 如图 10-2 所示，我们先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 $[0, n - 1]$ 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。
 
-接下来，循环执行以下两个步骤：
+接下来，循环执行以下两步。
 
 1. 计算中点索引 $m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor$ ，其中 $\lfloor \space \rfloor$ 表示向下取整操作。
-2. 判断 `nums[m]` 和 `target` 的大小关系，分为三种情况：
+2. 判断 `nums[m]` 和 `target` 的大小关系，分为以下三种情况。
     1. 当 `nums[m] < target` 时，说明 `target` 在区间 $[m + 1, j]$ 中，因此执行 $i = m + 1$ 。
     2. 当 `nums[m] > target` 时，说明 `target` 在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此执行 $j = m - 1$ 。
     3. 当 `nums[m] = target` 时，说明找到 `target` ，因此返回索引 $m$ 。
@@ -334,7 +334,7 @@ comments: true
 
 时间复杂度为 $O(\log n)$ 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 $\log_2 n$ 。
 
-空间复杂度为 $O(1)$  。指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。
+空间复杂度为 $O(1)$  。指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小空间。
 
 ## 10.1.1 &nbsp; 区间表示方法
 
@@ -633,12 +633,12 @@ comments: true
 
 ## 10.1.2 &nbsp; 优点与局限性
 
-二分查找在时间和空间方面都有较好的性能：
+二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。
 
 - 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 $n = 2^{20}$ 时，线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环，而二分查找仅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
 - 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。
 
-然而，二分查找并非适用于所有情况，原因如下：
+然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。
 
 - 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
 - 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。

chapter_searching/binary_search_edge.md

@@ -13,10 +13,10 @@ status: new
 
 回忆二分查找插入点的方法，搜索完成后 $i$ 指向最左一个 `target` ，**因此查找插入点本质上是在查找最左一个 `target` 的索引**。
 
-考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意，数组中可能不包含 `target` ，此时有两种可能：
+考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意，数组中可能不包含 `target` ，这种情况可能导致以下两种结果。
 
-1. 插入点的索引 $i$ 越界；
-2. 元素 `nums[i]` 与 `target` 不相等；
+- 插入点的索引 $i$ 越界。
+- 元素 `nums[i]` 与 `target` 不相等。
 
 当遇到以上两种情况时，直接返回 $-1$ 即可。
 
@@ -334,9 +334,9 @@ status: new
 
 ### 2.   转化为查找元素
 
-我们知道，当数组不包含 `target` 时，最后 $i$ , $j$ 会分别指向首个大于、小于 `target` 的元素。
+我们知道，当数组不包含 `target` 时，最终 $i$ 和 $j$ 会分别指向首个大于、小于 `target` 的元素。
 
-根据上述结论，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界，如图 10-8 所示。
+因此，如图 10-8 所示，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界。
 
 - 查找最左一个 `target` ：可以转化为查找 `target - 0.5` ，并返回指针 $i$ 。
 - 查找最右一个 `target` ：可以转化为查找 `target + 0.5` ，并返回指针 $j$ 。
@@ -345,7 +345,7 @@ status: new
 
 <p align="center"> 图 10-8 &nbsp; 将查找边界转化为查找元素 </p>
 
-代码在此省略，值得注意的有：
+代码在此省略，值得注意以下两点。
 
 - 给定数组不包含小数，这意味着我们无须关心如何处理相等的情况。
 - 因为该方法引入了小数，所以需要将函数中的变量 `target` 改为浮点数类型。

chapter_searching/binary_search_insertion.md

@@ -227,7 +227,7 @@ status: new
 
 此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 $O(n)$ 。当数组中存在很多重复的 `target` 时，该方法效率很低。
 
-现考虑拓展二分查找代码。如图 10-6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 $m$ ，再判断 `target` 和 `nums[m]` 大小关系：
+现考虑拓展二分查找代码。如图 10-6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 $m$ ，再判断 `target` 和 `nums[m]` 大小关系。
 
 1. 当 `nums[m] < target` 或 `nums[m] > target` 时，说明还没有找到 `target` ，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，**从而使指针 $i$ 和 $j$ 向 `target` 靠近**。
 2. 当 `nums[m] == target` 时，说明小于 `target` 的元素在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此采用 $j = m - 1$ 来缩小区间，**从而使指针 $j$ 向小于 `target` 的元素靠近**。
@@ -447,6 +447,6 @@ status: new
 
     本节的代码都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。
 
-总的来看，二分查找无非就是给指针 $i$ , $j$ 分别设定搜索目标，目标可能是一个具体的元素（例如 `target` ），也可能是一个元素范围（例如小于 `target` 的元素）。
+总的来看，二分查找无非就是给指针 $i$ 和 $j$ 分别设定搜索目标，目标可能是一个具体的元素（例如 `target` ），也可能是一个元素范围（例如小于 `target` 的元素）。
 
-在不断的循环二分中，指针 $i$ , $j$ 都逐渐逼近预先设定的目标。最终，它们或是成功找到答案，或是越过边界后停止。
+在不断的循环二分中，指针 $i$ 和 $j$ 都逐渐逼近预先设定的目标。最终，它们或是成功找到答案，或是越过边界后停止。

chapter_searching/searching_algorithm_revisited.md

@@ -6,7 +6,7 @@ comments: true
 
 「搜索算法 searching algorithm」用于在数据结构（例如数组、链表、树或图）中搜索一个或一组满足特定条件的元素。
 
-根据实现思路，搜索算法总体可分为两种：
+搜索算法可根据实现思路分为以下两类。
 
 - **通过遍历数据结构来定位目标元素**，例如数组、链表、树和图的遍历等。
 - **利用数据组织结构或数据包含的先验信息，实现高效元素查找**，例如二分查找、哈希查找和二叉搜索树查找等。