mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-08 20:16:30 +08:00
build
This commit is contained in:
krahets
@@ -4,10 +4,10 @@ comments: true
|
||||
|
||||
# 14.2 Свойства задач динамического программирования
|
||||
|
||||
В предыдущем разделе мы увидели, как динамическое программирование решает исходную задачу через разложение на подзадачи. На самом деле разложение на подзадачи - это общий алгоритмический подход, но в методе "разделяй и властвуй", динамическом программировании и поиске с возвратом акценты расставлены по-разному.
|
||||
В предыдущем разделе мы увидели, как динамическое программирование решает исходную задачу через разложение на подзадачи. На самом деле разложение на подзадачи - это общий алгоритмический подход, но в методе «разделяй и властвуй», динамическом программировании и поиске с возвратом акценты расставлены по-разному.
|
||||
|
||||
- Алгоритмы "разделяй и властвуй" рекурсивно раскладывают исходную задачу на несколько независимых подзадач, пока не будет достигнута наименьшая подзадача, а затем в процессе возврата объединяют решения подзадач в решение исходной задачи.
|
||||
- Динамическое программирование тоже раскладывает задачу рекурсивно, но его главное отличие от метода "разделяй и властвуй" в том, что подзадачи здесь зависят друг от друга и в процессе разложения возникает много перекрывающихся подзадач.
|
||||
- Алгоритмы «разделяй и властвуй» рекурсивно раскладывают исходную задачу на несколько независимых подзадач, пока не будет достигнута наименьшая подзадача, а затем в процессе возврата объединяют решения подзадач в решение исходной задачи.
|
||||
- Динамическое программирование тоже раскладывает задачу рекурсивно, но его главное отличие от метода «разделяй и властвуй» в том, что подзадачи здесь зависят друг от друга и в процессе разложения возникает много перекрывающихся подзадач.
|
||||
- Алгоритм поиска с возвратом перебирает все возможные решения через попытки и откат и с помощью обрезки избегает ненужных ветвей поиска. Решение исходной задачи состоит из последовательности решений, и подзадачей можно считать префикс этой последовательности решений.
|
||||
|
||||
На практике динамическое программирование часто применяется для задач оптимизации. Такие задачи не только содержат перекрывающиеся подзадачи, но и обладают еще двумя важными свойствами: оптимальной подструктурой и отсутствием последствий.
|
||||
@@ -36,7 +36,7 @@ $$
|
||||
|
||||
Очевидно, что эта задача обладает оптимальной подструктурой: мы берем лучшее из двух оптимальных решений подзадач $dp[i-1]$ и $dp[i-2]$ и на его основе строим оптимальное решение исходной задачи $dp[i]$ .
|
||||
|
||||
А обладает ли оптимальной подструктурой исходная задача о числе способов подъема по лестнице из прошлого раздела? Формально она не про оптимум, а про подсчет количества. Но если переформулировать ее как "найдите максимальное количество способов", мы неожиданно увидим, что **хотя исходная задача осталась по сути той же, оптимальная подструктура стала явной**: максимальное число способов добраться до ступени $n$ равно сумме максимальных чисел способов добраться до ступеней $n-1$ и $n-2$ . То есть объяснение оптимальной подструктуры в разных задачах может быть довольно гибким.
|
||||
А обладает ли оптимальной подструктурой исходная задача о числе способов подъема по лестнице из прошлого раздела? Формально она не про оптимум, а про подсчет количества. Но если переформулировать ее как «найдите максимальное количество способов», мы неожиданно увидим, что **хотя исходная задача осталась по сути той же, оптимальная подструктура стала явной**: максимальное число способов добраться до ступени $n$ равно сумме максимальных чисел способов добраться до ступеней $n-1$ и $n-2$ . То есть объяснение оптимальной подструктуры в разных задачах может быть довольно гибким.
|
||||
|
||||
Зная уравнение перехода состояния, а также начальные состояния $dp[1] = cost[1]$ и $dp[2] = cost[2]$ , мы можем сразу написать код динамического программирования:
|
||||
|
||||
@@ -590,7 +590,7 @@ $$
|
||||
|
||||
Отсутствие последствий - одно из ключевых свойств, благодаря которому динамическое программирование вообще может эффективно работать. Его определение таково: **если текущее состояние задано однозначно, то его дальнейшее развитие зависит только от него самого и не зависит от всей истории предыдущих состояний**.
|
||||
|
||||
Для примера снова рассмотрим задачу о лестнице. Если дано состояние $i$ , то из него можно перейти в состояния $i+1$ и $i+2$ , соответствующие прыжкам на $1$ и на $2$ ступени. Чтобы сделать один из этих выборов, не нужно знать, какими были состояния до $i$ ; на будущее влияет только текущее состояние $i$ .
|
||||
Для примера снова рассмотрим задачу о лестнице. Если дано состояние $i$ , то из него можно перейти в состояния $i+1$ и $i+2$ , соответствующие прыжкам на $1$ и на $2$ ступени. Чтобы сделать один из этих выборов, не нужно знать, какими были состояния до $i$. На будущее влияет только текущее состояние $i$ .
|
||||
|
||||
Однако если добавить в задачу дополнительное ограничение, ситуация изменится.
