# Двоичные деревья
Двоичное (бинарное) дерево (binary tree) -- это нелинейная структура данных, представляющая отношения между предками и потомками и отражающая логику «разделяй и властвуй». Подобно спискам, основным элементом двоичного дерева является узел, который содержит значение, ссылку на левый дочерний узел и ссылку на правый дочерний узел.
=== "Python"
```python title=""
class TreeNode:
"""Класс узла двоичного дерева"""
def __init__(self, val: int):
self.val: int = val # Значение узла
self.left: TreeNode | None = None # Ссылка на левый дочерний узел
self.right: TreeNode | None = None # Ссылка на правый дочерний узел
```
=== "C++"
```cpp title=""
/* Структура узла двоичного дерева */
struct TreeNode {
int val; // Значение узла
TreeNode *left; // Указатель на левый дочерний узел
TreeNode *right; // Указатель на правый дочерний узел
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
```
=== "Java"
```java title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
int val; // Значение узла
TreeNode left; // Ссылка на левый дочерний узел
TreeNode right; // Ссылка на правый дочерний узел
TreeNode(int x) { val = x; }
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode(int? x) {
public int? val = x; // Значение узла
public TreeNode? left; // Ссылка на левый дочерний узел
public TreeNode? right; // Ссылка на правый дочерний узел
}
```
=== "Go"
```go title=""
/* Структура узла двоичного дерева */
type TreeNode struct {
Val int
Left *TreeNode
Right *TreeNode
}
/* Конструктор */
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
return &TreeNode{
Left: nil, // Указатель на левый дочерний узел
Right: nil, // Указатель на правый дочерний узел
Val: v, // Значение узла
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
var val: Int // Значение узла
var left: TreeNode? // Ссылка на левый дочерний узел
var right: TreeNode? // Ссылка на правый дочерний узел
init(x: Int) {
val = x
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
val; // Значение узла
left; // Указатель на левый дочерний узел
right; // Указатель на правый дочерний узел
constructor(val, left, right) {
this.val = val === undefined ? 0 : val;
this.left = left === undefined ? null : left;
this.right = right === undefined ? null : right;
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
val: number;
left: TreeNode | null;
right: TreeNode | null;
constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // Значение узла
this.left = left === undefined ? null : left; // Ссылка на левый дочерний узел
this.right = right === undefined ? null : right; // Ссылка на правый дочерний узел
}
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
int val; // Значение узла
TreeNode? left; // Ссылка на левый дочерний узел
TreeNode? right; // Ссылка на правый дочерний узел
TreeNode(this.val, [this.left, this.right]);
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;
/* Структура узла двоичного дерева */
struct TreeNode {
val: i32, // Значение узла
left: Option>>, // Ссылка на левый дочерний узел
right: Option>>, // Ссылка на правый дочерний узел
}
impl TreeNode {
/* Конструктор */
fn new(val: i32) -> Rc> {
Rc::new(RefCell::new(Self {
val,
left: None,
right: None
}))
}
}
```
=== "C"
```c title=""
/* Структура узла двоичного дерева */
typedef struct TreeNode {
int val; // Значение узла
int height; // Высота узла
struct TreeNode *left; // Указатель на левый дочерний узел
struct TreeNode *right; // Указатель на правый дочерний узел
} TreeNode;
/* Функция-конструктор */
TreeNode *newTreeNode(int val) {
TreeNode *node;
node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
node->val = val;
node->height = 0;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
return node;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode(val _val: Int) { // Значение узла
val left: TreeNode? = null // Ссылка на левый дочерний узел
val right: TreeNode? = null // Ссылка на правый дочерний узел
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
### Класс узла двоичного дерева ###
class TreeNode
attr_accessor :val # Значение узла
attr_accessor :left # Ссылка на левый дочерний узел
attr_accessor :right # Ссылка на правый дочерний узел
def initialize(val)
@val = val
end
end
```
Каждый узел имеет две ссылки (указателя), указывающие на левый дочерний узел (left-child node) и правый дочерний узел (right-child node). Текущий узел называется родительским узлом (parent node) для этих двух дочерних узлов. Для заданного узла дерево, образованное его левым дочерним узлом и всеми его подузлами, называется левым поддеревом (left subtree). Аналогично определяется правое поддерево (right subtree).
