build

chapter_sorting/bubble_sort.md

@@ -561,6 +561,6 @@ comments: true
 
 ## 11.3.3   算法特性
 
-- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\dots$ , $2$ , $1$ ，总和为 $(n - 1) n / 2$ 。在引入 `flag` 优化后，最佳时间复杂度可达到 $O(n)$ 。
-- **空间复杂度为 $O(1)$ 、原地排序**：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。
+- **时间复杂度为 $O(n^2)$、自适应排序**：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 $n - 1$、$n - 2$、$\dots$、$2$、$1$ ，总和为 $(n - 1) n / 2$ 。在引入 `flag` 优化后，最佳时间复杂度可达到 $O(n)$ 。
+- **空间复杂度为 $O(1)$、原地排序**：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。
 - **稳定排序**：由于在“冒泡”中遇到相等元素不交换。

chapter_sorting/bucket_sort.md

@@ -400,7 +400,7 @@ comments: true
 
 - **时间复杂度 $O(n + k)$** ：假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为 $\frac{n}{k}$ 。假设排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，则排序所有桶使用 $O(n \log\frac{n}{k})$ 时间。**当桶数量 $k$ 比较大时，时间复杂度则趋向于 $O(n)$** 。合并结果时需要遍历所有桶和元素，花费 $O(n + k)$ 时间。
 - **自适应排序**：在最坏情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 $O(n^2)$ 时间。
-- **空间复杂度 $O(n + k)$ 、非原地排序** ：需要借助 $k$ 个桶和总共 $n$ 个元素的额外空间。
+- **空间复杂度 $O(n + k)$、非原地排序**：需要借助 $k$ 个桶和总共 $n$ 个元素的额外空间。
 - 桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。
 
 ## 11.8.3   如何实现平均分配

chapter_sorting/counting_sort.md

@@ -325,13 +325,13 @@ comments: true
 
 细心的同学可能发现，**如果输入数据是对象，上述步骤 `3.` 就失效了**。假设输入数据是商品对象，我们想要按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。
 
-那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 `counter` 的“前缀和”。顾名思义，索引 `i` 处的前缀和 `prefix[i]` 等于数组前 `i` 个元素之和，即：
+那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 `counter` 的“前缀和”。顾名思义，索引 `i` 处的前缀和 `prefix[i]` 等于数组前 `i` 个元素之和：
 
 $$
 \text{prefix}[i] = \sum_{j=0}^i \text{counter[j]}
 $$
 
-**前缀和具有明确的意义，`prefix[num] - 1` 代表元素 `num` 在结果数组 `res` 中最后一次出现的索引**。这个信息非常关键，因为它告诉我们各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 `nums` 的每个元素 `num` ，在每轮迭代中执行：
+**前缀和具有明确的意义，`prefix[num] - 1` 代表元素 `num` 在结果数组 `res` 中最后一次出现的索引**。这个信息非常关键，因为它告诉我们各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 `nums` 的每个元素 `num` ，在每轮迭代中执行以下两步。
 
 1. 将 `num` 填入数组 `res` 的索引 `prefix[num] - 1` 处。
 2. 令前缀和 `prefix[num]` 减小 $1$ ，从而得到下次放置 `num` 的索引。
@@ -775,7 +775,7 @@ $$
 ## 11.9.3   算法特性
 
 - **时间复杂度 $O(n + m)$** ：涉及遍历 `nums` 和遍历 `counter` ，都使用线性时间。一般情况下 $n \gg m$ ，时间复杂度趋于 $O(n)$ 。
-- **空间复杂度 $O(n + m)$ 、非原地排序** ：借助了长度分别为 $n$ 和 $m$ 的数组 `res` 和 `counter` 。
+- **空间复杂度 $O(n + m)$、非原地排序**：借助了长度分别为 $n$ 和 $m$ 的数组 `res` 和 `counter` 。
 - **稳定排序**：由于向 `res` 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 `nums` 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现稳定排序。实际上，正序遍历 `nums` 也可以得到正确的排序结果，但结果是非稳定的。
 
 ## 11.9.4   局限性

chapter_sorting/heap_sort.md

@@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
 
     阅读本节前，请确保已学完“堆“章节。
 
-「堆排序 heap sort」是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序：
+「堆排序 heap sort」是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序。
 