|
||||
|
||||
@@ -626,7 +626,7 @@ $$
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 14-9 Рекуррентная связь с учетом ограничения </p>
|
||||
|
||||
В конце достаточно вернуть $dp[n, 1] + dp[n, 2]$ ; эта сумма и представляет общее число способов добраться до ступени $n$ :
|
||||
В конце достаточно вернуть $dp[n, 1] + dp[n, 2]$. Эта сумма и представляет общее число способов добраться до ступени $n$ :
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
@@ -947,7 +947,7 @@ $$
|
||||
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D1%81%20%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D0%BC%D0%B8%3A%20%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8B%20dp%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%203%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9D%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%20%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%5B1%5D%2C%20dp%5B1%5D%5B2%5D%20%3D%201%2C%200%0A%20%20%20%20dp%5B2%5D%5B1%5D%2C%20dp%5B2%5D%5B2%5D%20%3D%200%2C%201%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B9%3A%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%20%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7%20%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B1%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B2%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bn%5D%5B2%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
|
||||
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D1%81%20%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D0%BC%D0%B8%3A%20%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8B%20dp%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%203%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9D%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%20%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%5B1%5D%2C%20dp%5B1%5D%5B2%5D%20%3D%201%2C%200%0A%20%20%20%20dp%5B2%5D%5B1%5D%2C%20dp%5B2%5D%5B2%5D%20%3D%200%2C%201%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B9%3A%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%20%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7%20%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B1%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B2%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bn%5D%5B2%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
|
||||
|
||||
В этом примере достаточно дополнительно учитывать только одно предыдущее состояние, поэтому после расширения определения состояния задача снова начинает удовлетворять свойству отсутствия последствий. Однако в некоторых задачах "зависимость от прошлого" бывает гораздо серьезнее.
|
||||
В этом примере достаточно дополнительно учитывать только одно предыдущее состояние, поэтому после расширения определения состояния задача снова начинает удовлетворять свойству отсутствия последствий. Однако в некоторых задачах «зависимость от прошлого» бывает гораздо серьезнее.
|
||||
|
||||
!!! question "Подъем по лестнице с порождением препятствий"
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -13,27 +13,27 @@ comments: true
|
||||
|
||||
В целом, если задача содержит перекрывающиеся подзадачи, оптимальную подструктуру и удовлетворяет свойству отсутствия последствий, то она обычно подходит для решения с помощью динамического программирования. Однако извлечь все эти свойства напрямую из формулировки задачи бывает трудно. Поэтому на практике мы обычно ослабляем требования и **сначала смотрим, подходит ли задача для решения методом поиска с возвратом (полного перебора)**.
|
||||
|
||||
**Задачи, подходящие для поиска с возвратом, обычно удовлетворяют "модели дерева решений"**. Такие задачи можно описать деревом, где каждый узел представляет одно решение, а каждый путь представляет последовательность решений.
|
||||
**Задачи, подходящие для поиска с возвратом, обычно удовлетворяют «модели дерева решений»**. Такие задачи можно описать деревом, где каждый узел представляет одно решение, а каждый путь представляет последовательность решений.
|
||||
|
||||
Иначе говоря, если в задаче есть четко выраженные решения и ответ порождается последовательностью таких решений, то она удовлетворяет модели дерева решений и обычно допускает решение через поиск с возвратом.
|
||||
|
||||
Поверх этого у задач динамического программирования есть и некоторые дополнительные "плюсы".
|
||||
Поверх этого у задач динамического программирования есть и некоторые дополнительные «плюсы».
|
||||
|
||||
- В условии задачи фигурируют слова "максимальный", "минимальный", "наибольший", "наименьший" и другие формулировки оптимизации.
|
||||
- В условии задачи фигурируют слова «максимальный», «минимальный», «наибольший», «наименьший» и другие формулировки оптимизации.
|
||||
- Состояния задачи можно описать списком, многомерной матрицей или деревом, и между состоянием и соседними состояниями существует рекуррентная зависимость.
|
||||
|
||||
Соответственно, существуют и некоторые "минусы".
|
||||
Соответственно, существуют и некоторые «минусы».
|
||||
|
||||
- Цель задачи состоит в поиске всех возможных решений, а не одного оптимального решения.
|
||||
- В формулировке явно присутствуют признаки комбинаторного перечисления, и требуется вернуть сразу много конкретных вариантов.
|
||||
|
||||
Если задача удовлетворяет модели дерева решений и имеет достаточно явные "плюсы", мы можем предположить, что это задача динамического программирования, а затем проверить это предположение уже в процессе решения.
|
||||
Если задача удовлетворяет модели дерева решений и имеет достаточно явные «плюсы», мы можем предположить, что это задача динамического программирования, а затем проверить это предположение уже в процессе решения.
|
||||
|
||||
## 14.3.2 Этапы решения задачи
|
||||
|
||||
Конкретный процесс решения задач динамического программирования зависит от природы и сложности задачи, но обычно включает следующие шаги: описание решений, определение состояний, построение таблицы $dp$ , вывод уравнения перехода состояния, определение граничных условий и порядка переходов.
|
||||
|
||||
Чтобы нагляднее показать этот процесс, рассмотрим классическую задачу "минимальная сумма пути".
|
||||
Чтобы нагляднее показать этот процесс, рассмотрим классическую задачу «минимальная сумма пути».
|
||||
|
||||
!!! question
|
||||
|
||||
@@ -47,7 +47,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
**Шаг 1: понять решения на каждом раунде, определить состояние и тем самым получить таблицу $dp$**
|
||||
|
||||
В этой задаче на каждом раунде решение состоит в том, чтобы из текущей клетки сделать один шаг вниз или вправо. Пусть индексы строки и столбца текущей клетки равны $[i, j]$ ; тогда после шага вниз или вправо индексы становятся равными $[i+1, j]$ или $[i, j+1]$ . Значит, состояние должно включать два переменных индекса: строки и столбца, то есть состояние обозначается как $[i, j]$ .
|
||||
В этой задаче на каждом раунде решение состоит в том, чтобы из текущей клетки сделать один шаг вниз или вправо. Пусть индексы строки и столбца текущей клетки равны $[i, j]$. Тогда после шага вниз или вправо индексы становятся равными $[i+1, j]$ или $[i, j+1]$ . Значит, состояние должно включать два переменных индекса: строки и столбца, то есть состояние обозначается как $[i, j]$ .
