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This commit is contained in:
Yudong Jin
@@ -1,22 +1,22 @@
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# 基本数据类型
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谈及计算机中的数据，我们会想到文本、图片、视频、语音、3D 模型等各种形式。尽管这些数据的组织形式各异，但它们都由各种基本数据类型构成。
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当谈及计算机中的数据时，我们会想到文本、图片、视频、语音、3D 模型等各种形式。尽管这些数据的组织形式各异，但它们都由各种基本数据类型构成。
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**基本数据类型是 CPU 可以直接进行运算的类型**，在算法中直接被使用，主要包括以下几种类型。
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**基本数据类型是 CPU 可以直接进行运算的类型**，在算法中直接被使用，主要包括以下几种。
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- 整数类型 `byte`、`short`、`int`、`long` 。
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- 浮点数类型 `float`、`double` ，用于表示小数。
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- 字符类型 `char` ，用于表示各种语言的字母、标点符号、甚至表情符号等。
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- 字符类型 `char` ，用于表示各种语言的字母、标点符号甚至表情符号等。
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- 布尔类型 `bool` ，用于表示“是”与“否”判断。
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**基本数据类型以二进制的形式存储在计算机中**。一个二进制位即为 $1$ 比特。在绝大多数现代系统中，$1$ 字节（byte）由 $8$ 比特（bits）组成。
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**基本数据类型以二进制的形式存储在计算机中**。一个二进制位即为 $1$ 比特。在绝大多数现代操作系统中，$1$ 字节（byte）由 $8$ 比特（bit）组成。
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基本数据类型的取值范围取决于其占用的空间大小。下面以 Java 为例。
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- 整数类型 `byte` 占用 $1$ byte = $8$ bits ，可以表示 $2^{8}$ 个数字。
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- 整数类型 `int` 占用 $4$ bytes = $32$ bits ，可以表示 $2^{32}$ 个数字。
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下表列举了 Java 中各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须硬背，大致理解即可，需要时可以通过查表来回忆。
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下表列举了 Java 中各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无须死记硬背，大致理解即可，需要时可以通过查表来回忆。
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<p align="center"> 表 <id> 基本数据类型的占用空间和取值范围 </p>
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@@ -26,7 +26,7 @@
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| | `short` | 2 bytes | $-2^{15}$ | $2^{15} - 1$ | $0$ |
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| | `int` | 4 bytes | $-2^{31}$ | $2^{31} - 1$ | $0$ |
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| | `long` | 8 bytes | $-2^{63}$ | $2^{63} - 1$ | $0$ |
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| 浮点数 | `float` | 4 bytes | $1.175 \times 10^{-38}$ | $3.403 \times 10^{38}$ | $0.0f$ |
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| 浮点数 | `float` | 4 bytes | $1.175 \times 10^{-38}$ | $3.403 \times 10^{38}$ | $0.0\text{f}$ |
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| | `double` | 8 bytes | $2.225 \times 10^{-308}$ | $1.798 \times 10^{308}$ | $0.0$ |
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| 字符 | `char` | 2 bytes | $0$ | $2^{16} - 1$ | $0$ |
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| 布尔 | `bool` | 1 byte | $\text{false}$ | $\text{true}$ | $\text{false}$ |
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@@ -36,11 +36,11 @@
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- 在 Python 中，整数类型 `int` 可以是任意大小，只受限于可用内存；浮点数 `float` 是双精度 64 位；没有 `char` 类型，单个字符实际上是长度为 1 的字符串 `str` 。
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- C 和 C++ 未明确规定基本数据类型大小，而因实现和平台各异。上表遵循 LP64 [数据模型](https://en.cppreference.com/w/cpp/language/types#Properties)，其用于包括 Linux 和 macOS 在内的 Unix 64 位操作系统。
