CS_learn/hello-algo
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43
chapter_sorting/bubble_sort.md
View File

@@ -255,6 +255,26 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="bubble_sort.rs"
/* 冒泡排序 */
fn bubble_sort(nums: &mut [i32]) {
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i in (1..nums.len()).rev() {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j in 0..i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
}
}
}
}
```
## 11.3.2.   效率优化
我们发现，如果某轮“冒泡”中没有执行任何交换操作，说明数组已经完成排序，可直接返回结果。因此，可以增加一个标志位 `flag` 来监测这种情况，一旦出现就立即返回。
@@ -514,6 +534,29 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="bubble_sort.rs"
/* 冒泡排序（标志优化） */
fn bubble_sort_with_flag(nums: &mut [i32]) {
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i in (1..nums.len()).rev() {
let mut flag = false; // 初始化标志位
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j in 0..i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
flag = true; // 记录交换元素
}
}
if !flag {break}; // 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
}
}
```
## 11.3.3.   算法特性
- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ ，总和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ 。在引入 `flag` 优化后，最佳时间复杂度可达到 $O(n)$ 。

31
chapter_sorting/bucket_sort.md
View File

@@ -361,6 +361,37 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="bucket_sort.rs"
/* 桶排序 */
fn bucket_sort(nums: &mut [f64]) {
// 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素
let k = nums.len() / 2;
let mut buckets = vec![vec![]; k];
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for &mut num in &mut *nums {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
let i = (num * k as f64) as usize;
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].push(num);
}
// 2. 对各个桶执行排序
for bucket in &mut buckets {
// 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法
bucket.sort_by(|a, b| a.partial_cmp(b).unwrap());
}
// 3. 遍历桶合并结果
let mut i = 0;
for bucket in &mut buckets {
for &mut num in bucket {
nums[i] = num;
i += 1;
}
}
}
```
!!! question "桶排序的适用场景是什么？"
桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。

60
chapter_sorting/counting_sort.md
View File

@@ -292,6 +292,31 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="counting_sort.rs"
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
fn counting_sort_naive(nums: &mut [i32]) {
// 1. 统计数组最大元素 m
let m = *nums.into_iter().max().unwrap();
// 2. 统计各数字的出现次数
// counter[num] 代表 num 的出现次数
let mut counter = vec![0; m as usize + 1];
for &num in &*nums {
counter[num as usize] += 1;
}
// 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
let mut i = 0;
for num in 0..m + 1 {
for _ in 0..counter[num as usize] {
nums[i] = num;
i += 1;
}
}
}
```
!!! note "计数排序与桶排序的联系"
从桶排序的角度看，我们可以将计数排序中的计数数组 `counter` 的每个索引视为一个桶，将统计数量的过程看作是将各个元素分配到对应的桶中。本质上，计数排序是桶排序在整型数据下的一个特例。
@@ -710,6 +735,41 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="counting_sort.rs"
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
fn counting_sort(nums: &mut [i32]) {
// 1. 统计数组最大元素 m
let m = *nums.into_iter().max().unwrap();
// 2. 统计各数字的出现次数
// counter[num] 代表 num 的出现次数
let mut counter = vec![0; m as usize + 1];
for &num in &*nums {
counter[num as usize] += 1;
}
// 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
// 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
for i in 0..m as usize {
counter[i + 1] += counter[i];
}
// 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
// 初始化数组 res 用于记录结果
let n = nums.len();
let mut res = vec![0; n];
for i in (0..n).rev() {
let num = nums[i];
res[counter[num as usize] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
counter[num as usize] -= 1; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
}
// 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
for i in 0..n {
nums[i] = res[i];
}
}
```
## 11.9.3.   算法特性
- **时间复杂度 $O(n + m)$** ：涉及遍历 `nums` 和遍历 `counter` ，都使用线性时间。一般情况下 $n \gg m$ ，时间复杂度趋于 $O(n)$ 。

47
chapter_sorting/heap_sort.md
View File

@@ -491,6 +491,53 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="heap_sort.rs"
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
fn sift_down(nums: &mut [i32], n: usize, mut i: usize) {
loop {
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
let l = 2 * i + 1;
let r = 2 * i + 2;
let mut ma = i;
if l < n && nums[l] > nums[ma] {
ma = l;
}
if r < n && nums[r] > nums[ma] {
ma = r;
}
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if ma == i {
break;
}
// 交换两节点
let temp = nums[i];
nums[i] = nums[ma];
nums[ma] = temp;
// 循环向下堆化
i = ma;
}
}
/* 堆排序 */
fn heap_sort(nums: &mut [i32]) {
// 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in (0..=nums.len() / 2 - 1).rev() {
sift_down(nums, nums.len(), i);
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for i in (1..=nums.len() - 1).rev() {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
let tmp = nums[0];
nums[0] = nums[i];
nums[i] = tmp;
// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
sift_down(nums, i, 0);
}
}
```
## 11.7.2. &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、非自适应排序** ：建堆操作使用 $O(n)$ 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n - 1$ 轮。