|
||||
|
||||
Подзадача, соответствующая состоянию $[i, j]$ , такова: минимальная сумма пути от стартовой клетки $[0, 0]$ до клетки $[i, j]$ . Ее решение обозначается через $dp[i, j]$ .
|
||||
|
||||
@@ -60,8 +60,8 @@ comments: true
|
||||
!!! note
|
||||
|
||||
Как в динамическом программировании, так и в поиске с возвратом, решение задачи можно описать как последовательность решений, а состояние образуется всеми переменными решений. Оно должно содержать всю информацию, достаточную для вывода следующего состояния.
|
||||
|
||||
Каждому состоянию соответствует некоторая подзадача, и для хранения решений всех подзадач мы определяем таблицу $dp$ ; каждая независимая переменная состояния становится одним измерением таблицы $dp$ . По сути таблица $dp$ - это отображение от состояния к решению соответствующей подзадачи.
|
||||
|
||||
Каждому состоянию соответствует некоторая подзадача, и для хранения решений всех подзадач мы определяем таблицу $dp$. Каждая независимая переменная состояния становится одним измерением таблицы $dp$ . По сути таблица $dp$ - это отображение от состояния к решению соответствующей подзадачи.
|
||||
|
||||
**Шаг 2: найти оптимальную подструктуру и на ее основе вывести уравнение перехода состояния**
|
||||
|
||||
@@ -96,10 +96,10 @@ $$
|
||||
!!! note
|
||||
|
||||
В динамическом программировании граничные условия используются для инициализации таблицы $dp$ , а в поиске - для обрезки.
|
||||
|
||||
|
||||
Смысл порядка перехода состояния в том, чтобы к моменту вычисления текущей подзадачи все более мелкие подзадачи, от которых она зависит, уже были вычислены корректно.
|
||||
|
||||
После этого анализа мы уже можем напрямую написать код динамического программирования. Однако разложение на подзадачи - это мышление "сверху вниз", поэтому с точки зрения мышления более естественно реализовывать задачу в порядке "полный перебор $\rightarrow$ поиск с мемоизацией $\rightarrow$ динамическое программирование".
|
||||
После этого анализа мы уже можем напрямую написать код динамического программирования. Однако разложение на подзадачи - это мышление «сверху вниз», поэтому с точки зрения мышления более естественно реализовывать задачу в порядке «полный перебор $\rightarrow$ поиск с мемоизацией $\rightarrow$ динамическое программирование».
|
||||
|
||||
### 1. Метод 1: полный перебор
|
||||
|
||||
@@ -388,7 +388,7 @@ $$
|
||||
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dfs%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9C%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B0%20%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8%3A%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%8F%D1%8F%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D1%8F%D1%87%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D0%B0%2C%20%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20and%20j%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81%D1%8B%20%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B8%20%D0%B8%D0%BB%D0%B8%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B1%D1%86%D0%B0%20%D0%B2%D1%8B%D1%85%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D1%82%20%D0%B7%D0%B0%20%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B%2C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%2B%E2%88%9E%0A%20%20%20%20if%20i%20%3C%200%20or%20j%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20inf%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%83%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8%20%D0%B8%D0%B7%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0%20%D0%B4%D0%BE%20%28i-1%2C%20j%29%20%D0%B8%20%28i%2C%20j-1%29%0A%20%20%20%20up%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid%2C%20i%20-%201%2C%20j%29%0A%20%20%20%20left%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid%2C%20i%2C%20j%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%83%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8%20%D0%B8%D0%B7%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0%20%D0%B4%D0%BE%20%28i%2C%20j%29%0A%20%20%20%20return%20min%28left%2C%20up%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1%2C%203%2C%201%2C%205%5D%2C%20%5B2%2C%202%2C%204%2C%202%5D%2C%20%5B5%2C%203%2C%202%2C%201%5D%2C%20%5B4%2C%203%2C%205%2C%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid%2C%20n%20-%201%2C%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9C%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B0%20%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8%20%D0%B8%D0%B7%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%BD%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
|
||||
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dfs%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9C%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B0%20%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8%3A%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%8F%D1%8F%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D1%8F%D1%87%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D0%B0%2C%20%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20and%20j%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81%D1%8B%20%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B8%20%D0%B8%D0%BB%D0%B8%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B1%D1%86%D0%B0%20%D0%B2%D1%8B%D1%85%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D1%82%20%D0%B7%D0%B0%20%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B%2C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%2B%E2%88%9E%0A%20%20%20%20if%20i%20%3C%200%20or%20j%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20inf%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%83%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8%20%D0%B8%D0%B7%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0%20%D0%B4%D0%BE%20%28i-1%2C%20j%29%20%D0%B8%20%28i%2C%20j-1%29%0A%20%20%20%20up%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid%2C%20i%20-%201%2C%20j%29%0A%20%20%20%20left%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid%2C%20i%2C%20j%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%83%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8%20%D0%B8%D0%B7%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0%20%D0%B4%D0%BE%20%28i%2C%20j%29%0A%20%20%20%20return%20min%28left%2C%20up%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1%2C%203%2C%201%2C%205%5D%2C%20%5B2%2C%202%2C%204%2C%202%5D%2C%20%5B5%2C%203%2C%202%2C%201%5D%2C%20%5B4%2C%203%2C%205%2C%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid%2C%20n%20-%201%2C%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9C%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B0%20%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8%20%D0%B8%D0%B7%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%BD%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
|
||||
|
||||
На рисунке 14-14 показано дерево рекурсии с корнем в $dp[2, 1]$ ; в нем содержатся перекрывающиеся подзадачи, и их число будет резко расти вместе с размером сетки `grid` .
|
||||
На рисунке 14-14 показано дерево рекурсии с корнем в $dp[2, 1]$. В нем содержатся перекрывающиеся подзадачи, и их число будет резко расти вместе с размером сетки `grid` .
|
||||
|
||||
По своей сути причина появления перекрывающихся подзадач такова: **существует много разных путей от левого верхнего угла до одной и той же клетки**.