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- 字符 `char` 的大小在 C 和 C++ 中为 1 字节，在大多数编程语言中取决于特定的字符编码方法，详见“字符编码”章节。
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- 即使表示布尔量仅需 1 位（$0$ 或 $1$），它在内存中通常被存储为 1 字节。这是因为现代计算机 CPU 通常将 1 字节作为最小寻址内存单元。
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- 即使表示布尔量仅需 1 位（$0$ 或 $1$），它在内存中通常存储为 1 字节。这是因为现代计算机 CPU 通常将 1 字节作为最小寻址内存单元。
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那么，基本数据类型与数据结构之间有什么联系呢？我们知道，数据结构是在计算机中组织与存储数据的方式。它的主语是“结构”而非“数据”。
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那么，基本数据类型与数据结构之间有什么联系呢？我们知道，数据结构是在计算机中组织与存储数据的方式。这句话的主语是“结构”而非“数据”。
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如果想要表示“一排数字”，我们自然会想到使用数组。这是因为数组的线性结构可以表示数字的相邻关系和顺序关系，但至于存储的内容是整数 `int`、小数 `float` 或是字符 `char` ，则与“数据结构”无关。
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如果想表示“一排数字”，我们自然会想到使用数组。这是因为数组的线性结构可以表示数字的相邻关系和顺序关系，但至于存储的内容是整数 `int`、小数 `float` 或是字符 `char` ，则与“数据结构”无关。
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换句话说，**基本数据类型提供了数据的“内容类型”，而数据结构提供了数据的“组织方式”**。例如以下代码，我们用相同的数据结构（数组）来存储与表示不同的基本数据类型，包括 `int`、`float`、`char`、`bool` 等。
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@@ -50,7 +50,7 @@
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# 使用多种基本数据类型来初始化数组
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numbers: list[int] = [0] * 5
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decimals: list[float] = [0.0] * 5
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# Python 的字符应被看作长度为一的字符串
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# Python 的字符实际上是长度为 1 的字符串
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characters: list[str] = ['0'] * 5
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bools: list[bool] = [False] * 5
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# Python 的列表可以自由存储各种基本数据类型和对象引用
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@@ -4,7 +4,7 @@
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## ASCII 字符集
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「ASCII 码」是最早出现的字符集，全称为“美国标准信息交换代码”。它使用 7 位二进制数（即一个字节的低 7 位）表示一个字符，最多能够表示 128 个不同的字符。如下图所示，ASCII 码包括英文字母的大小写、数字 0 ~ 9、一些标点符号，以及一些控制字符（如换行符和制表符）。
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「ASCII 码」是最早出现的字符集，其全称为 American Standard Code for Information Interchange（美国标准信息交换代码）。它使用 7 位二进制数（一个字节的低 7 位）表示一个字符，最多能够表示 128 个不同的字符。如下图所示，ASCII 码包括英文字母的大小写、数字 0 ~ 9、一些标点符号，以及一些控制字符（如换行符和制表符）。
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@@ -14,40 +14,40 @@
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## GBK 字符集
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后来人们发现，**EASCII 码仍然无法满足许多语言的字符数量要求**。比如汉字大约有近十万个，光日常使用的就有几千个。中国国家标准总局于 1980 年发布了「GB2312」字符集，其收录了 6763 个汉字，基本满足了汉字的计算机处理需要。
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后来人们发现，**EASCII 码仍然无法满足许多语言的字符数量要求**。比如汉字有近十万个，光日常使用的就有几千个。中国国家标准总局于 1980 年发布了「GB2312」字符集，其收录了 6763 个汉字，基本满足了汉字的计算机处理需要。
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然而，GB2312 无法处理部分的罕见字和繁体字。「GBK」字符集是在 GB2312 的基础上扩展得到的，它共收录了 21886 个汉字。在 GBK 的编码方案中，ASCII 字符使用一个字节表示，汉字使用两个字节表示。
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然而，GB2312 无法处理部分罕见字和繁体字。「GBK」字符集是在 GB2312 的基础上扩展得到的，它共收录了 21886 个汉字。在 GBK 的编码方案中，ASCII 字符使用一个字节表示，汉字使用两个字节表示。
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## Unicode 字符集
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随着计算机的蓬勃发展，字符集与编码标准百花齐放，而这带来了许多问题。一方面，这些字符集一般只定义了特定语言的字符，无法在多语言环境下正常工作。另一方面，同一种语言也存在多种字符集标准，如果两台电脑安装的是不同的编码标准，则在信息传递时就会出现乱码。
