feat: Revised the book (#978)

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docs/chapter_data_structure/number_encoding.md

@@ -2,13 +2,13 @@
 
 !!! note
 
-    在本书中，标题带有的 * 符号的是选读章节。如果你时间有限或感到理解困难，可以先跳过，等学完必读章节后再单独攻克。
+    在本书中，标题带有 * 符号的是选读章节。如果你时间有限或感到理解困难，可以先跳过，等学完必读章节后再单独攻克。
 
 ## 整数编码
 
-在上一节的表格中我们发现，所有整数类型能够表示的负数都比正数多一个，例如 `byte` 的取值范围是 $[-128, 127]$ 。这个现象比较反直觉，它的内在原因涉及到原码、反码、补码的相关知识。
+在上一节的表格中我们发现，所有整数类型能够表示的负数都比正数多一个，例如 `byte` 的取值范围是 $[-128, 127]$ 。这个现象比较反直觉，它的内在原因涉及原码、反码、补码的相关知识。
 
-首先需要指出，**数字是以“补码”的形式存储在计算机中的**。在分析这样做的原因之前，我们首先给出三者的定义。
+首先需要指出，**数字是以“补码”的形式存储在计算机中的**。在分析这样做的原因之前，首先给出三者的定义。
 
 - **原码**：我们将数字的二进制表示的最高位视为符号位，其中 $0$ 表示正数，$1$ 表示负数，其余位表示数字的值。
 - **反码**：正数的反码与其原码相同，负数的反码是对其原码除符号位外的所有位取反。
@@ -29,7 +29,7 @@ $$
 \end{aligned}
 $$
 
-为了解决此问题，计算机引入了「反码 1's complement」。如果我们先将原码转换为反码，并在反码下计算 $1 + (-2)$ ，最后将结果从反码转化回原码，则可得到正确结果 $-1$ 。
+为了解决此问题，计算机引入了「反码 1's complement」。如果我们先将原码转换为反码，并在反码下计算 $1 + (-2)$ ，最后将结果从反码转换回原码，则可得到正确结果 $-1$ 。
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -42,7 +42,7 @@ $$
 \end{aligned}
 $$
 
-另一方面，**数字零的原码有 $+0$ 和 $-0$ 两种表示方式**。这意味着数字零对应着两个不同的二进制编码，其可能会带来歧义。比如在条件判断中，如果没有区分正零和负零，则可能会导致判断结果出错。而如果我们想要处理正零和负零歧义，则需要引入额外的判断操作，其可能会降低计算机的运算效率。
+另一方面，**数字零的原码有 $+0$ 和 $-0$ 两种表示方式**。这意味着数字零对应两个不同的二进制编码，这可能会带来歧义。比如在条件判断中，如果没有区分正零和负零，则可能会导致判断结果出错。而如果我们想处理正零和负零歧义，则需要引入额外的判断操作，这可能会降低计算机的运算效率。
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -63,7 +63,7 @@ $$
 
 在负零的反码基础上加 $1$ 会产生进位，但 `byte` 类型的长度只有 8 位，因此溢出到第 9 位的 $1$ 会被舍弃。也就是说，**负零的补码为 $0000 \; 0000$ ，与正零的补码相同**。这意味着在补码表示中只存在一个零，正负零歧义从而得到解决。
 
-还剩余最后一个疑惑：`byte` 类型的取值范围是 $[-128, 127]$ ，多出来的一个负数 $-128$ 是如何得到的呢？我们注意到，区间 $[-127, +127]$ 内的所有整数都有对应的原码、反码和补码，并且原码和补码之间是可以互相转换的。
+还剩最后一个疑惑：`byte` 类型的取值范围是 $[-128, 127]$ ，多出来的一个负数 $-128$ 是如何得到的呢？我们注意到，区间 $[-127, +127]$ 内的所有整数都有对应的原码、反码和补码，并且原码和补码之间可以互相转换。
 
 然而，**补码 $1000 \; 0000$ 是一个例外，它并没有对应的原码**。根据转换方法，我们得到该补码的原码为 $0000 \; 0000$ 。这显然是矛盾的，因为该原码表示数字 $0$ ，它的补码应该是自身。计算机规定这个特殊的补码 $1000 \; 0000$ 代表 $-128$ 。实际上，$(-1) + (-127)$ 在补码下的计算结果就是 $-128$ 。
 
@@ -78,13 +78,13 @@ $$
 \end{aligned}
 $$
 
-你可能已经发现，上述的所有计算都是加法运算。这暗示着一个重要事实：**计算机内部的硬件电路主要是基于加法运算设计的**。这是因为加法运算相对于其他运算（比如乘法、除法和减法）来说，硬件实现起来更简单，更容易进行并行化处理，运算速度更快。
+你可能已经发现了，上述所有计算都是加法运算。这暗示着一个重要事实：**计算机内部的硬件电路主要是基于加法运算设计的**。这是因为加法运算相对于其他运算（比如乘法、除法和减法）来说，硬件实现起来更简单，更容易进行并行化处理，运算速度更快。
 
 请注意，这并不意味着计算机只能做加法。**通过将加法与一些基本逻辑运算结合，计算机能够实现各种其他的数学运算**。例如，计算减法 $a - b$ 可以转换为计算加法 $a + (-b)$ ；计算乘法和除法可以转换为计算多次加法或减法。
 
 现在我们可以总结出计算机使用补码的原因：基于补码表示，计算机可以用同样的电路和操作来处理正数和负数的加法，不需要设计特殊的硬件电路来处理减法，并且无须特别处理正负零的歧义问题。这大大简化了硬件设计，提高了运算效率。
 
-补码的设计非常精妙，因篇幅关系我们就先介绍到这里，建议有兴趣的读者进一步深度了解。
+补码的设计非常精妙，因篇幅关系我们就先介绍到这里，建议有兴趣的读者进一步深入了解。
 
 ## 浮点数编码
 
@@ -102,19 +102,19 @@ $$
 - 指数位 $\mathrm{E}$ ：占 8 bits ，对应 $b_{30} b_{29} \ldots b_{23}$ 。
 - 分数位 $\mathrm{N}$ ：占 23 bits ，对应 $b_{22} b_{21} \ldots b_0$ 。
 
-二进制数 `float` 对应的值的计算方法：
+二进制数 `float` 对应值的计算方法为：
 
 $$
 \text {val} = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2
 $$
 
-转化到十进制下的计算公式：
+转化到十进制下的计算公式为：
 
 $$
 \text {val}=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N})
 $$
 
-其中各项的取值范围：
+其中各项的取值范围为：
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -147,4 +147,4 @@ $$
 
 值得说明的是，次正规数显著提升了浮点数的精度。最小正正规数为 $2^{-126}$ ，最小正次正规数为 $2^{-126} \times 2^{-23}$ 。
 
-双精度 `double` 也采用类似 `float` 的表示方法，在此不做赘述。
+双精度 `double` 也采用类似于 `float` 的表示方法，在此不做赘述。