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -9,10 +9,10 @@ comments: true
|
||||
!!! question
|
||||
|
||||
Даны две строки $s$ и $t$ . Верните минимальное число шагов редактирования, необходимое для преобразования $s$ в $t$ .
|
||||
|
||||
|
||||
Для строки допускаются три операции редактирования: вставка одного символа, удаление одного символа и замена одного символа на произвольный другой символ.
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке 14-27, для преобразования `kitten` в `sitting` требуется 3 шага редактирования: 2 операции замены и 1 операция вставки; для преобразования `hello` в `algo` также требуется 3 шага: 2 замены и 1 удаление.
|
||||
Как показано на рисунке 14-27, для преобразования `kitten` в `sitting` требуется 3 шага редактирования: 2 операции замены и 1 операция вставки. Для преобразования `hello` в `algo` также требуется 3 шага: 2 замены и 1 удаление.
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
@@ -34,7 +34,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
На каждом раунде решение состоит в выполнении одной операции редактирования над строкой $s$ .
|
||||
|
||||
Нам нужно, чтобы в ходе выполнения операций размер задачи постепенно уменьшался; только тогда можно строить подзадачи. Пусть длины строк $s$ и $t$ равны соответственно $n$ и $m$ ; сначала рассмотрим последние символы этих строк, то есть $s[n-1]$ и $t[m-1]$ .
|
||||
Нам нужно, чтобы в ходе выполнения операций размер задачи постепенно уменьшался. Только тогда можно строить подзадачи. Пусть длины строк $s$ и $t$ равны соответственно $n$ и $m$. Сначала рассмотрим последние символы этих строк, то есть $s[n-1]$ и $t[m-1]$ .
|
||||
|
||||
- Если $s[n-1]$ и $t[m-1]$ совпадают, их можно просто пропустить и сразу перейти к сравнению $s[n-2]$ и $t[m-2]$ .
|
||||
- Если $s[n-1]$ и $t[m-1]$ различны, нужно выполнить над $s$ одну операцию редактирования (вставку, удаление или замену), чтобы последние символы стали одинаковыми, после чего можно перейти к задаче меньшего размера.
|
||||
@@ -49,9 +49,9 @@ comments: true
|
||||
|
||||
Рассмотрим подзадачу $dp[i, j]$ . Ее последние символы - это $s[i-1]$ и $t[j-1]$ . В зависимости от операции редактирования возможны три случая, показанные на рисунке 14-29.
|
||||
|
||||
1. Вставить после $s[i-1]$ символ $t[j-1]$ ; тогда остается подзадача $dp[i, j-1]$ .
|
||||
2. Удалить $s[i-1]$ ; тогда остается подзадача $dp[i-1, j]$ .
|
||||
3. Заменить $s[i-1]$ на $t[j-1]$ ; тогда остается подзадача $dp[i-1, j-1]$ .
|
||||
1. Вставить после $s[i-1]$ символ $t[j-1]$. Тогда остается подзадача $dp[i, j-1]$ .
|
||||
2. Удалить $s[i-1]$. Тогда остается подзадача $dp[i-1, j]$ .
|
||||
3. Заменить $s[i-1]$ на $t[j-1]$. Тогда остается подзадача $dp[i-1, j-1]$ .
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
@@ -535,7 +535,7 @@ $$
|
||||
|
||||
Поскольку $dp[i,j]$ зависит от значения сверху $dp[i-1, j]$ , слева $dp[i, j-1]$ и слева сверху $dp[i-1, j-1]$ , прямой обход после оптимизации памяти теряет значение слева сверху, а обратный обход не позволяет заранее построить значение слева $dp[i, j-1]$ . Значит, оба наивных варианта обхода здесь непригодны.
|
||||
|
||||
Чтобы решить эту проблему, можно использовать переменную `leftup` для временного сохранения значения слева сверху $dp[i-1, j-1]$ ; после этого остается учитывать только верхнее и левое значения. Тогда ситуация становится аналогичной задаче о полном рюкзаке, и можно выполнять прямой обход. Код приведен ниже:
|
||||
Чтобы решить эту проблему, можно использовать переменную `leftup` для временного сохранения значения слева сверху $dp[i-1, j-1]$. После этого остается учитывать только верхнее и левое значения. Тогда ситуация становится аналогичной задаче о полном рюкзаке, и можно выполнять прямой обход. Код приведен ниже:
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -10,7 +10,7 @@ icon: material/table-pivot
|
||||
!!! abstract
|
||||
|
||||
Ручьи впадают в реки, а реки вливаются в море.
|
||||
|
||||
|
||||
Динамическое программирование собирает решения малых задач в ответ на большую задачу и шаг за шагом ведет нас к ее решению.