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随着计算机技术的蓬勃发展，字符集与编码标准百花齐放，而这带来了许多问题。一方面，这些字符集一般只定义了特定语言的字符，无法在多语言环境下正常工作。另一方面，同一种语言存在多种字符集标准，如果两台计算机使用的是不同的编码标准，则在信息传递时就会出现乱码。
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那个时代的研究人员就在想：**如果推出一个足够完整的字符集，将世界范围内的所有语言和符号都收录其中，不就可以解决跨语言环境和乱码问题了吗**？在这种想法的驱动下，一个大而全的字符集 Unicode 应运而生。
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「Unicode」的全称为“统一字符编码”，理论上能容纳一百多万个字符。它致力于将全球范围内的字符纳入到统一的字符集之中，提供一种通用的字符集来处理和显示各种语言文字，减少因为编码标准不同而产生的乱码问题。
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「Unicode」的中文名称为“统一码”，理论上能容纳 100 多万个字符。它致力于将全球范围内的字符纳入统一的字符集之中，提供一种通用的字符集来处理和显示各种语言文字，减少因为编码标准不同而产生的乱码问题。
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自 1991 年发布以来，Unicode 不断扩充新的语言与字符。截止 2022 年 9 月，Unicode 已经包含 149186 个字符，包括各种语言的字符、符号、甚至是表情符号等。在庞大的 Unicode 字符集中，常用的字符占用 2 字节，有些生僻的字符占 3 字节甚至 4 字节。
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自 1991 年发布以来，Unicode 不断扩充新的语言与字符。截至 2022 年 9 月，Unicode 已经包含 149186 个字符，包括各种语言的字符、符号甚至表情符号等。在庞大的 Unicode 字符集中，常用的字符占用 2 字节，有些生僻的字符占用 3 字节甚至 4 字节。
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Unicode 是一种字符集标准，本质上是给每个字符分配一个编号（称为“码点”），**但它并没有规定在计算机中如何存储这些字符码点**。我们不禁会问：当多种长度的 Unicode 码点同时出现在同一个文本中时，系统如何解析字符？例如给定一个长度为 2 字节的编码，系统如何确认它是一个 2 字节的字符还是两个 1 字节的字符？
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Unicode 是一种通用字符集，本质上是给每个字符分配一个编号（称为“码点”），**但它并没有规定在计算机中如何存储这些字符码点**。我们不禁会问：当多种长度的 Unicode 码点同时出现在一个文本中时，系统如何解析字符？例如给定一个长度为 2 字节的编码，系统如何确认它是一个 2 字节的字符还是两个 1 字节的字符？
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对于以上问题，**一种直接的解决方案是将所有字符存储为等长的编码**。如下图所示，“Hello”中的每个字符占用 1 字节，“算法”中的每个字符占用 2 字节。我们可以通过高位填 0 ，将“Hello 算法”中的所有字符都编码为 2 字节长度。这样系统就可以每隔 2 字节解析一个字符，恢复出这个短语的内容了。
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对于以上问题，**一种直接的解决方案是将所有字符存储为等长的编码**。如下图所示，“Hello”中的每个字符占用 1 字节，“算法”中的每个字符占用 2 字节。我们可以通过高位填 0 将“Hello 算法”中的所有字符都编码为 2 字节长度。这样系统就可以每隔 2 字节解析一个字符，恢复这个短语的内容了。
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然而 ASCII 码已经向我们证明，编码英文只需要 1 字节。若采用上述方案，英文文本占用空间的大小将会是 ASCII 编码下大小的两倍，非常浪费内存空间。因此，我们需要一种更加高效的 Unicode 编码方法。
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然而 ASCII 码已经向我们证明，编码英文只需 1 字节。若采用上述方案，英文文本占用空间的大小将会是 ASCII 编码下的两倍，非常浪费内存空间。因此，我们需要一种更加高效的 Unicode 编码方法。
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## UTF-8 编码
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目前，UTF-8 已成为国际上使用最广泛的 Unicode 编码方法。**它是一种可变长的编码**，使用 1 到 4 个字节来表示一个字符，根据字符的复杂性而变。ASCII 字符只需要 1 个字节，拉丁字母和希腊字母需要 2 个字节，常用的中文字符需要 3 个字节，其他的一些生僻字符需要 4 个字节。
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目前，UTF-8 已成为国际上使用最广泛的 Unicode 编码方法。**它是一种可变长度的编码**，使用 1 到 4 字节来表示一个字符，根据字符的复杂性而变。ASCII 字符只需 1 字节，拉丁字母和希腊字母需要 2 字节，常用的中文字符需要 3 字节，其他的一些生僻字符需要 4 字节。
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UTF-8 的编码规则并不复杂，分为以下两种情况。
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- 对于长度为 1 字节的字符，将最高位设置为 $0$、其余 7 位设置为 Unicode 码点。值得注意的是，ASCII 字符在 Unicode 字符集中占据了前 128 个码点。也就是说，**UTF-8 编码可以向下兼容 ASCII 码**。这意味着我们可以使用 UTF-8 来解析年代久远的 ASCII 码文本。
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- 对于长度为 $n$ 字节的字符（其中 $n > 1$），将首个字节的高 $n$ 位都设置为 $1$、第 $n + 1$ 位设置为 $0$ ；从第二个字节开始，将每个字节的高 2 位都设置为 $10$ ；其余所有位用于填充字符的 Unicode 码点。
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- 对于长度为 1 字节的字符，将最高位设置为 $0$ ，其余 7 位设置为 Unicode 码点。值得注意的是，ASCII 字符在 Unicode 字符集中占据了前 128 个码点。也就是说，**UTF-8 编码可以向下兼容 ASCII 码**。这意味着我们可以使用 UTF-8 来解析年代久远的 ASCII 码文本。
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- 对于长度为 $n$ 字节的字符（其中 $n > 1$），将首个字节的高 $n$ 位都设置为 $1$ ，第 $n + 1$ 位设置为 $0$ ；从第二个字节开始，将每个字节的高 2 位都设置为 $10$ ；其余所有位用于填充字符的 Unicode 码点。
