feat: Revised the book (#978)

* Sync recent changes to the revised Word.

* Revised the preface chapter

* Revised the introduction chapter

* Revised the computation complexity chapter

* Revised the chapter data structure

* Revised the chapter array and linked list

* Revised the chapter stack and queue

* Revised the chapter hashing

* Revised the chapter tree

* Revised the chapter heap

* Revised the chapter graph

* Revised the chapter searching

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* Revised the divide and conquer chapter

* Revised the chapter backtacking

* Revised the DP chapter

* Revised the greedy chapter

* Revised the appendix chapter

* Revised the preface chapter doubly

* Revised the figures

docs/chapter_graph/graph.md

@@ -10,27 +10,27 @@ G & = \{ V, E \} \newline
 \end{aligned}
 $$
 
-如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。如下图所示，**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高**，从而更为复杂。
+如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作一种从链表拓展而来的数据结构。如下图所示，**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高**，因而更为复杂。
 
 ![链表、树、图之间的关系](graph.assets/linkedlist_tree_graph.png)
 
 ## 图常见类型与术语
 
-根据边是否具有方向，可分为下图所示的「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。
+根据边是否具有方向，可分为「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」，如下图所示。
 
 - 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
 - 在有向图中，边具有方向性，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。
 
 ![有向图与无向图](graph.assets/directed_graph.png)
 
-根据所有顶点是否连通，可分为下图所示的「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。
+根据所有顶点是否连通，可分为「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」，如下图所示。
 
 - 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。
 - 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。
 
 ![连通图与非连通图](graph.assets/connected_graph.png)
 
-我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到下图所示的「有权图 weighted graph」。例如在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
+我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到如下图所示的「有权图 weighted graph」。例如在“王者荣耀”等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
 
 ![有权图与无权图](graph.assets/weighted_graph.png)
 
@@ -58,21 +58,21 @@ $$
 - 对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
 - 将邻接矩阵的元素从 $1$ 和 $0$ 替换为权重，则可表示有权图。
 
-使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 $O(1)$ 。然而，矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$ ，内存占用较多。
+使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查改操作的效率很高，时间复杂度均为 $O(1)$ 。然而，矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$ ，内存占用较多。
 
 ### 邻接表
 
-「邻接表 adjacency list」使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。下图展示了一个使用邻接表存储的图的示例。
+「邻接表 adjacency list」使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 个链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（与该顶点相连的顶点）。下图展示了一个使用邻接表存储的图的示例。
 
 ![图的邻接表表示](graph.assets/adjacency_list.png)
 
 邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 $n^2$ ，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。
 
-观察上图，**邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率**。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降低至 $O(1)$ 。
+观察上图，**邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似的方法来优化效率**。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降至 $O(1)$ 。
 
 ## 图常见应用
 
-如下表所示，许多现实系统都可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。
+如下表所示，许多现实系统可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。
 
 <p align="center"> 表 <id> &nbsp; 现实生活中常见的图 </p>
 

docs/chapter_graph/graph_operations.md

@@ -26,7 +26,7 @@
 === "删除顶点"
     ![adjacency_matrix_remove_vertex](graph_operations.assets/adjacency_matrix_remove_vertex.png)
 
-以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。
+以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码：
 
 ```src
 [file]{graph_adjacency_matrix}-[class]{graph_adj_mat}-[func]{}
@@ -70,7 +70,7 @@
 
 ## 效率对比
 
-设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。
+设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表对比了邻接矩阵和邻接表的时间效率和空间效率。
 
 <p align="center"> 表 <id> &nbsp; 邻接矩阵与邻接表对比 </p>
 
@@ -83,4 +83,4 @@
 | 删除顶点     | $O(n^2)$ | $O(n + m)$     | $O(n)$           |
 | 内存空间占用 | $O(n^2)$ | $O(n + m)$     | $O(n + m)$       |
 
-观察上表，似乎邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。
+观察上表，似乎邻接表（哈希表）的时间效率与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。

docs/chapter_graph/graph_traversal.md

@@ -1,22 +1,22 @@
 # 图的遍历
 
-树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作是图的一种特例。显然，**树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例**。
+树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作图的一种特例。显然，**树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例**。
 
 图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式可分为两种：「广度优先遍历 breadth-first traversal」和「深度优先遍历 depth-first traversal」。它们也常被称为「广度优先搜索 breadth-first search」和「深度优先搜索 depth-first search」，简称 BFS 和 DFS 。
 
 ## 广度优先遍历
 
-**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张**。如下图所示，从左上角顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
+**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张**。如下图所示，从左上角顶点出发，首先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
 
 ![图的广度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_bfs.png)
 
 ### 算法实现
 
-BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
+BFS 通常借助队列来实现，代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
 
 1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列，并开启循环。
 2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
-3. 循环步骤 `2.` ，直到所有顶点被访问完成后结束。
+3. 循环步骤 `2.` ，直到所有顶点被访问完毕后结束。
 
 为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些节点已被访问。
 
@@ -61,13 +61,13 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
 
 !!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"
 
-    不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的**。以上图为例，顶点 $1$、$3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$、$4$、$6$ 的访问顺序也可以任意交换。
+    不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱**。以上图为例，顶点 $1$、$3$ 的访问顺序可以交换，顶点 $2$、$4$、$6$ 的访问顺序也可以任意交换。
 
 ### 复杂度分析
 
-**时间复杂度：** 所有顶点都会入队并出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
+**时间复杂度**：所有顶点都会入队并出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
 
-**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。
+**空间复杂度**：列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。
 
 ## 深度优先遍历
 
@@ -77,7 +77,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
 
 ### 算法实现
 
-这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
+这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中，我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
 