|
||||
|
||||
## Содержание главы
|
||||
|
||||
@@ -18,7 +18,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 14-1 Число способов подняться на 3-ю ступень </p>
|
||||
|
||||
Цель этой задачи - вычислить количество способов. **Поэтому можно попробовать использовать для ее решения метод поиска с возвратом**. Если представить подъем по лестнице как последовательность решений, то мы начинаем от земли и на каждом раунде выбираем прыжок на $1$ или на $2$ ступени; всякий раз, когда достигаем вершины, увеличиваем число способов на $1$ , а если перескакиваем вершину, обрезаем эту ветвь. Код выглядит так:
|
||||
Цель этой задачи - вычислить количество способов. **Поэтому можно попробовать использовать для ее решения метод поиска с возвратом**. Если представить подъем по лестнице как последовательность решений, то мы начинаем от земли и на каждом раунде выбираем прыжок на $1$ или на $2$ ступени. Всякий раз, когда достигаем вершины, увеличиваем число способов на $1$ , а если перескакиваем вершину, обрезаем эту ветвь. Код выглядит так:
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
@@ -427,9 +427,9 @@ comments: true
|
||||
|
||||
## 14.1.1 Метод 1: полный перебор
|
||||
|
||||
Алгоритм поиска с возвратом обычно не раскладывает задачу явно на подзадачи; вместо этого он рассматривает решение как последовательность решений, используя попытки и обрезку для поиска всех возможных ответов.
|
||||
Алгоритм поиска с возвратом обычно не раскладывает задачу явно на подзадачи. Вместо этого он рассматривает решение как последовательность решений, используя попытки и обрезку для поиска всех возможных ответов.
|
||||
|
||||
Попробуем посмотреть на задачу именно как на разложение подзадач. Пусть число способов добраться до ступени $i$ равно $dp[i]$ ; тогда $dp[i]$ - это исходная задача, а ее подзадачи включают:
|
||||
Попробуем посмотреть на задачу именно как на разложение подзадач. Пусть число способов добраться до ступени $i$ равно $dp[i]$. Тогда $dp[i]$ - это исходная задача, а ее подзадачи включают:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
dp[i-1], dp[i-2], \dots, dp[2], dp[1]
|
||||
@@ -706,7 +706,7 @@ $$
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 14-3 Дерево рекурсии для подъема по лестнице </p>
|
||||
|
||||
Если посмотреть на рисунок 14-3, то видно, что **экспоненциальная временная сложность порождается "перекрывающимися подзадачами"**. Например, $dp[9]$ раскладывается в $dp[8]$ и $dp[7]$ , а $dp[8]$ - в $dp[7]$ и $dp[6]$ ; обе ветви содержат подзадачу $dp[7]$ .
|
||||
Как видно на рисунке 14-3, **экспоненциальная временная сложность порождается «перекрывающимися подзадачами»**. Например, $dp[9]$ раскладывается в $dp[8]$ и $dp[7]$ , а $dp[8]$ - в $dp[7]$ и $dp[6]$. Обе ветви содержат подзадачу $dp[7]$ .
|
||||
|
||||
Продолжая это рассуждение, мы видим, что подзадачи порождают все более мелкие перекрывающиеся подзадачи без конца. Подавляющая часть вычислительных ресурсов уходит именно на них.
|
||||
|
||||
@@ -1075,11 +1075,11 @@ $$
|
||||
|
||||
## 14.1.3 Метод 3: динамическое программирование
|
||||
|
||||
**Поиск с мемоизацией - это метод "сверху вниз"** : мы начинаем с исходной задачи (корня), рекурсивно раскладываем более крупные подзадачи на меньшие, пока не достигнем наименьших подзадач с уже известным ответом (листьев). Затем в процессе возврата постепенно собираем решения подзадач и тем самым получаем решение исходной задачи.
|
||||
**Поиск с мемоизацией - это метод «сверху вниз»** : мы начинаем с исходной задачи (корня), рекурсивно раскладываем более крупные подзадачи на меньшие, пока не достигнем наименьших подзадач с уже известным ответом (листьев). Затем в процессе возврата постепенно собираем решения подзадач и тем самым получаем решение исходной задачи.
|
||||
|
||||
Напротив, **динамическое программирование - это метод "снизу вверх"** : начиная с решений наименьших подзадач, мы итеративно строим решения для более крупных подзадач, пока не получим ответ на исходную задачу.
|
||||
Напротив, **динамическое программирование - это метод «снизу вверх»** : начиная с решений наименьших подзадач, мы итеративно строим решения для более крупных подзадач, пока не получим ответ на исходную задачу.
|
||||
|
||||
Поскольку в динамическом программировании нет этапа возврата, для его реализации достаточно обычных циклов, без рекурсии. В приведенном ниже коде мы инициализируем массив `dp` для хранения решений подзадач; он выполняет ту же роль, что и массив `mem` в мемоизированном поиске:
|
||||
Поскольку в динамическом программировании нет этапа возврата, для его реализации достаточно обычных циклов, без рекурсии. В приведенном ниже коде мы инициализируем массив `dp` для хранения решений подзадач. Он выполняет ту же роль, что и массив `mem` в мемоизированном поиске:
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
@@ -1349,7 +1349,7 @@ $$
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 14-5 Процесс динамического программирования для подъема по лестнице </p>
|
||||
|
||||
Как и в поиске с возвратом, в динамическом программировании используется понятие "состояние" для обозначения некоторого этапа решения задачи; каждое состояние соответствует одной подзадаче и ее локально оптимальному решению. Например, в задаче о лестнице состояние определяется текущим номером ступени $i$ .
|
||||
Как и в поиске с возвратом, в динамическом программировании используется понятие «состояние» для обозначения некоторого этапа решения задачи. Каждое состояние соответствует одной подзадаче и ее локально оптимальному решению. Например, в задаче о лестнице состояние определяется текущим номером ступени $i$ .
|
||||
|
||||
На основе сказанного можно подвести несколько часто используемых терминов динамического программирования.