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下图展示了“Hello算法”对应的 UTF-8 编码。观察发现，由于最高 $n$ 位都被设置为 $1$ ，因此系统可以通过读取最高位 $1$ 的个数来解析出字符的长度为 $n$ 。
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下图展示了“Hello算法”对应的 UTF-8 编码。观察发现，由于最高 $n$ 位都设置为 $1$ ，因此系统可以通过读取最高位 $1$ 的个数来解析出字符的长度为 $n$ 。
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但为什么要将其余所有字节的高 2 位都设置为 $10$ 呢？实际上，这个 $10$ 能够起到校验符的作用。假设系统从一个错误的字节开始解析文本，字节头部的 $10$ 能够帮助系统快速的判断出异常。
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但为什么要将其余所有字节的高 2 位都设置为 $10$ 呢？实际上，这个 $10$ 能够起到校验符的作用。假设系统从一个错误的字节开始解析文本，字节头部的 $10$ 能够帮助系统快速判断出异常。
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之所以将 $10$ 当作校验符，是因为在 UTF-8 编码规则下，不可能有字符的最高两位是 $10$ 。这个结论可以用反证法来证明：假设一个字符的最高两位是 $10$ ，说明该字符的长度为 $1$ ，对应 ASCII 码。而 ASCII 码的最高位应该是 $0$ ，与假设矛盾。
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@@ -55,28 +55,28 @@ UTF-8 的编码规则并不复杂，分为以下两种情况。
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除了 UTF-8 之外，常见的编码方式还包括以下两种。
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- **UTF-16 编码**：使用 2 或 4 个字节来表示一个字符。所有的 ASCII 字符和常用的非英文字符，都用 2 个字节表示；少数字符需要用到 4 个字节表示。对于 2 字节的字符，UTF-16 编码与 Unicode 码点相等。
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- **UTF-32 编码**：每个字符都使用 4 个字节。这意味着 UTF-32 会比 UTF-8 和 UTF-16 更占用空间，特别是对于 ASCII 字符占比较高的文本。
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- **UTF-16 编码**：使用 2 或 4 字节来表示一个字符。所有的 ASCII 字符和常用的非英文字符，都用 2 字节表示；少数字符需要用到 4 字节表示。对于 2 字节的字符，UTF-16 编码与 Unicode 码点相等。
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- **UTF-32 编码**：每个字符都使用 4 字节。这意味着 UTF-32 比 UTF-8 和 UTF-16 更占用空间，特别是对于 ASCII 字符占比较高的文本。
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从存储空间的角度看，使用 UTF-8 表示英文字符非常高效，因为它仅需 1 个字节；使用 UTF-16 编码某些非英文字符（例如中文）会更加高效，因为它只需要 2 个字节，而 UTF-8 可能需要 3 个字节。
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从存储空间占用的角度看，使用 UTF-8 表示英文字符非常高效，因为它仅需 1 字节；使用 UTF-16 编码某些非英文字符（例如中文）会更加高效，因为它仅需 2 字节，而 UTF-8 可能需要 3 字节。
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从兼容性的角度看，UTF-8 的通用性最佳，许多工具和库都优先支持 UTF-8 。
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从兼容性的角度看，UTF-8 的通用性最佳，许多工具和库优先支持 UTF-8 。
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## 编程语言的字符编码
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对于以往的大多数编程语言，程序运行中的字符串都采用 UTF-16 或 UTF-32 这类等长的编码。在等长编码下，我们可以将字符串看作数组来处理，这种做法具有以下优点。
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- **随机访问**: UTF-16 编码的字符串可以很容易地进行随机访问。UTF-8 是一种变长编码，要找到第 $i$ 个字符，我们需要从字符串的开始处遍历到第 $i$ 个字符，这需要 $O(n)$ 的时间。
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- **字符计数**: 与随机访问类似，计算 UTF-16 字符串的长度也是 $O(1)$ 的操作。但是，计算 UTF-8 编码的字符串的长度需要遍历整个字符串。
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- **字符串操作**: 在 UTF-16 编码的字符串中，很多字符串操作（如分割、连接、插入、删除等）都更容易进行。在 UTF-8 编码的字符串上进行这些操作通常需要额外的计算，以确保不会产生无效的 UTF-8 编码。
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- **随机访问**：UTF-16 编码的字符串可以很容易地进行随机访问。UTF-8 是一种变长编码，要想找到第 $i$ 个字符，我们需要从字符串的开始处遍历到第 $i$ 个字符，这需要 $O(n)$ 的时间。
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- **字符计数**：与随机访问类似，计算 UTF-16 编码的字符串的长度也是 $O(1)$ 的操作。但是，计算 UTF-8 编码的字符串的长度需要遍历整个字符串。
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- **字符串操作**：在 UTF-16 编码的字符串上，很多字符串操作（如分割、连接、插入、删除等）更容易进行。在 UTF-8 编码的字符串上，进行这些操作通常需要额外的计算，以确保不会产生无效的 UTF-8 编码。
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实际上，编程语言的字符编码方案设计是一个很有趣的话题，其涉及到许多因素。
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实际上，编程语言的字符编码方案设计是一个很有趣的话题，涉及许多因素。