 1. 输入数组并建立小顶堆，此时最小元素位于堆顶。
 2. 不断执行出堆操作，依次记录出堆元素，即可得到从小到大排序的序列。
@@ -544,6 +544,6 @@ comments: true
 
 ## 11.7.2   算法特性
 
-- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、非自适应排序** ：建堆操作使用 $O(n)$ 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n - 1$ 轮。
-- **空间复杂度 $O(1)$ 、原地排序** ：几个指针变量使用 $O(1)$ 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。
+- **时间复杂度 $O(n \log n)$、非自适应排序**：建堆操作使用 $O(n)$ 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n - 1$ 轮。
+- **空间复杂度 $O(1)$、原地排序**：几个指针变量使用 $O(1)$ 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。
 - **非稳定排序**：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。

chapter_sorting/insertion_sort.md

@@ -250,8 +250,8 @@ comments: true
 
 ## 11.4.2   算法特性
 
-- **时间复杂度 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\dots$ , $2$ , $1$ 次，求和得到 $(n - 1) n / 2$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。
-- **空间复杂度 $O(1)$ 、原地排序** ：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。
+- **时间复杂度 $O(n^2)$、自适应排序**：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$、$n-2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，求和得到 $(n - 1) n / 2$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。
+- **空间复杂度 $O(1)$、原地排序**：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。
 - **稳定排序**：在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。
 
 ## 11.4.3   插入排序优势
@@ -262,7 +262,7 @@ comments: true
 
 实际上，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数都采用了插入排序，大致思路为：对于长数组，采用基于分治的排序算法，例如快速排序；对于短数组，直接使用插入排序。
 
-虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 $O(n^2)$ ，但在实际情况中，**插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序**。这是因为：
+虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 $O(n^2)$ ，但在实际情况中，**插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序**，主要有以下原因。
 
 - 冒泡排序基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及 3 个单元操作；插入排序基于元素赋值实现，仅需 1 个单元操作。因此，**冒泡排序的计算开销通常比插入排序更高**。
 - 选择排序在任何情况下的时间复杂度都为 $O(n^2)$ 。**如果给定一组部分有序的数据，插入排序通常比选择排序效率更高**。

chapter_sorting/merge_sort.md

@@ -4,7 +4,7 @@ comments: true
 
 # 11.6   归并排序
 
-「归并排序 merge sort」是一种基于分治策略的排序算法，包含图 11-10 所示的“划分”和“合并”阶段：
+「归并排序 merge sort」是一种基于分治策略的排序算法，包含图 11-10 所示的“划分”和“合并”阶段。
 
 1. **划分阶段**：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
 2. **合并阶段**：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。
@@ -15,7 +15,7 @@ comments: true
 
 ## 11.6.1   算法流程
 
-如图 11-11 所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切为两个子数组：
+如图 11-11 所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切为两个子数组。
 
 1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）。
 2. 递归执行步骤 `1.` ，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分。
@@ -54,7 +54,7 @@ comments: true
 
 <p align="center"> 图 11-11 &nbsp; 归并排序步骤 </p>
 
-观察发现，归并排序的递归顺序与二叉树的后序遍历相同，对比来看：
+观察发现，归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的。
 
 - **后序遍历**：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
 - **归并排序**：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。
@@ -620,22 +620,22 @@ comments: true
     }
     ```
 
-合并方法 `merge()` 代码中的难点包括：
+实现合并函数 `merge()` 存在以下难点。
 
-- **在阅读代码时，需要特别注意各个变量的含义**。`nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，但由于 `tmp` 仅复制了 `nums` 该区间的元素，因此 `tmp` 对应区间为 `[0, right - left]` 。
+- **需要特别注意各个变量的含义**。`nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，但由于 `tmp` 仅复制了 `nums` 该区间的元素，因此 `tmp` 对应区间为 `[0, right - left]` 。
 - 在比较 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小时，**还需考虑子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况。索引越界的优先级是最高的，如果左子数组已经被合并完了，那么不需要继续比较，直接合并右子数组元素即可。
 