**В двоичном дереве, кроме листовых узлов, все остальные узлы содержат дочерние узлы и непустые поддеревья**. Как показано на рисунке ниже, если рассматривать «узел 2» как родительский, то его левым и правым дочерними узлами будут «узел 4» и «узел 5» соответственно. Левое поддерево -- это «узел 4 и все узлы ниже него», а правое поддерево -- «узел 5 и все узлы ниже него».
## Основные понятия двоичного дерева
Основные понятия двоичного дерева показаны на рисунке ниже.
- Корневой узел (root node): узел, находящийся на верхнем уровне дерева и не имеющий родительского узла.
- Листовой узел (leaf node): узел, не имеющий дочерних узлов, оба его указателя указывают на `None`.
- Ребро (edge): отрезок, соединяющий два узла, т. е. ссылка (указатель) узла.
- Уровень узла (level): увеличивается сверху вниз, уровень корневого узла равен 1.
- Степень узла (degree): количество дочерних узлов узла. В двоичном дереве степень может быть 0, 1 или 2.
- Высота двоичного дерева (height): количество ребер от корневого узла до самого удаленного листового узла.
- Глубина узла (depth): количество ребер от корневого узла до данного узла.
- Высота узла (height): количество ребер от самого удаленного листового узла до данного узла.
!!! tip
Обратите внимание, что обычно мы определяем «высоту» и «глубину» как «количество пройденных ребер», но в некоторых задачах или учебниках они могут определяться как «количество пройденных узлов». В этом случае высота и глубина должны быть увеличены на 1.
## Основные операции с двоичными деревьями
### Инициализация двоичного дерева
Подобно спискам, сначала инициализируются узлы, затем строятся ссылки (указатели).
=== "Python"
```python title="binary_tree.py"
# Инициализация двоичного дерева
# Инициализация узлов
n1 = TreeNode(val=1)
n2 = TreeNode(val=2)
n3 = TreeNode(val=3)
n4 = TreeNode(val=4)
n5 = TreeNode(val=5)
# Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```
=== "C++"
```cpp title="binary_tree.cpp"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
```
=== "Java"
```java title="binary_tree.java"
// Инициализация узлов
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```
=== "C#"
```csharp title="binary_tree.cs"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
TreeNode n1 = new(1);
TreeNode n2 = new(2);
TreeNode n3 = new(3);
TreeNode n4 = new(4);
TreeNode n5 = new(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```
=== "Go"
```go title="binary_tree.go"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
n1 := NewTreeNode(1)
n2 := NewTreeNode(2)
n3 := NewTreeNode(3)
n4 := NewTreeNode(4)
n5 := NewTreeNode(5)
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.Left = n2
n1.Right = n3
n2.Left = n4
n2.Right = n5
```
=== "Swift"
```swift title="binary_tree.swift"
// Инициализация узлов
let n1 = TreeNode(x: 1)
let n2 = TreeNode(x: 2)
let n3 = TreeNode(x: 3)
let n4 = TreeNode(x: 4)
let n5 = TreeNode(x: 5)
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```
=== "JS"
```javascript title="binary_tree.js"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
let n1 = new TreeNode(1),
n2 = new TreeNode(2),
n3 = new TreeNode(3),
n4 = new TreeNode(4),
n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```
=== "TS"
```typescript title="binary_tree.ts"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
let n1 = new TreeNode(1),
n2 = new TreeNode(2),
n3 = new TreeNode(3),
n4 = new TreeNode(4),
n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```
=== "Dart"
```dart title="binary_tree.dart"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree.rs"
// Инициализация узлов
let n1 = TreeNode::new(1);
let n2 = TreeNode::new(2);
let n3 = TreeNode::new(3);
let n4 = TreeNode::new(4);
let n5 = TreeNode::new(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
n1.borrow_mut().right = Some(n3);
n2.borrow_mut().left = Some(n4);
n2.borrow_mut().right = Some(n5);
```
=== "C"
```c title="binary_tree.c"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
TreeNode *n1 = newTreeNode(1);
TreeNode *n2 = newTreeNode(2);
TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_tree.kt"
// Инициализация узлов
val n1 = TreeNode(1)
val n2 = TreeNode(2)
val n3 = TreeNode(3)
val n4 = TreeNode(4)
val n5 = TreeNode(5)
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_tree.rb"
# Инициализация двоичного дерева
# Инициализация узлов
n1 = TreeNode.new(1)
n2 = TreeNode.new(2)
n3 = TreeNode.new(3)
n4 = TreeNode.new(4)
n5 = TreeNode.new(5)
# Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```
??? pythontutor "Визуализация выполнения"
https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false
### Вставка и удаление узлов
Подобно спискам, в двоичном дереве вставку и удаление узлов можно выполнять путем изменения указателей. На рисунке ниже приведен пример.