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- Java 的 `String` 类型使用 UTF-16 编码，每个字符占用 2 字节。这是因为 Java 语言设计之初，人们认为 16 位足以表示所有可能的字符。然而，这是一个不正确的判断。后来 Unicode 规范扩展到了超过 16 位，所以 Java 中的字符现在可能由一对 16 位的值（称为“代理对”）表示。
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- JavaScript 和 TypeScript 的字符串使用 UTF-16 编码的原因与 Java 类似。当 JavaScript 语言在 1995 年被 Netscape 公司首次引入时，Unicode 还处于相对早期的阶段，那时候使用 16 位的编码就足够表示所有的 Unicode 字符了。
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- C# 使用 UTF-16 编码，主要因为 .NET 平台是由 Microsoft 设计的，而 Microsoft 的很多技术，包括 Windows 操作系统，都广泛地使用 UTF-16 编码。
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- JavaScript 和 TypeScript 的字符串使用 UTF-16 编码的原因与 Java 类似。当 1995 年 Netscape 公司首次推出 JavaScript 语言时，Unicode 还处于发展早期，那时候使用 16 位的编码就足以表示所有的 Unicode 字符了。
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- C# 使用 UTF-16 编码，主要是因为 .NET 平台是由 Microsoft 设计的，而 Microsoft 的很多技术（包括 Windows 操作系统）都广泛使用 UTF-16 编码。
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由于以上编程语言对字符数量的低估，它们不得不采取“代理对”的方式来表示超过 16 位长度的 Unicode 字符。这是一个不得已为之的无奈之举。一方面，包含代理对的字符串中，一个字符可能占用 2 字节或 4 字节，从而丧失了等长编码的优势。另一方面，处理代理对需要增加额外代码，这增加了编程的复杂性和 Debug 难度。
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由于以上编程语言对字符数量的低估，它们不得不采取“代理对”的方式来表示超过 16 位长度的 Unicode 字符。这是一个不得已为之的无奈之举。一方面，包含代理对的字符串中，一个字符可能占用 2 字节或 4 字节，从而丧失了等长编码的优势。另一方面，处理代理对需要增加额外代码，这提高了编程的复杂性和调试难度。
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出于以上原因，部分编程语言提出了一些不同的编码方案。
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@@ -84,4 +84,4 @@ UTF-8 的编码规则并不复杂，分为以下两种情况。
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- Go 语言的 `string` 类型在内部使用 UTF-8 编码。Go 语言还提供了 `rune` 类型，它用于表示单个 Unicode 码点。
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- Rust 语言的 str 和 String 类型在内部使用 UTF-8 编码。Rust 也提供了 `char` 类型，用于表示单个 Unicode 码点。
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需要注意的是，以上讨论的都是字符串在编程语言中的存储方式，**这和字符串如何在文件中存储或在网络中传输是两个不同的问题**。在文件存储或网络传输中，我们通常会将字符串编码为 UTF-8 格式，以达到最优的兼容性和空间效率。
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需要注意的是，以上讨论的都是字符串在编程语言中的存储方式，**这和字符串如何在文件中存储或在网络中传输是不同的问题**。在文件存储或网络传输中，我们通常会将字符串编码为 UTF-8 格式，以达到最优的兼容性和空间效率。
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@@ -4,16 +4,16 @@
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## 逻辑结构：线性与非线性
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**逻辑结构揭示了数据元素之间的逻辑关系**。在数组和链表中，数据按照顺序依次排列，体现了数据之间的线性关系；而在树中，数据从顶部向下按层次排列，表现出祖先与后代之间的派生关系；图则由节点和边构成，反映了复杂的网络关系。
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**逻辑结构揭示了数据元素之间的逻辑关系**。在数组和链表中，数据按照一定顺序排列，体现了数据之间的线性关系；而在树中，数据从顶部向下按层次排列，表现出“祖先”与“后代”之间的派生关系；图则由节点和边构成，反映了复杂的网络关系。
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如下图所示，逻辑结构可被分为“线性”和“非线性”两大类。线性结构比较直观，指数据在逻辑关系上呈线性排列；非线性结构则相反，呈非线性排列。
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如下图所示，逻辑结构可分为“线性”和“非线性”两大类。线性结构比较直观，指数据在逻辑关系上呈线性排列；非线性结构则相反，呈非线性排列。
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- **线性数据结构**：数组、链表、栈、队列、哈希表。
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- **非线性数据结构**：树、堆、图、哈希表。
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非线性数据结构可以进一步被划分为树形结构和网状结构。
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非线性数据结构可以进一步划分为树形结构和网状结构。
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- **线性结构**：数组、链表、队列、栈、哈希表，元素之间是一对一的顺序关系。
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- **树形结构**：树、堆、哈希表，元素之间是一对多的关系。
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@@ -27,13 +27,13 @@
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!!! note
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!!! tip
