build

chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md

@@ -39,7 +39,7 @@ $$
 
 那么，上节的爬楼梯题目有没有最优子结构呢？它的目标是求解方案数量，看似是一个计数问题，但如果换一种问法：“求解最大方案数量”。我们意外地发现，**虽然题目修改前后是等价的，但最优子结构浮现出来了**：第 $n$ 阶最大方案数量等于第 $n-1$ 阶和第 $n-2$ 阶最大方案数量之和。所以说，最优子结构的解释方式比较灵活，在不同问题中会有不同的含义。
 
-根据状态转移方程，以及初始状态 $dp[1] = cost[1]$ , $dp[2] = cost[2]$ ，可以得出动态规划代码。
+根据状态转移方程，以及初始状态 $dp[1] = cost[1]$ , $dp[2] = cost[2]$ ，我们就可以得到动态规划代码。
 
 === "Java"
 
@@ -246,6 +246,8 @@ $$
     }
     ```
 
+下图展示了以上代码的动态规划过程。
+
 ![爬楼梯最小代价的动态规划过程](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_dp.png)
 
 <p align="center"> 图：爬楼梯最小代价的动态规划过程 </p>
@@ -443,7 +445,7 @@ $$
 
     给定一个共有 $n$ 阶的楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶，**但不能连续两轮跳 $1$ 阶**，请问有多少种方案可以爬到楼顶。
 
-例如，爬上第 $3$ 阶仅剩 $2$ 种可行方案，其中连续三次跳 $1$ 阶的方案不满足约束条件，因此被舍弃。
+例如下图，爬上第 $3$ 阶仅剩 $2$ 种可行方案，其中连续三次跳 $1$ 阶的方案不满足约束条件，因此被舍弃。
 
 ![带约束爬到第 3 阶的方案数量](dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_example.png)
 
@@ -458,7 +460,7 @@ $$
 - 当 $j$ 等于 $1$ ，即上一轮跳了 $1$ 阶时，这一轮只能选择跳 $2$ 阶。
 - 当 $j$ 等于 $2$ ，即上一轮跳了 $2$ 阶时，这一轮可选择跳 $1$ 阶或跳 $2$ 阶。
 
-在该定义下，$dp[i, j]$ 表示状态 $[i, j]$ 对应的方案数。在该定义下的状态转移方程为：
+如下图所示，在该定义下，$dp[i, j]$ 表示状态 $[i, j]$ 对应的方案数。此时状态转移方程为：
 
 $$
 \begin{cases}

chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md

@@ -40,7 +40,7 @@ status: new
 
     给定一个 $n \times m$ 的二维网格 `grid` ，网格中的每个单元格包含一个非负整数，表示该单元格的代价。机器人以左上角单元格为起始点，每次只能向下或者向右移动一步，直至到达右下角单元格。请返回从左上角到右下角的最小路径和。
 
-例如以下示例数据，给定网格的最小路径和为 $13$ 。
+下图展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 $13$ 。
 
 ![最小路径和示例数据](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_example.png)
 
@@ -52,7 +52,7 @@ status: new
 
 状态 $[i, j]$ 对应的子问题为：从起始点 $[0, 0]$ 走到 $[i, j]$ 的最小路径和，解记为 $dp[i, j]$ 。
 
-至此，我们就得到了一个二维 $dp$ 矩阵，其尺寸与输入网格 $grid$ 相同。
+至此，我们就得到了下图所示的二维 $dp$ 矩阵，其尺寸与输入网格 $grid$ 相同。
 
 ![状态定义与 dp 表](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_solution_step1.png)
 
@@ -68,7 +68,7 @@ status: new
 
 对于状态 $[i, j]$ ，它只能从上边格子 $[i-1, j]$ 和左边格子 $[i, j-1]$ 转移而来。因此最优子结构为：到达 $[i, j]$ 的最小路径和由 $[i, j-1]$ 的最小路径和与 $[i-1, j]$ 的最小路径和，这两者较小的那一个决定。
 
-根据以上分析，可推出以下状态转移方程：
+根据以上分析，可推出下图所示的状态转移方程：
 
 $$
 dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
@@ -88,7 +88,7 @@ $$
 
 在本题中，处在首行的状态只能向右转移，首列状态只能向下转移，因此首行 $i = 0$ 和首列 $j = 0$ 是边界条件。
 
-每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用采用循环来遍历矩阵，外循环遍历各行、内循环遍历各列。
+如下图所示，由于每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用采用循环来遍历矩阵，外循环遍历各行、内循环遍历各列。
 