18
chapter_sorting/insertion_sort.md
View File

@@ -230,6 +230,24 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="insertion_sort.rs"
/* 插入排序 */
fn insertion_sort(nums: &mut [i32]) {
// 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
for i in 1..nums.len() {
let (base, mut j) = (nums[i], (i - 1) as i32);
// 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
while j >= 0 && nums[j as usize] > base {
nums[(j + 1) as usize] = nums[j as usize]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j -= 1;
}
nums[(j + 1) as usize] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
## 11.4.2. &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和得到 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。

48
chapter_sorting/merge_sort.md
View File

@@ -570,6 +570,54 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="merge_sort.rs"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
fn merge(nums: &mut [i32], left: usize, mid: usize, right: usize) {
// 初始化辅助数组
let tmp: Vec<i32> = nums[left..right + 1].to_vec();
// 左子数组的起始索引和结束索引
let (left_start, left_end) = (left - left, mid - left);
// 右子数组的起始索引和结束索引
let (right_start, right_end) = (mid + 1 - left, right-left);
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
let (mut l_corrent, mut r_corrent) = (left_start, right_start);
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for k in left..right + 1 {
// 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if l_corrent > left_end {
nums[k] = tmp[r_corrent];
r_corrent += 1;
}
// 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
else if r_corrent > right_end || tmp[l_corrent] <= tmp[r_corrent] {
nums[k] = tmp[l_corrent];
l_corrent += 1;
}
// 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
else {
nums[k] = tmp[r_corrent];
r_corrent += 1;
}
}
}
/* 归并排序 */
fn merge_sort(left: usize, right: usize, nums: &mut [i32]) {
// 终止条件
if left >= right { return; } // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
let mid = (left + right) / 2; // 计算中点
merge_sort(left, mid, nums); // 递归左子数组
merge_sort(mid + 1, right, nums); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
合并方法 `merge()` 代码中的难点包括：
- **在阅读代码时，需要特别注意各个变量的含义**。`nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，但由于 `tmp` 仅复制了 `nums` 该区间的元素，因此 `tmp` 对应区间为 `[0, right - left]` 。