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值得说明的是，将内存比作 Excel 表格是一个简化的类比，实际内存的工作机制比较复杂，涉及到地址空间、内存管理、缓存机制、虚拟和物理内存等概念。
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内存是所有程序的共享资源，当某块内存被某个程序占用时，则无法被其他程序同时使用了。**因此在数据结构与算法的设计中，内存资源是一个重要的考虑因素**。比如，算法所占用的内存峰值不应超过系统剩余空闲内存；如果缺少连续大块的内存空间，那么所选用的数据结构必须能够存储在分散的内存空间内。
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如下图所示，**物理结构反映了数据在计算机内存中的存储方式**，可分为连续空间存储（数组）和分散空间存储（链表）。物理结构从底层决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，在时间效率和空间效率方面呈现出互补的特点。
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如下图所示，**物理结构反映了数据在计算机内存中的存储方式**，可分为连续空间存储（数组）和分散空间存储（链表）。物理结构从底层决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，两种物理结构在时间效率和空间效率方面呈现出互补的特点。
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@@ -42,8 +42,8 @@
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- **基于数组可实现**：栈、队列、哈希表、树、堆、图、矩阵、张量（维度 $\geq 3$ 的数组）等。
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- **基于链表可实现**：栈、队列、哈希表、树、堆、图等。
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基于数组实现的数据结构也被称为“静态数据结构”，这意味着此类数据结构在初始化后长度不可变。相对应地，基于链表实现的数据结构被称为“动态数据结构”，这类数据结构在初始化后，仍可以在程序运行过程中对其长度进行调整。
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基于数组实现的数据结构也称“静态数据结构”，这意味着此类数据结构在初始化后长度不可变。相对应地，基于链表实现的数据结构称“动态数据结构”，这类数据结构在初始化后，仍可以在程序运行过程中对其长度进行调整。
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!!! tip
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如果你感觉物理结构理解起来有困难，建议先阅读下一章“数组与链表”，然后再回顾本节内容。
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如果你感觉物理结构理解起来有困难，建议先阅读下一章，然后再回顾本节内容。
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@@ -10,4 +10,4 @@
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数据结构如同一副稳固而多样的框架。
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它为数据的有序组织提供了蓝图，使算法得以在此基础上生动起来。
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它为数据的有序组织提供了蓝图，算法得以在此基础上生动起来。
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@@ -2,13 +2,13 @@
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!!! note
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在本书中，标题带有的 * 符号的是选读章节。如果你时间有限或感到理解困难，可以先跳过，等学完必读章节后再单独攻克。
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在本书中，标题带有 * 符号的是选读章节。如果你时间有限或感到理解困难，可以先跳过，等学完必读章节后再单独攻克。
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## 整数编码
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在上一节的表格中我们发现，所有整数类型能够表示的负数都比正数多一个，例如 `byte` 的取值范围是 $[-128, 127]$ 。这个现象比较反直觉，它的内在原因涉及到原码、反码、补码的相关知识。
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在上一节的表格中我们发现，所有整数类型能够表示的负数都比正数多一个，例如 `byte` 的取值范围是 $[-128, 127]$ 。这个现象比较反直觉，它的内在原因涉及原码、反码、补码的相关知识。
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首先需要指出，**数字是以“补码”的形式存储在计算机中的**。在分析这样做的原因之前，我们首先给出三者的定义。
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首先需要指出，**数字是以“补码”的形式存储在计算机中的**。在分析这样做的原因之前，首先给出三者的定义。
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- **原码**：我们将数字的二进制表示的最高位视为符号位，其中 $0$ 表示正数，$1$ 表示负数，其余位表示数字的值。
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- **反码**：正数的反码与其原码相同，负数的反码是对其原码除符号位外的所有位取反。
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@@ -29,7 +29,7 @@ $$
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\end{aligned}
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$$
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为了解决此问题，计算机引入了「反码 1's complement」。如果我们先将原码转换为反码，并在反码下计算 $1 + (-2)$ ，最后将结果从反码转化回原码，则可得到正确结果 $-1$ 。
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为了解决此问题，计算机引入了「反码 1's complement」。如果我们先将原码转换为反码，并在反码下计算 $1 + (-2)$ ，最后将结果从反码转换回原码，则可得到正确结果 $-1$ 。
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$$