 ![边界条件与状态转移顺序](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_solution_step3.png)
 
@@ -582,7 +582,7 @@ $$
     }
     ```
 
-引入记忆化后，所有子问题的解只需计算一次，因此时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 $O(nm)$ 。
+如下图所示，在引入记忆化后，所有子问题的解只需计算一次，因此时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 $O(nm)$ 。
 
 ![记忆化搜索递归树](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs_mem.png)
 

chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md

@@ -48,7 +48,7 @@ status: new
 
 **第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程**
 
-考虑子问题 $dp[i, j]$ ，其对应的两个字符串的尾部字符为 $s[i-1]$ 和 $t[j-1]$ ，可根据不同编辑操作分为三种情况：
+考虑子问题 $dp[i, j]$ ，其对应的两个字符串的尾部字符为 $s[i-1]$ 和 $t[j-1]$ ，可根据不同编辑操作分为下图所示的三种情况：
 
 1. 在 $s[i-1]$ 之后添加 $t[j-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i, j-1]$ 。
 2. 删除 $s[i-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i-1, j]$ 。

chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md

@@ -378,7 +378,7 @@ $$
 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
 $$
 
-这意味着在爬楼梯问题中，各个子问题之间存在递推关系，**原问题的解可以由子问题的解构建得来**。
+这意味着在爬楼梯问题中，各个子问题之间存在递推关系，**原问题的解可以由子问题的解构建得来**。下图展示了该递推关系。
 
 ![方案数量递推关系](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_state_transfer.png)
 
@@ -1155,6 +1155,12 @@ $$
     }
     ```
 
+下图模拟了以上代码的执行过程。
+
+![爬楼梯的动态规划过程](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dp.png)
+
+<p align="center"> 图：爬楼梯的动态规划过程 </p>
+
 与回溯算法一样，动态规划也使用“状态”概念来表示问题求解的某个特定阶段，每个状态都对应一个子问题以及相应的局部最优解。例如，爬楼梯问题的状态定义为当前所在楼梯阶数 $i$ 。
 
 总结以上，动态规划的常用术语包括：
@@ -1163,10 +1169,6 @@ $$
 - 将最小子问题对应的状态（即第 $1$ , $2$ 阶楼梯）称为「初始状态」。
 - 将递推公式 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 称为「状态转移方程」。
 
-![爬楼梯的动态规划过程](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dp.png)
-
-<p align="center"> 图：爬楼梯的动态规划过程 </p>
-
 ## 14.1.4 &nbsp; 状态压缩
 
 细心的你可能发现，**由于 $dp[i]$ 只与 $dp[i-1]$ 和 $dp[i-2]$ 有关，因此我们无须使用一个数组 `dp` 来存储所有子问题的解**，而只需两个变量滚动前进即可。

chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md

@@ -13,7 +13,7 @@ status: new
 
     给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。
 
-请注意，物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。
+观察下图，由于物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。
 
 ![0-1 背包的示例数据](knapsack_problem.assets/knapsack_example.png)
 
@@ -537,6 +537,8 @@ $$
     }
     ```
 
+下图展示了在记忆化递归中被剪掉的搜索分支。
+
 ![0-1 背包的记忆化搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs_mem.png)
 
 <p align="center"> 图：0-1 背包的记忆化搜索递归树 </p>
@@ -833,7 +835,7 @@ $$
 - 如果采取正序遍历，那么遍历到 $dp[i, j]$ 时，左上方 $dp[i-1, 1]$ ~ $dp[i-1, j-1]$ 值可能已经被覆盖，此时就无法得到正确的状态转移结果。
 - 如果采取倒序遍历，则不会发生覆盖问题，状态转移可以正确进行。
 
-以下动画展示了在单个数组下从第 $i = 1$ 行转换至第 $i = 2$ 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。
+下图展示了在单个数组下从第 $i = 1$ 行转换至第 $i = 2$ 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。
 
 === "<1>"
     ![0-1 背包的状态压缩后的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step1.png)

chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md

@@ -276,7 +276,7 @@ $$
 
 由于当前状态是从左边和上边的状态转移而来，**因此状态压缩后应该对 $dp$ 表中的每一行采取正序遍历**。
 
-这个遍历顺序与 0-1 背包正好相反。请通过以下动画来理解两者的区别。
+这个遍历顺序与 0-1 背包正好相反。请借助下图来理解两者的区别。
 
 === "<1>"
     ![完全背包的状态压缩后的动态规划过程](unbounded_knapsack_problem.assets/unbounded_knapsack_dp_comp_step1.png)