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chapter_graph/graph/index.html

@@ -1808,7 +1808,7 @@
 
 
 <h1 id="91">9.1. &nbsp; 图<a class="headerlink" href="#91" title="Permanent link">&para;</a></h1>
-<p>「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可将图 <span class="arithmatex">\(G\)</span> 抽象地表示为一组顶点 <span class="arithmatex">\(V\)</span> 和一组边 <span class="arithmatex">\(E\)</span> 的集合。例如，以下表示一个包含 5 个顶点和 7 条边的图</p>
+<p>「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可以将图 <span class="arithmatex">\(G\)</span> 抽象地表示为一组顶点 <span class="arithmatex">\(V\)</span> 和一组边 <span class="arithmatex">\(E\)</span> 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。</p>
 <div class="arithmatex">\[
 \begin{aligned}
 V &amp; = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline
@@ -1819,17 +1819,17 @@ G &amp; = \{ V, E \} \newline
 <p><img alt="链表、树、图之间的关系" src="../graph.assets/linkedlist_tree_graph.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 链表、树、图之间的关系 </p>
 
-<p>那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作结点，把「边」看作连接各个结点的指针，则可将「图」看成一种从「链表」拓展而来的数据结构。<strong>相比线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，也从而更为复杂</strong>。</p>
+<p>那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作结点，把「边」看作连接各个结点的指针，则可将「图」看作是一种从「链表」拓展而来的数据结构。<strong>相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，从而更为复杂</strong>。</p>
 <h2 id="911">9.1.1. &nbsp; 图常见类型<a class="headerlink" href="#911" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。</p>
+<p>根据边是否具有方向，可分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。</p>
 <ul>
-<li>在无向图中，边表示两顶点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；</li>
-<li>在有向图中，边是有方向的，即 <span class="arithmatex">\(A \rightarrow B\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(A \leftarrow B\)</span> 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系；</li>
+<li>在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；</li>
+<li>在有向图中，边具有方向性，即 <span class="arithmatex">\(A \rightarrow B\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(A \leftarrow B\)</span> 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系；</li>
 </ul>
 <p><img alt="有向图与无向图" src="../graph.assets/directed_graph.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 有向图与无向图 </p>
 
-<p>根据所有顶点是否连通，分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。</p>
+<p>根据所有顶点是否连通，可分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。</p>
 <ul>
 <li>对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点；</li>
 <li>对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达；</li>
@@ -1837,40 +1837,40 @@ G &amp; = \{ V, E \} \newline
 <p><img alt="连通图与非连通图" src="../graph.assets/connected_graph.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 连通图与非连通图 </p>
 
-<p>我们可以给边添加“权重”变量，得到「有权图 Weighted Graph」。例如，在王者荣耀等游戏中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以使用有权图来表示。</p>
+<p>我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到「有权图 Weighted Graph」。例如，在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。</p>
 <p><img alt="有权图与无权图" src="../graph.assets/weighted_graph.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 有权图与无权图 </p>
 