 ## 11.6.2 &nbsp; 算法特性
 
-- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、非自适应排序** ：划分产生高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，因此总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
-- **空间复杂度 $O(n)$ 、非原地排序** ：递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 $O(n)$ 大小的额外空间。
+- **时间复杂度 $O(n \log n)$、非自适应排序**：划分产生高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，因此总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
+- **空间复杂度 $O(n)$、非原地排序**：递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 $O(n)$ 大小的额外空间。
 - **稳定排序**：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。
 
 ## 11.6.3 &nbsp; 链表排序 *
 
-归并排序在排序链表时具有显著优势，空间复杂度可以优化至 $O(1)$ ，原因如下：
+对于链表，归并排序相较于其他排序算法具有显著优势，**可以将链表排序任务的空间复杂度优化至 $O(1)$** 。
 
-- 由于链表仅需改变指针就可实现节点的增删操作，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无须创建辅助链表。
-- 通过使用“迭代划分”替代“递归划分”，可省去递归使用的栈帧空间。
+- **划分阶段**：可以通过使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作，从而省去递归使用的栈帧空间。
+- **合并阶段**：在链表中，节点增删操作仅需改变引用（指针）即可实现，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无须创建额外链表。
 
 具体实现细节比较复杂，有兴趣的同学可以查阅相关资料进行学习。

chapter_sorting/quick_sort.md

@@ -590,13 +590,13 @@ comments: true
 
 ## 11.5.2   算法特性
 
-- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、自适应排序** ：在平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。在最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。
-- **空间复杂度 $O(n)$ 、原地排序** ：在输入数组完全倒序的情况下，达到最差递归深度 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。排序操作是在原数组上进行的，未借助额外数组。
+- **时间复杂度 $O(n \log n)$、自适应排序**：在平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。在最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。
+- **空间复杂度 $O(n)$、原地排序**：在输入数组完全倒序的情况下，达到最差递归深度 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。排序操作是在原数组上进行的，未借助额外数组。
 - **非稳定排序**：在哨兵划分的最后一步，基准数可能会被交换至相等元素的右侧。
 
 ## 11.5.3   快排为什么快？
 
-从名称上就能看出，快速排序在效率方面应该具有一定的优势。尽管快速排序的平均时间复杂度与“归并排序”和“堆排序”相同，但通常快速排序的效率更高，原因如下：
+从名称上就能看出，快速排序在效率方面应该具有一定的优势。尽管快速排序的平均时间复杂度与“归并排序”和“堆排序”相同，但通常快速排序的效率更高，主要有以下原因。
 
 - **出现最差情况的概率很低**：虽然快速排序的最差时间复杂度为 $O(n^2)$ ，没有归并排序稳定，但在绝大多数情况下，快速排序能在 $O(n \log n)$ 的时间复杂度下运行。
 - **缓存使用效率高**：在执行哨兵划分操作时，系统可将整个子数组加载到缓存，因此访问元素的效率较高。而像“堆排序”这类算法需要跳跃式访问元素，从而缺乏这一特性。
@@ -604,7 +604,7 @@ comments: true
 
 ## 11.5.4   基准数优化
 
-**快速排序在某些输入下的时间效率可能降低**。举一个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选择最左端元素作为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，导致左子数组长度为 $n - 1$ 、右子数组长度为 $0$ 。如此递归下去，每轮哨兵划分后的右子数组长度都为 $0$ ，分治策略失效，快速排序退化为“冒泡排序”。
+**快速排序在某些输入下的时间效率可能降低**。举一个极端例子，假设输入数组是完全倒序的，由于我们选择最左端元素作为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，导致左子数组长度为 $n - 1$、右子数组长度为 $0$ 。如此递归下去，每轮哨兵划分后的右子数组长度都为 $0$ ，分治策略失效，快速排序退化为“冒泡排序”。
 
 为了尽量避免这种情况发生，**我们可以优化哨兵划分中的基准数的选取策略**。例如，我们可以随机选取一个元素作为基准数。然而，如果运气不佳，每次都选到不理想的基准数，效率仍然不尽如人意。
 

chapter_sorting/radix_sort.md

@@ -692,6 +692,6 @@ $$
 
 相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，**但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大**。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数 $k$ 过大，可能导致时间复杂度 $O(nk) \gg O(n^2)$ 。
 