96
chapter_sorting/quick_sort.md
View File

@@ -337,6 +337,27 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
/* 哨兵划分 */
fn partition(nums: &mut [i32], left: usize, right: usize) -> usize {
// 以 nums[left] 作为基准数
let (mut i, mut j) = (left, right);
while i < j {
while i < j && nums[j] >= nums[left] {
j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
}
while i < j && nums[i] <= nums[left] {
i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
}
nums.swap(i, j); // 交换这两个元素
}
nums.swap(i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
i // 返回基准数的索引
}
```
## 11.5.1. &nbsp; 算法流程
1. 首先，对原数组执行一次「哨兵划分」，得到未排序的左子数组和右子数组。
@@ -546,6 +567,23 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
/* 快速排序 */
pub fn quick_sort(left: i32, right: i32, nums: &mut [i32]) {
// 子数组长度为 1 时终止递归
if left >= right {
return;
}
// 哨兵划分
let pivot = Self::partition(nums, left as usize, right as usize) as i32;
// 递归左子数组、右子数组
Self::quick_sort(left, pivot - 1, nums);
Self::quick_sort(pivot + 1, right, nums);
}
```
## 11.5.2. &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、自适应排序** ：在平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。在最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。
@@ -976,6 +1014,43 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
/* 选取三个元素的中位数 */
fn median_three(nums: &mut [i32], left: usize, mid: usize, right: usize) -> usize {
// 此处使用异或运算来简化代码
// 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
if (nums[left] < nums[mid]) ^ (nums[left] < nums[right]) {
return left;
} else if (nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]) {
return mid;
}
right
}
/* 哨兵划分（三数取中值） */
fn partition(nums: &mut [i32], left: usize, right: usize) -> usize {
// 选取三个候选元素的中位数
let med = Self::median_three(nums, left, (left + right) / 2, right);
// 将中位数交换至数组最左端
nums.swap(left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
let (mut i, mut j) = (left, right);
while i < j {
while i < j && nums[j] >= nums[left] {
j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
}
while i < j && nums[i] <= nums[left] {
i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
}
nums.swap(i, j); // 交换这两个元素
}
nums.swap(i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
i // 返回基准数的索引
}
```
## 11.5.5. &nbsp; 尾递归优化
**在某些输入下，快速排序可能占用空间较多**。以完全倒序的输入数组为例，由于每轮哨兵划分后右子数组长度为 $0$ ，递归树的高度会达到 $n - 1$ ，此时需要占用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
@@ -1214,3 +1289,24 @@ comments: true
}
}
```
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
/* 快速排序（尾递归优化） */
pub fn quick_sort(mut left: i32, mut right: i32, nums: &mut [i32]) {
// 子数组长度为 1 时终止
while left < right {
// 哨兵划分操作
let pivot = Self::partition(nums, left as usize, right as usize) as i32;
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
if pivot - left < right - pivot {
Self::quick_sort(left, pivot - 1, nums); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
} else {
Self::quick_sort(pivot + 1, right, nums); // 递归排序右子数组
right = pivot - 1; // 剩余未排序区间为 [left, pivot - 1]
}
}
}
```

50
chapter_sorting/radix_sort.md
View File

@@ -634,6 +634,56 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="radix_sort.rs"
/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
fn digit(num: i32, exp: i32) -> usize {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return ((num / exp) % 10) as usize;
}
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
fn counting_sort_digit(nums: &mut [i32], exp: i32) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
let mut counter = [0; 10];
let n = nums.len();
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for i in 0..n {
let d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
counter[d] += 1; // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
for i in 1..10 {
counter[i] += counter[i - 1];
}
// 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
let mut res = vec![0; n];
for i in (0..n).rev() {
let d = digit(nums[i], exp);
let j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
counter[d] -= 1; // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for i in 0..n {
nums[i] = res[i];
}
}
/* 基数排序 */
fn radix_sort(nums: &mut [i32]) {
// 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
let m = *nums.into_iter().max().unwrap();
// 按照从低位到高位的顺序遍历
let mut exp = 1;
while exp <= m {
counting_sort_digit(nums, exp);
exp *= 10;
}
}
```
!!! question "为什么从最低位开始排序？"
在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 $a < b$ ，而第二轮排序结果 $a > b$ ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，我们应该先排序低位再排序高位。

21
chapter_sorting/selection_sort.md
View File

@@ -261,6 +261,27 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="selection_sort.rs"
/* 选择排序 */
fn selection_sort(nums: &mut [i32]) {
let n = nums.len();
// 外循环：未排序区间为 [i, n-1]
for i in 0..n-1 {
// 内循环：找到未排序区间内的最小元素
let mut k = i;
for j in i+1..n {
if nums[j] < nums[k] {
k = j; // 记录最小元素的索引
}
}
// 将该最小元素与未排序区间的首个元素交换
nums.swap(i, k);
}
}
```
## 11.2.1. &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、非自适应排序**：外循环共 $n - 1$ 轮，第一轮的未排序区间长度为 $n$ ，最后一轮的未排序区间长度为 $2$ ，即各轮外循环分别包含 $n$ , $n - 1$ , $\cdots$ , $2$ 轮内循环，求和为 $\frac{(n - 1)(n + 2)}{2}$ 。