|
||||
|
||||
@@ -1359,7 +1359,7 @@ $$
|
||||
|
||||
## 14.1.4 Оптимизация пространства
|
||||
|
||||
Внимательный читатель мог заметить, что **поскольку $dp[i]$ зависит только от $dp[i-1]$ и $dp[i-2]$ , нам не нужен весь массив `dp` для хранения ответов всех подзадач** ; достаточно двух переменных, которые будут "перекатываться" вперед. Код имеет вид:
|
||||
Внимательный читатель мог заметить, что **поскольку $dp[i]$ зависит только от $dp[i-1]$ и $dp[i-2]$ , нам не нужен весь массив `dp` для хранения ответов всех подзадач**. Достаточно двух переменных, которые будут «перекатываться» вперед. Код имеет вид:
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
@@ -1582,4 +1582,4 @@ $$
|
||||
|
||||
Из кода видно, что после отказа от массива `dp` пространственная сложность уменьшается с $O(n)$ до $O(1)$ .
|
||||
|
||||
Во многих задачах динамического программирования текущее состояние зависит лишь от ограниченного числа предыдущих состояний. Тогда можно сохранять только действительно нужные состояния и за счет "уменьшения размерности" экономить память. **Этот прием оптимизации памяти называют "скользящими переменными" или "скользящим массивом"**.
|
||||
Во многих задачах динамического программирования текущее состояние зависит лишь от ограниченного числа предыдущих состояний. Тогда можно сохранять только действительно нужные состояния и за счет «уменьшения размерности» экономить память. **Этот прием оптимизации памяти называют «скользящими переменными» или «скользящим массивом»**.
|
||||
|
||||
@@ -20,11 +20,11 @@ comments: true
|
||||
|
||||
Задачу о рюкзаке 0-1 можно рассматривать как процесс из $n$ раундов принятия решений: для каждого предмета есть два решения - не класть его в рюкзак или положить в рюкзак. Поэтому задача удовлетворяет модели дерева решений.
|
||||
|
||||
Цель задачи - найти "максимальную суммарную стоимость при ограниченной вместимости рюкзака", а это с большой вероятностью указывает на задачу динамического программирования.
|
||||
Цель задачи - найти «максимальную суммарную стоимость при ограниченной вместимости рюкзака», а это с большой вероятностью указывает на задачу динамического программирования.
|
||||
|
||||
**Шаг 1: продумать решения на каждом раунде, определить состояние и тем самым получить таблицу $dp$**
|
||||
|
||||
Для каждого предмета возможны два случая: не класть его в рюкзак, тогда вместимость не меняется; или положить его в рюкзак, тогда оставшаяся вместимость уменьшается. Отсюда получается определение состояния: текущий номер предмета $i$ и текущая вместимость рюкзака $c$ , то есть состояние обозначается как $[i, c]$ .
|
||||
Для каждого предмета возможны два случая: не класть его в рюкзак, тогда вместимость не меняется. Или положить его в рюкзак, тогда оставшаяся вместимость уменьшается. Отсюда получается определение состояния: текущий номер предмета $i$ и текущая вместимость рюкзака $c$ , то есть состояние обозначается как $[i, c]$ .
|
||||
|
||||
Подзадача, соответствующая состоянию $[i, c]$ , такова: **максимальная стоимость, которую можно получить, используя первые $i$ предметов и рюкзак вместимости $c$**. Ее решение обозначается через $dp[i, c]$ .
|
||||
|
||||
@@ -47,7 +47,7 @@ $$
|
||||
|
||||
**Шаг 3: определить граничные условия и порядок переходов**
|
||||
|
||||
Когда предметов нет или вместимость рюкзака равна $0$ , максимальная стоимость равна $0$ ; то есть весь первый столбец $dp[i, 0]$ и вся первая строка $dp[0, c]$ заполняются нулями.
|
||||
Когда предметов нет или вместимость рюкзака равна $0$ , максимальная стоимость равна $0$. То есть весь первый столбец $dp[i, 0]$ и вся первая строка $dp[0, c]$ заполняются нулями.
|
||||
|
||||
Текущее состояние $[i, c]$ зависит от состояния сверху $[i-1, c]$ и состояния слева сверху $[i-1, c-wgt[i-1]]$ , поэтому достаточно двумя вложенными циклами пройти по всей таблице $dp$ в прямом порядке.
|
||||
|
||||
@@ -343,7 +343,7 @@ $$
|
||||
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20c%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%200-1%3A%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%8B%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BC%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8B%20%D0%B8%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B5%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%8C%20%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%2C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B0%2C%20%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%20%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%83%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B5%D0%B2%2C%20%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20i%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%82%20%D0%B8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%82%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%20%D1%81%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20%D0%B8%D0%B7%20%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85%20%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D1%85%0A%20%20%20%20return%20max%28no%2C%20yes%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20n%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B1%D0%B5%D0%B7%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
|
||||
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20c%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%200-1%3A%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%8B%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BC%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8B%20%D0%B8%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B5%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%8C%20%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%2C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B0%2C%20%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%20%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%83%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B5%D0%B2%2C%20%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20i%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%82%20%D0%B8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%82%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%20%D1%81%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20%D0%B8%D0%B7%20%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85%20%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D1%85%0A%20%20%20%20return%20max%28no%2C%20yes%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20n%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B1%D0%B5%D0%B7%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке 14-18, поскольку каждый предмет создает две ветви поиска - "не брать" и "брать", временная сложность равна $O(2^n)$ .
|
||||
Как показано на рисунке 14-18, поскольку каждый предмет создает две ветви поиска - «не брать» и «брать», временная сложность равна $O(2^n)$ .
|
||||
|
||||
Посмотрев на дерево рекурсии, легко заметить наличие перекрывающихся подзадач, например $dp[1, 10]$ и подобных. Когда число предметов растет, вместимость рюкзака велика, а особенно когда много предметов с одинаковым весом, количество перекрывающихся подзадач быстро увеличивается.