 <h2 id="912">9.1.2. &nbsp; 图常用术语<a class="headerlink" href="#912" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <ul>
-<li>「邻接 Adjacency」：当两顶点之间有边相连时，称此两顶点“邻接”。例如，上图中顶点 1 的邻接顶点为顶点 2, 3, 5 。</li>
-<li>「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列，被称为从 A 到 B 的“路径”。例如，上图中边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一个路径。</li>
-<li>「度 Degree」表示一个顶点具有多少条边。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。</li>
+<li>「邻接 Adjacency」：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在上图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。</li>
+<li>「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在上图中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。</li>
+<li>「度 Degree」表示一个顶点拥有的边数。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。</li>
 </ul>
 <h2 id="913">9.1.3. &nbsp; 图的表示<a class="headerlink" href="#913" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>图的常用表示方法有「邻接矩阵」和「邻接表」。以下使用「无向图」来举例。</p>
+<p>图的常用表示方法包括「邻接矩阵」和「邻接表」。以下使用无向图进行举例。</p>
 <h3 id="_1">邻接矩阵<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>设图的顶点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 <span class="arithmatex">\(n \times n\)</span> 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 来表示两个顶点之间有边或无边。</p>
-<p>如下图所示，记邻接矩阵为 <span class="arithmatex">\(M\)</span> 、顶点列表为 <span class="arithmatex">\(V\)</span> ，则矩阵元素 <span class="arithmatex">\(M[i][j] = 1\)</span> 代表着顶点 <span class="arithmatex">\(V[i]\)</span> 到顶点 <span class="arithmatex">\(V[j]\)</span> 之间有边，相反地 <span class="arithmatex">\(M[i][j] = 0\)</span> 代表两顶点之间无边。</p>
+<p>设图的顶点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 <span class="arithmatex">\(n \times n\)</span> 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 表示两个顶点之间是否存在边。</p>
+<p>如下图所示，设邻接矩阵为 <span class="arithmatex">\(M\)</span> 、顶点列表为 <span class="arithmatex">\(V\)</span> ，那么矩阵元素 <span class="arithmatex">\(M[i][j] = 1\)</span> 表示顶点 <span class="arithmatex">\(V[i]\)</span> 到顶点 <span class="arithmatex">\(V[j]\)</span> 之间存在边，反之 <span class="arithmatex">\(M[i][j] = 0\)</span> 表示两顶点之间无边。</p>
 <p><img alt="图的邻接矩阵表示" src="../graph.assets/adjacency_matrix.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 图的邻接矩阵表示 </p>
 
-<p>邻接矩阵具有以下性质：</p>
+<p>邻接矩阵具有以下特性：</p>
 <ul>
-<li>顶点不能与自身相连，因而邻接矩阵主对角线元素没有意义。</li>
-<li>「无向图」两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。</li>
-<li>将邻接矩阵的元素从 <span class="arithmatex">\(1\)</span> , <span class="arithmatex">\(0\)</span> 替换为权重，则能够表示「有权图」。</li>
+<li>顶点不能与自身相连，因此邻接矩阵主对角线元素没有意义。</li>
+<li>对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。</li>
+<li>将邻接矩阵的元素从 <span class="arithmatex">\(1\)</span> , <span class="arithmatex">\(0\)</span> 替换为权重，则可表示有权图。</li>
 </ul>
-<p>使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接通过访问矩阵元素来获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。然而，矩阵的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> ，内存占用较大。</p>
+<p>使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。然而，矩阵的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> ，内存占用较多。</p>
 <h3 id="_2">邻接表<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>「邻接表 Adjacency List」使用 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个链表来表示图，链表结点表示顶点。第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 条链表对应顶点 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。</p>
 <p><img alt="图的邻接表表示" src="../graph.assets/adjacency_list.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 图的邻接表表示 </p>
 
-<p>邻接表仅存储存在的边，而边的总数往往远小于 <span class="arithmatex">\(n^2\)</span> ，因此更加节省空间。但是，因为在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，所以其时间效率不如邻接矩阵。</p>
-<p>观察上图发现，<strong>邻接表结构与哈希表「链地址法」非常相似，因此我们也可以用类似方法来优化效率</strong>。比如，当链表较长时，可以把链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 优化至 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ，还可以通过中序遍历获取有序序列；还可以将链表转化为哈希表，将时间复杂度降低至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</p>
+<p>邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 <span class="arithmatex">\(n^2\)</span> ，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。</p>
+<p>观察上图可发现，<strong>邻接表结构与哈希表中的「链地址法」非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率</strong>。例如，当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 优化至 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ，还可以通过中序遍历获取有序序列；此外，还可以将链表转换为哈希表，将时间复杂度降低至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</p>
 <h2 id="914">9.1.4. &nbsp; 图常见应用<a class="headerlink" href="#914" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>现实中的许多系统都可以使用图来建模，对应的待求解问题也可以被约化为图计算问题。</p>
+<p>实际应用中，许多系统都可以用图来建模，相应的待求解问题也可以约化为图计算问题。</p>
 <div class="center-table">
 <table>
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