-- **时间复杂度 $O(nk)$** ：设数据量为 $n$ 、数据为 $d$ 进制、最大位数为 $k$ ，则对某一位执行计数排序使用 $O(n + d)$ 时间，排序所有 $k$ 位使用 $O((n + d)k)$ 时间。通常情况下，$d$ 和 $k$ 都相对较小，时间复杂度趋向 $O(n)$ 。
-- **空间复杂度 $O(n + d)$ 、非原地排序** ：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为 $n$ 和 $d$ 的数组 `res` 和 `counter` 。
+- **时间复杂度 $O(nk)$**：设数据量为 $n$、数据为 $d$ 进制、最大位数为 $k$ ，则对某一位执行计数排序使用 $O(n + d)$ 时间，排序所有 $k$ 位使用 $O((n + d)k)$ 时间。通常情况下，$d$ 和 $k$ 都相对较小，时间复杂度趋向 $O(n)$ 。
+- **空间复杂度 $O(n + d)$、非原地排序**：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为 $n$ 和 $d$ 的数组 `res` 和 `counter` 。
 - **稳定排序**：与计数排序相同。

chapter_sorting/selection_sort.md

@@ -286,8 +286,8 @@ comments: true
 
 ## 11.2.1   算法特性
 
-- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、非自适应排序**：外循环共 $n - 1$ 轮，第一轮的未排序区间长度为 $n$ ，最后一轮的未排序区间长度为 $2$ ，即各轮外循环分别包含 $n$ , $n - 1$ , $\dots$ , $2$ 轮内循环，求和为 $\frac{(n - 1)(n + 2)}{2}$ 。
-- **空间复杂度 $O(1)$ 、原地排序**：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。
+- **时间复杂度为 $O(n^2)$、非自适应排序**：外循环共 $n - 1$ 轮，第一轮的未排序区间长度为 $n$ ，最后一轮的未排序区间长度为 $2$ ，即各轮外循环分别包含 $n$、$n - 1$、$\dots$、$3$、$2$ 轮内循环，求和为 $\frac{(n - 1)(n + 2)}{2}$ 。
+- **空间复杂度 $O(1)$、原地排序**：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。
 - **非稳定排序**：如图 11-3 所示，元素 `nums[i]` 有可能被交换至与其相等的元素的右边，导致两者相对顺序发生改变。
 
 ![选择排序非稳定示例](selection_sort.assets/selection_sort_instability.png)

chapter_sorting/sorting_algorithm.md

@@ -45,7 +45,7 @@ comments: true
 
 自适应性需要根据具体情况来评估。如果最差时间复杂度差于平均时间复杂度，说明排序算法在某些数据下性能可能劣化，因此被视为负面属性；而如果最佳时间复杂度优于平均时间复杂度，则被视为正面属性。
 
-**是否基于比较**：「基于比较的排序」依赖于比较运算符（$<$ , $=$ , $>$）来判断元素的相对顺序，从而排序整个数组，理论最优时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。而「非比较排序」不使用比较运算符，时间复杂度可达 $O(n)$ ，但其通用性相对较差。
+**是否基于比较**：「基于比较的排序」依赖于比较运算符（$<$、$=$、$>$）来判断元素的相对顺序，从而排序整个数组，理论最优时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。而「非比较排序」不使用比较运算符，时间复杂度可达 $O(n)$ ，但其通用性相对较差。
 
 ## 11.1.2 &nbsp; 理想排序算法
 

chapter_sorting/summary.md

@@ -42,7 +42,7 @@ comments: true
 
     递归深度就是当前未返回的递归方法的数量。每轮哨兵划分我们将原数组划分为两个子数组。在尾递归优化后，向下递归的子数组长度最大为原数组的一半长度。假设最差情况，一直为一半长度，那么最终的递归深度就是 $\log n$ 。
     
-    回顾原始的快速排序，我们有可能会连续地递归长度较大的数组，最差情况下为 $n, n - 1, n - 2, ..., 2, 1$ ，从而递归深度为 $n$ 。尾递归优化可以避免这种情况的出现。
+    回顾原始的快速排序，我们有可能会连续地递归长度较大的数组，最差情况下为 $n$、$n - 1$、$\dots$、$2$、$1$ ，递归深度为 $n$ 。尾递归优化可以避免这种情况的出现。
 
 !!! question "当数组中所有元素都相等时，快速排序的时间复杂度是 $O(n^2)$ 吗？该如何处理这种退化情况？"