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -8,22 +8,22 @@ comments: true
|
||||
|
||||
- Динамическое программирование раскладывает задачу на подзадачи и повышает вычислительную эффективность за счет хранения решений этих подзадач и устранения повторных вычислений.
|
||||
- Если не учитывать затраты времени, то любую задачу динамического программирования можно решить с помощью поиска с возвратом (полного перебора), однако в дереве рекурсии возникает множество перекрывающихся подзадач, из-за чего эффективность крайне низка. После введения таблицы памяти можно хранить решения всех уже вычисленных подзадач и гарантировать, что каждая перекрывающаяся подзадача будет вычисляться только один раз.
|
||||
- Поиск с мемоизацией - это рекурсивный метод "сверху вниз", а соответствующее ему динамическое программирование - это итеративный метод "снизу вверх", похожий на заполнение таблицы. Поскольку текущее состояние обычно зависит только от части локальных состояний, можно убрать одно измерение таблицы $dp$ и тем самым снизить пространственную сложность.
|
||||
- Разложение на подзадачи - это общий алгоритмический подход, но в методе "разделяй и властвуй", динамическом программировании и поиске с возвратом он имеет разные свойства.
|
||||
- Поиск с мемоизацией - это рекурсивный метод «сверху вниз», а соответствующее ему динамическое программирование - это итеративный метод «снизу вверх», похожий на заполнение таблицы. Поскольку текущее состояние обычно зависит только от части локальных состояний, можно убрать одно измерение таблицы $dp$ и тем самым снизить пространственную сложность.
|
||||
- Разложение на подзадачи - это общий алгоритмический подход, но в методе «разделяй и властвуй», динамическом программировании и поиске с возвратом он имеет разные свойства.
|
||||
- Для задач динамического программирования характерны три главных свойства: перекрывающиеся подзадачи, оптимальная подструктура и отсутствие последствий.
|
||||
- Если оптимальное решение исходной задачи можно построить из оптимальных решений подзадач, то задача обладает оптимальной подструктурой.
|
||||
- Отсутствие последствий означает, что для данного состояния его дальнейшее развитие определяется только этим состоянием и не зависит от всех прошлых состояний. Многие задачи комбинаторной оптимизации этим свойством не обладают и потому не могут эффективно решаться с помощью динамического программирования.
|
||||
|
||||
**Задачи о рюкзаке**
|
||||
|
||||
- Задача о рюкзаке - один из самых типичных классов задач динамического программирования; она включает варианты 0-1 рюкзака, полного рюкзака, многократного рюкзака и другие.
|
||||
- Задача о рюкзаке - один из самых типичных классов задач динамического программирования. Она включает варианты 0-1 рюкзака, полного рюкзака, многократного рюкзака и другие.
|
||||
- В задаче о рюкзаке 0-1 состояние определяется как максимальная стоимость первых $i$ предметов в рюкзаке вместимости $c$ . Рассматривая два решения - не брать предмет и брать предмет, - можно получить оптимальную подструктуру и вывести уравнение перехода состояния. При оптимизации памяти, поскольку каждое состояние зависит от значения сверху и слева сверху, внутренний цикл нужно выполнять в обратном порядке, чтобы не перезаписать нужное значение.
|
||||
- В задаче о полном рюкзаке число экземпляров каждого предмета не ограничено, поэтому при выборе предмета переход состояния отличается от варианта 0-1. Поскольку состояние зависит от значения сверху и слева, после оптимизации памяти внутренний цикл следует выполнять в прямом порядке.
|
||||
- Задача о размене монет - это вариант задачи о полном рюкзаке. Здесь вместо "максимальной стоимости" ищется "минимальное число монет", поэтому в уравнении перехода $\max()$ заменяется на $\min()$ . Кроме того, вместо условия "не превышать вместимость рюкзака" нужно **ровно** набрать целевую сумму, поэтому значение $amt + 1$ используется как обозначение недопустимого решения "сумму набрать нельзя".
|
||||
- В задаче о размене монет II вместо "минимального числа монет" требуется найти "число комбинаций монет", поэтому в уравнении перехода оператор $\min()$ заменяется на суммирование.
|
||||
- Задача о размене монет - это вариант задачи о полном рюкзаке. Здесь вместо «максимальной стоимости» ищется «минимальное число монет», поэтому в уравнении перехода $\max()$ заменяется на $\min()$ . Кроме того, вместо условия «не превышать вместимость рюкзака» нужно **ровно** набрать целевую сумму, поэтому значение $amt + 1$ используется как обозначение недопустимого решения «сумму набрать нельзя».
|
||||
- В задаче о размене монет II вместо «минимального числа монет» требуется найти «число комбинаций монет», поэтому в уравнении перехода оператор $\min()$ заменяется на суммирование.
|
||||
|
||||
**Задача о расстоянии редактирования**
|
||||
|
||||
- Расстояние редактирования (расстояние Левенштейна) используется для измерения сходства двух строк и определяется как минимальное число операций редактирования, необходимых для преобразования одной строки в другую; допустимые операции - вставка, удаление и замена.
|
||||
- Расстояние редактирования (расстояние Левенштейна) используется для измерения сходства двух строк и определяется как минимальное число операций редактирования, необходимых для преобразования одной строки в другую. Допустимые операции - вставка, удаление и замена.
|
||||
- В задаче о расстоянии редактирования состояние определяется как минимальное число шагов редактирования, необходимых для преобразования первых $i$ символов строки $s$ в первые $j$ символов строки $t$ . Если $s[i] \ne t[j]$ , то существуют три решения: вставка, удаление и замена, и каждому из них соответствует своя остаточная подзадача. На этой основе выводятся оптимальная подструктура и уравнение перехода состояния. Если же $s[i] = t[j]$ , то редактировать текущий символ не нужно.
