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docs/chapter_tree/avl_tree.md
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@@ -1,16 +1,16 @@
# AVL 树 *
在二叉搜索树章节中，我们提到了在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。这种情况下，所有操作的时间复杂度将从 $O(\log n)$ 恶化为 $O(n)$ 。
在“二叉搜索树”章节中，我们提到，在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。在这种情况下，所有操作的时间复杂度将从 $O(\log n)$ 恶化为 $O(n)$ 。
如下图所示，经过两次删除节点操作，这个二叉搜索树便会退化为链表。
如下图所示，经过两次删除节点操作，这棵二叉搜索树便会退化为链表。
![AVL 树在删除节点后发生退化](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_removing_node.png)
再例如，在下图的完美二叉树中插入两个节点后，树将严重向左倾斜，查找操作的时间复杂度也随之恶化。
再例如，在下图所示的完美二叉树中插入两个节点后，树将严重向左倾斜，查找操作的时间复杂度也随之恶化。
![AVL 树在插入节点后发生退化](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_inserting_node.png)
G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中详细描述了一系列操作，确保在持续添加和删除节点后，AVL 树不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 $O(\log n)$ 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。
1962 年 G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中详细描述了一系列操作，确保在持续添加和删除节点后，AVL 树不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 $O(\log n)$ 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。
## AVL 树常见术语
@@ -18,7 +18,7 @@ AVL 树既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉
### 节点高度
由于 AVL 树的相关操作需要获取节点高度，因此我们需要为节点类添加 `height` 变量。
由于 AVL 树的相关操作需要获取节点高度，因此我们需要为节点类添加 `height` 变量：
=== "Python"
@@ -206,7 +206,7 @@ AVL 树既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉
```
“节点高度”是指从该节点到其最远叶节点的距离，即所经过的“边”的数量。需要特别注意的是，叶节点的高度为 0 ，而空节点的高度为 -1 。我们将创建两个工具函数，分别用于获取和更新节点的高度。
“节点高度”是指从该节点到其最远叶节点的距离，即所经过的“边”的数量。需要特别注意的是，叶节点的高度为 $0$ ，而空节点的高度为 $-1$ 。我们将创建两个工具函数，分别用于获取和更新节点的高度：
```src
[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{update_height}
@@ -214,7 +214,7 @@ AVL 树既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉
### 节点平衡因子
节点的「平衡因子 balance factor」定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 0 。我们同样将获取节点平衡因子的功能封装成函数，方便后续使用。
节点的「平衡因子 balance factor」定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 $0$ 。我们同样将获取节点平衡因子的功能封装成函数，方便后续使用：
```src
[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{balance_factor}
@@ -228,11 +228,11 @@ AVL 树既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉
AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中序遍历序列的前提下，使失衡节点重新恢复平衡。换句话说，**旋转操作既能保持“二叉搜索树”的性质，也能使树重新变为“平衡二叉树”**。
我们将平衡因子绝对值 $> 1$ 的节点称为“失衡节点”。根据节点失衡情况的不同，旋转操作分为四种：右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。下面我们将详细介绍这些旋转操作。
我们将平衡因子绝对值 $> 1$ 的节点称为“失衡节点”。根据节点失衡情况的不同，旋转操作分为四种：右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。下面详细介绍这些旋转操作。
### 右旋
如下图所示，节点下方为平衡因子。从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 3”。我们关注以该失衡节点为根节点的子树，将该节点记为 `node` ，其左子节点记为 `child` ，执行“右旋”操作。完成右旋后，子树已经恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的特性。
如下图所示，节点下方为平衡因子。从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 3”。我们关注以该失衡节点为根节点的子树，将该节点记为 `node` ，其左子节点记为 `child` ，执行“右旋”操作。完成右旋后，子树恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的性质。
=== "<1>"
![右旋操作步骤](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step1.png)