 ```src
 [file]{graph_dfs}-[class]{}-[func]{graph_dfs}
@@ -86,9 +86,9 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
 深度优先遍历的算法流程如下图所示。
 
 - **直虚线代表向下递推**，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
-- **曲虚线代表向上回溯**，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置。
+- **曲虚线代表向上回溯**，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此方法的位置。
 
-为了加深理解，建议将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
+为了加深理解，建议将下图与代码结合起来，在脑中模拟（或者用笔画下来）整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
 
 === "<1>"
     ![图的深度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png)
@@ -127,10 +127,10 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
 
     与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。
     
-    以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种不同的遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。
+    以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。
 
 ### 复杂度分析
 
-**时间复杂度：** 所有顶点都会被访问 $1$ 次，使用 $O(|V|)$ 时间；所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
+**时间复杂度**：所有顶点都会被访问 $1$ 次，使用 $O(|V|)$ 时间；所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
 
-**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。
+**空间复杂度**：列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。

docs/chapter_graph/index.md

@@ -8,6 +8,6 @@
 
 !!! abstract
 
-    在生命旅途中，我们就像是每个节点，被无数看不见的边相连。
+    在生命旅途中，我们就像是一个个节点，被无数看不见的边相连。
     
     每一次的相识与相离，都在这张巨大的网络图中留下独特的印记。

docs/chapter_graph/summary.md

@@ -2,13 +2,13 @@
 
 ### 重点回顾
 
-- 图由顶点和边组成，可以被表示为一组顶点和一组边构成的集合。
+- 图由顶点和边组成，可以表示为一组顶点和一组边构成的集合。
 - 相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）具有更高的自由度，因而更为复杂。
 - 有向图的边具有方向性，连通图中的任意顶点均可达，有权图的每条边都包含权重变量。
-- 邻接矩阵利用矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 $1$ 或 $0$ 表示两个顶点之间有边或无边。邻接矩阵在增删查操作上效率很高，但空间占用较多。
-- 邻接表使用多个链表来表示图，第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点。邻接表相对于邻接矩阵更加节省空间，但由于需要遍历链表来查找边，时间效率较低。
+- 邻接矩阵利用矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 $1$ 或 $0$ 表示两个顶点之间有边或无边。邻接矩阵在增删查改操作上效率很高，但空间占用较多。
+- 邻接表使用多个链表来表示图，第 $i$ 个链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点。邻接表相对于邻接矩阵更加节省空间，但由于需要遍历链表来查找边，因此时间效率较低。
 - 当邻接表中的链表过长时，可以将其转换为红黑树或哈希表，从而提升查询效率。
-- 从算法思想角度分析，邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”。
+- 从算法思想的角度分析，邻接矩阵体现了“以空间换时间”，邻接表体现了“以时间换空间”。
 - 图可用于建模各类现实系统，如社交网络、地铁线路等。
 - 树是图的一种特例，树的遍历也是图的遍历的一种特例。
 - 图的广度优先遍历是一种由近及远、层层扩张的搜索方式，通常借助队列实现。
@@ -19,12 +19,12 @@
 !!! question "路径的定义是顶点序列还是边序列？"
 
     维基百科上不同语言版本的定义不一致：英文版是“路径是一个边序列”，而中文版是“路径是一个顶点序列”。以下是英文版原文：In graph theory, a path in a graph is a finite or infinite sequence of edges which joins a sequence of vertices.
-    在本文中，路径被认为是一个边序列，而不是一个顶点序列。这是因为两个顶点之间可能存在多条边连接，此时每条边都对应一条路径。
+    在本文中，路径被视为一个边序列，而不是一个顶点序列。这是因为两个顶点之间可能存在多条边连接，此时每条边都对应一条路径。
 
-!!! question "非连通图中，是否会有无法遍历到的点？"
+!!! question "非连通图中是否会有无法遍历到的点？"
 
     在非连通图中，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。遍历非连通图需要设置多个起点，以遍历到图的所有连通分量。
 
 !!! question "在邻接表中，“与该顶点相连的所有顶点”的顶点顺序是否有要求？"
 
-    可以是任意顺序。但在实际应用中，可能会需要按照指定规则来排序，比如按照顶点添加的次序、或者按照顶点值大小的顺序等等，这样可以有助于快速查找“带有某种极值”的顶点。
+    可以是任意顺序。但在实际应用中，可能需要按照指定规则来排序，比如按照顶点添加的次序，或者按照顶点值大小的顺序等，这样有助于快速查找“带有某种极值”的顶点。