=== "Python"
```python title="binary_tree.py"
# Вставка и удаление узлов
p = TreeNode(0)
# Вставка узла P между n1 и n2
n1.left = p
p.left = n2
# Удаление узла P
n1.left = n2
```
=== "C++"
```cpp title="binary_tree.cpp"
/* Вставка и удаление узлов */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// Вставка узла P между n1 и n2
n1->left = P;
P->left = n2;
// Удаление узла P
n1->left = n2;
// Освобождение памяти
delete P;
```
=== "Java"
```java title="binary_tree.java"
TreeNode P = new TreeNode(0);
// Вставка узла P между n1 и n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удаление узла P
n1.left = n2;
```
=== "C#"
```csharp title="binary_tree.cs"
/* Вставка и удаление узлов */
TreeNode P = new(0);
// Вставка узла P между n1 и n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удаление узла P
n1.left = n2;
```
=== "Go"
```go title="binary_tree.go"
/* Вставка и удаление узлов */
// Вставка узла P между n1 и n2
p := NewTreeNode(0)
n1.Left = p
p.Left = n2
// Удаление узла P
n1.Left = n2
```
=== "Swift"
```swift title="binary_tree.swift"
let P = TreeNode(x: 0)
// Вставка узла P между n1 и n2
n1.left = P
P.left = n2
// Удаление узла P
n1.left = n2
```
=== "JS"
```javascript title="binary_tree.js"
/* Вставка и удаление узлов */
let P = new TreeNode(0);
// Вставка узла P между n1 и n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удаление узла P
n1.left = n2;
```
=== "TS"
```typescript title="binary_tree.ts"
/* Вставка и удаление узлов */
const P = new TreeNode(0);
// Вставка узла P между n1 и n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удаление узла P
n1.left = n2;
```
=== "Dart"
```dart title="binary_tree.dart"
/* Вставка и удаление узлов */
TreeNode P = new TreeNode(0);
// Вставка узла P между n1 и n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удаление узла P
n1.left = n2;
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree.rs"
let p = TreeNode::new(0);
// Вставка узла P между n1 и n2
n1.borrow_mut().left = Some(p.clone());
p.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
// Удаление узла p
n1.borrow_mut().left = Some(n2);
```
=== "C"
```c title="binary_tree.c"
/* Вставка и удаление узлов */
TreeNode *P = newTreeNode(0);
// Вставка узла P между n1 и n2
n1->left = P;
P->left = n2;
// Удаление узла P
n1->left = n2;
// Освобождение памяти
free(P);
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_tree.kt"
val P = TreeNode(0)
// Вставка узла P между n1 и n2
n1.left = P
P.left = n2
// Удаление узла P
n1.left = n2
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_tree.rb"
# Вставка и удаление узлов
_p = TreeNode.new(0)
# Вставка узла _p между n1 и n2
n1.left = _p
_p.left = n2
# Удаление узла
n1.left = n2
```
??? pythontutor "Визуализация выполнения"
https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%