@@ -250,7 +250,7 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
![有 grandChild 的右旋操作](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_with_grandchild.png)
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际上需要通过修改节点指针来实现，代码如下所示。
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际上需要通过修改节点指针来实现，代码如下所示：
```src
[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{right_rotate}
@@ -258,7 +258,7 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
### 左旋
相应的，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行下图所示的“左旋”操作。
相应地，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行下图所示的“左旋”操作。
![左旋操作](avl_tree.assets/avltree_left_rotate.png)
@@ -266,7 +266,7 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
![有 grandChild 的左旋操作](avl_tree.assets/avltree_left_rotate_with_grandchild.png)
可以观察到，**右旋和左旋操作在逻辑上是镜像对称的，它们分别解决的两种失衡情况也是对称的**。基于对称性，我们只需将右旋的实现代码中的所有的 `left` 替换为 `right` ，将所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到左旋的实现代码。
可以观察到，**右旋和左旋操作在逻辑上是镜像对称的，它们分别解决的两种失衡情况也是对称的**。基于对称性，我们只需将右旋的实现代码中的所有的 `left` 替换为 `right` ，将所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到左旋的实现代码：
```src
[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{left_rotate}
@@ -280,13 +280,13 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
### 先右旋后左旋
如下图所示，对于上述失衡二叉树的镜像情况，需要先对 `child` 执行“右旋”，然后对 `node` 执行“左旋”。
如下图所示，对于上述失衡二叉树的镜像情况，需要先对 `child` 执行“右旋”，再对 `node` 执行“左旋”。
![先右旋后左旋](avl_tree.assets/avltree_right_left_rotate.png)
### 旋转的选择
下图展示的四种失衡情况与上述案例逐个对应，分别需要采用右旋、左旋、先右后左、先左后右的旋转操作。
下图展示的四种失衡情况与上述案例逐个对应，分别需要采用右旋、先左旋后右旋、先右旋后左旋、左旋的操作。
![AVL 树的四种旋转情况](avl_tree.assets/avltree_rotation_cases.png)
@@ -296,12 +296,12 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
| 失衡节点的平衡因子 | 子节点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 |
| ------------------- | ---------------- | ---------------- |
| $> 1$ （即左偏树） | $\geq 0$ | 右旋 |
| $> 1$ （即左偏树） | $<0$ | 先左旋后右旋 |
| $< -1$ （即右偏树） | $\leq 0$ | 左旋 |
| $< -1$ （即右偏树） | $>0$ | 先右旋后左旋 |
| $> 1$ （左偏树） | $\geq 0$ | 右旋 |
| $> 1$ （左偏树） | $<0$ | 先左旋后右旋 |
| $< -1$ （右偏树） | $\leq 0$ | 左旋 |
| $< -1$ （右偏树） | $>0$ | 先右旋后左旋 |
为了便于使用，我们将旋转操作封装成一个函数。**有了这个函数，我们就能对各种失衡情况进行旋转，使失衡节点重新恢复平衡**。
为了便于使用，我们将旋转操作封装成一个函数。**有了这个函数，我们就能对各种失衡情况进行旋转，使失衡节点重新恢复平衡**。代码如下所示：
```src
[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{rotate}
@@ -311,7 +311,7 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
### 插入节点
AVL 树的节点插入操作与二叉搜索树在主体上类似。唯一的区别在于，在 AVL 树中插入节点后，从该节点到根节点的路径上可能会出现一系列失衡节点。因此，**我们需要从这个节点开始，自底向上执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡**。
AVL 树的节点插入操作与二叉搜索树在主体上类似。唯一的区别在于，在 AVL 树中插入节点后，从该节点到根节点的路径上可能会出现一系列失衡节点。因此，**我们需要从这个节点开始，自底向上执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡**。代码如下所示：
```src
[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{insert_helper}
@@ -319,7 +319,7 @@ AVL 树的节点插入操作与二叉搜索树在主体上类似。唯一的区
### 删除节点
类似地，在二叉搜索树的删除节点方法的基础上，需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。
类似地，在二叉搜索树的删除节点方法的基础上，需要从底至顶执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。代码如下所示：
```src
[file]{avl_tree}-[class]{a_v_l_tree}-[func]{remove_helper}