|
||||
- В задаче о расстоянии редактирования состояние зависит от значений сверху, слева и слева сверху. Поэтому после оптимизации памяти ни прямой, ни обратный обход сам по себе не дает корректного перехода состояния. Для решения этой проблемы значение слева сверху временно сохраняется в отдельной переменной, что делает ситуацию эквивалентной задаче о полном рюкзаке и позволяет использовать прямой обход.
|
||||
|
||||
@@ -18,7 +18,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
### 1. Идея динамического программирования
|
||||
|
||||
Задача о полном рюкзаке очень похожа на задачу о рюкзаке 0-1; **разница состоит только в том, что количество выборов каждого предмета не ограничено**.
|
||||
Задача о полном рюкзаке очень похожа на задачу о рюкзаке 0-1. **Разница состоит только в том, что количество выборов каждого предмета не ограничено**.
|
||||
|
||||
- В задаче о рюкзаке 0-1 каждого предмета существует только один экземпляр, поэтому после того как предмет $i$ помещен в рюкзак, выбирать можно только из первых $i-1$ предметов.
|
||||
- В задаче о полном рюкзаке количество предметов не ограничено, поэтому после того как предмет $i$ помещен в рюкзак, **можно продолжать выбирать из первых $i$ предметов**.
|
||||
@@ -36,7 +36,7 @@ $$
|
||||
|
||||
### 2. Реализация кода
|
||||
|
||||
Если сравнить код этой задачи с кодом задачи о рюкзаке 0-1, то окажется, что в переходе состояний меняется только одна деталь: вместо $i-1$ появляется $i$ ; все остальное остается таким же:
|
||||
Если сравнить код этой задачи с кодом задачи о рюкзаке 0-1, то окажется, что в переходе состояний меняется только одна деталь: вместо $i-1$ появляется $i$. Все остальное остается таким же:
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
@@ -380,7 +380,7 @@ $$
|
||||
|
||||
Поскольку текущее состояние переходит из состояния слева и состояния сверху, **после оптимизации памяти каждую строку таблицы $dp$ нужно обходить слева направо**.
|
||||
|
||||
Этот порядок обхода как раз противоположен задаче о рюкзаке 0-1. Разницу удобно понять по рисунку ниже.
|
||||
Этот порядок обхода как раз противоположен задаче о рюкзаке 0-1. Эту разницу удобно понять, рассмотрев то, что показано на рисунке 14-23.
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
@@ -764,9 +764,9 @@ $$
|
||||
|
||||
### 1. Идея динамического программирования
|
||||
|
||||
**Задачу о размене монет можно рассматривать как частный случай задачи о полном рюкзаке** ; между ними существуют следующие соответствия и различия.
|
||||
**Задачу о размене монет можно рассматривать как частный случай задачи о полном рюкзаке**. Между ними существуют следующие соответствия и различия.
|
||||
|
||||
- Эти две задачи можно взаимно преобразовать: "предмет" соответствует "монете", "вес предмета" соответствует "номиналу монеты", а "вместимость рюкзака" соответствует "целевой сумме".
|
||||
- Эти две задачи можно взаимно преобразовать: «предмет» соответствует «монете», «вес предмета» соответствует «номиналу монеты», а «вместимость рюкзака» соответствует «целевой сумме».
|
||||
- Цель оптимизации противоположна: в задаче о полном рюкзаке нужно максимизировать стоимость предметов, а в задаче о размене монет - минимизировать число монет.
|
||||
- В задаче о полном рюкзаке ищется решение, не превышающее вместимость, а в задаче о размене монет требуется **ровно** набрать целевую сумму.
|
||||
|
||||
@@ -791,13 +791,13 @@ $$
|
||||
|
||||
Когда целевая сумма равна $0$ , минимальное число монет для ее набора равно $0$ , то есть весь первый столбец $dp[i, 0]$ заполняется нулями.
|
||||
|
||||
Когда монет нет, **невозможно набрать никакую целевую сумму $> 0$** ; это и есть недопустимое решение. Чтобы функция $\min()$ в уравнении перехода состояния могла распознавать и отбрасывать такие недопустимые решения, удобно использовать значение $+ \infty$ ; то есть всю первую строку $dp[0, a]$ нужно инициализировать значением $+ \infty$ .
|
||||
Когда монет нет, **невозможно набрать никакую целевую сумму $> 0$**. Это и есть недопустимое решение. Чтобы функция $\min()$ в уравнении перехода состояния могла распознавать и отбрасывать такие недопустимые решения, удобно использовать значение $+ \infty$. То есть всю первую строку $dp[0, a]$ нужно инициализировать значением $+ \infty$ .
|
||||
|
||||
### 2. Реализация кода
|
||||
|
||||
Большинство языков программирования не предоставляет представление для $+ \infty$ в целочисленном виде, поэтому обычно приходится заменять его на максимальное значение типа `int` . Но тогда возникает риск переполнения: операция $+ 1$ в уравнении перехода может переполнить большое число.
|
||||
|
||||
Поэтому здесь мы используем число $amt + 1$ как обозначение недопустимого решения, потому что для набора суммы $amt$ максимум нужно не больше чем $amt$ монет. Перед возвратом результата проверяем, равно ли $dp[n, amt]$ значению $amt + 1$ ; если да, то возвращаем $-1$ , что означает невозможность набрать целевую сумму. Код приведен ниже:
|
||||
Поэтому здесь мы используем число $amt + 1$ как обозначение недопустимого решения, потому что для набора суммы $amt$ максимум нужно не больше чем $amt$ монет. Перед возвратом результата проверяем, равно ли $dp[n, amt]$ значению $amt + 1$. Если да, то возвращаем $-1$ , что означает невозможность набрать целевую сумму. Код приведен ниже:
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user