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\begin{aligned}
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@@ -42,7 +42,7 @@ $$
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\end{aligned}
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$$
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另一方面，**数字零的原码有 $+0$ 和 $-0$ 两种表示方式**。这意味着数字零对应着两个不同的二进制编码，其可能会带来歧义。比如在条件判断中，如果没有区分正零和负零，则可能会导致判断结果出错。而如果我们想要处理正零和负零歧义，则需要引入额外的判断操作，其可能会降低计算机的运算效率。
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另一方面，**数字零的原码有 $+0$ 和 $-0$ 两种表示方式**。这意味着数字零对应两个不同的二进制编码，这可能会带来歧义。比如在条件判断中，如果没有区分正零和负零，则可能会导致判断结果出错。而如果我们想处理正零和负零歧义，则需要引入额外的判断操作，这可能会降低计算机的运算效率。
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$$
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\begin{aligned}
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@@ -63,7 +63,7 @@ $$
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在负零的反码基础上加 $1$ 会产生进位，但 `byte` 类型的长度只有 8 位，因此溢出到第 9 位的 $1$ 会被舍弃。也就是说，**负零的补码为 $0000 \; 0000$ ，与正零的补码相同**。这意味着在补码表示中只存在一个零，正负零歧义从而得到解决。
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还剩余最后一个疑惑：`byte` 类型的取值范围是 $[-128, 127]$ ，多出来的一个负数 $-128$ 是如何得到的呢？我们注意到，区间 $[-127, +127]$ 内的所有整数都有对应的原码、反码和补码，并且原码和补码之间是可以互相转换的。
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还剩最后一个疑惑：`byte` 类型的取值范围是 $[-128, 127]$ ，多出来的一个负数 $-128$ 是如何得到的呢？我们注意到，区间 $[-127, +127]$ 内的所有整数都有对应的原码、反码和补码，并且原码和补码之间可以互相转换。
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然而，**补码 $1000 \; 0000$ 是一个例外，它并没有对应的原码**。根据转换方法，我们得到该补码的原码为 $0000 \; 0000$ 。这显然是矛盾的，因为该原码表示数字 $0$ ，它的补码应该是自身。计算机规定这个特殊的补码 $1000 \; 0000$ 代表 $-128$ 。实际上，$(-1) + (-127)$ 在补码下的计算结果就是 $-128$ 。
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@@ -78,13 +78,13 @@ $$
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\end{aligned}
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$$
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你可能已经发现，上述的所有计算都是加法运算。这暗示着一个重要事实：**计算机内部的硬件电路主要是基于加法运算设计的**。这是因为加法运算相对于其他运算（比如乘法、除法和减法）来说，硬件实现起来更简单，更容易进行并行化处理，运算速度更快。
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你可能已经发现了，上述所有计算都是加法运算。这暗示着一个重要事实：**计算机内部的硬件电路主要是基于加法运算设计的**。这是因为加法运算相对于其他运算（比如乘法、除法和减法）来说，硬件实现起来更简单，更容易进行并行化处理，运算速度更快。
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请注意，这并不意味着计算机只能做加法。**通过将加法与一些基本逻辑运算结合，计算机能够实现各种其他的数学运算**。例如，计算减法 $a - b$ 可以转换为计算加法 $a + (-b)$ ；计算乘法和除法可以转换为计算多次加法或减法。
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现在我们可以总结出计算机使用补码的原因：基于补码表示，计算机可以用同样的电路和操作来处理正数和负数的加法，不需要设计特殊的硬件电路来处理减法，并且无须特别处理正负零的歧义问题。这大大简化了硬件设计，提高了运算效率。
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补码的设计非常精妙，因篇幅关系我们就先介绍到这里，建议有兴趣的读者进一步深度了解。
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补码的设计非常精妙，因篇幅关系我们就先介绍到这里，建议有兴趣的读者进一步深入了解。
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## 浮点数编码
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@@ -102,19 +102,19 @@ $$
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- 指数位 $\mathrm{E}$ ：占 8 bits ，对应 $b_{30} b_{29} \ldots b_{23}$ 。
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- 分数位 $\mathrm{N}$ ：占 23 bits ，对应 $b_{22} b_{21} \ldots b_0$ 。
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二进制数 `float` 对应的值的计算方法：
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二进制数 `float` 对应值的计算方法为：
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\text {val} = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2
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$$
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转化到十进制下的计算公式：
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转化到十进制下的计算公式为：
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$$
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\text {val}=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N})
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$$
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其中各项的取值范围：
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其中各项的取值范围为：
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$$
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\begin{aligned}
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@@ -147,4 +147,4 @@ $$
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值得说明的是，次正规数显著提升了浮点数的精度。最小正正规数为 $2^{-126}$ ，最小正次正规数为 $2^{-126} \times 2^{-23}$ 。
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双精度 `double` 也采用类似 `float` 的表示方法，在此不做赘述。
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双精度 `double` 也采用类似于 `float` 的表示方法，在此不做赘述。
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@@ -3,13 +3,13 @@
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### 重点回顾
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- 数据结构可以从逻辑结构和物理结构两个角度进行分类。逻辑结构描述了数据元素之间的逻辑关系，而物理结构描述了数据在计算机内存中的存储方式。
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- 常见的逻辑结构包括线性、树状和网状等。通常我们根据逻辑结构将数据结构分为线性（数组、链表、栈、队列）和非线性（树、图、堆）两种。哈希表的实现可能同时包含线性和非线性结构。
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- 常见的逻辑结构包括线性、树状和网状等。通常我们根据逻辑结构将数据结构分为线性（数组、链表、栈、队列）和非线性（树、图、堆）两种。哈希表的实现可能同时包含线性数据结构和非线性数据结构。
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- 当程序运行时，数据被存储在计算机内存中。每个内存空间都拥有对应的内存地址，程序通过这些内存地址访问数据。
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- 物理结构主要分为连续空间存储（数组）和分散空间存储（链表）。所有数据结构都是由数组、链表或两者的组合实现的。
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- 计算机中的基本数据类型包括整数 `byte`、`short`、`int`、`long` ，浮点数 `float`、`double` ，字符 `char` 和布尔 `boolean` 。它们的取值范围取决于占用空间大小和表示方式。
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- 原码、反码和补码是在计算机中编码数字的三种方法，它们之间是可以相互转换的。整数的原码的最高位是符号位，其余位是数字的值。
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- 原码、反码和补码是在计算机中编码数字的三种方法，它们之间可以相互转换。整数的原码的最高位是符号位，其余位是数字的值。
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- 整数在计算机中是以补码的形式存储的。在补码表示下，计算机可以对正数和负数的加法一视同仁，不需要为减法操作单独设计特殊的硬件电路，并且不存在正负零歧义的问题。
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- 浮点数的编码由 1 位符号位、8 位指数位和 23 位分数位构成。由于存在指数位，浮点数的取值范围远大于整数，代价是牺牲了精度。
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- 浮点数的编码由 1 位符号位、8 位指数位和 23 位分数位构成。由于存在指数位，因此浮点数的取值范围远大于整数，代价是牺牲了精度。
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- ASCII 码是最早出现的英文字符集，长度为 1 字节，共收录 127 个字符。GBK 字符集是常用的中文字符集，共收录两万多个汉字。Unicode 致力于提供一个完整的字符集标准，收录世界内各种语言的字符，从而解决由于字符编码方法不一致而导致的乱码问题。
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- UTF-8 是最受欢迎的 Unicode 编码方法，通用性非常好。它是一种变长的编码方法，具有很好的扩展性，有效提升了存储空间的使用效率。UTF-16 和 UTF-32 是等长的编码方法。在编码中文时，UTF-16 比 UTF-8 的占用空间更小。Java 和 C# 等编程语言默认使用 UTF-16 编码。
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@@ -22,7 +22,7 @@
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!!! question "`char` 类型的长度是 1 byte 吗？"
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`char` 类型的长度由编程语言采用的编码方法决定。例如，Java、JS、TS、C# 都采用 UTF-16 编码（保存 Unicode 码点），因此 char 类型的长度为 2 bytes 。
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`char` 类型的长度由编程语言采用的编码方法决定。例如，Java、JavaScript、TypeScript、C# 都采用 UTF-16 编码（保存 Unicode 码点），因此 char 类型的长度为 2 bytes 。
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!!! question "基于数组实现的数据结构也被称为“静态数据结构” 是否有歧义？因为栈也可以进行出栈和入栈等操作，这些操作都是“动态”的。"
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