7.4 二分探索木¶

図 7-16 の二分探索木（binary search tree）は、次の条件を満たします。

根について、左の部分木のすべての値 \(<\) 根の値 \(<\) 右の部分木のすべての値が成り立ちます。
どのノードの左右の部分木も二分探索木であり、同じく条件 1. を満たします。

二分探索木

図 7-16 二分探索木

7.4.1 二分探索木の操作¶

クラス BinarySearchTree にまとめ、根ノードを指すメンバー変数 root を宣言します。

1. ノードの探索¶

目的の値 num が与えられたら、二分探索木の性質を使って探せます。図 7-17 のように、ノード cur を宣言して根 root から出発し、cur.val と num の大小を繰り返し比較します。

cur.val < num なら、目的のノードは右の部分木にあるので、cur = cur.right とします。
cur.val > num なら、目的のノードは左の部分木にあるので、cur = cur.left とします。
cur.val = num なら、見つかったのでループを抜け、そのノードを返します。

<1><2><3><4>

二分探索木でノードを探す例

二分探索木での探索の手順 2

二分探索木での探索の手順 3

二分探索木での探索の手順 4

図 7-17 二分探索木でノードを探す例

二分探索木の探索は、二分探索と同じく、各反復で候補の半分を除外する仕組みです。反復回数は最大で木の高さとなり、木が平衡なら \(O(\log n)\) 時間です。コード例を示します。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRuby

binary_search_tree.py

def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
    """ノードを探索する"""
    cur = self._root
    # 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while cur is not None:
        # 目的のノードは cur の右部分木にある
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 目的のノードは cur の左部分木にある
        elif cur.val > num:
            cur = cur.left
        # 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
        else:
            break
    return cur

binary_search_tree.cpp

/* ノードを探索する */
TreeNode *search(int num) {
    TreeNode *cur = root;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != nullptr) {
        // 目的のノードは cur の右部分木にある
        if (cur->val < num)
            cur = cur->right;
        // 目的のノードは cur の左部分木にある
        else if (cur->val > num)
            cur = cur->left;
        // 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
        else
            break;
    }
    // 目的のノードを返す
    return cur;
}

binary_search_tree.java

/* ノードを探索する */
TreeNode search(int num) {
    TreeNode cur = root;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != null) {
        // 目的のノードは cur の右部分木にある
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 目的のノードは cur の左部分木にある
        else if (cur.val > num)
            cur = cur.left;
        // 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
        else
            break;
    }
    // 目的のノードを返す
    return cur;
}

binary_search_tree.cs

/* ノードを探索する */
TreeNode? Search(int num) {
    TreeNode? cur = root;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != null) {
        // 目的のノードは cur の右部分木にある
        if (cur.val < num) cur =
            cur.right;
        // 目的のノードは cur の左部分木にある
        else if (cur.val > num)
            cur = cur.left;
        // 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
        else
            break;
    }
    // 目的のノードを返す
    return cur;
}

binary_search_tree.go

/* ノードを探索する */
func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {
    node := bst.root
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    for node != nil {
        if node.Val.(int) < num {
            // 目的のノードは cur の右部分木にある
            node = node.Right
        } else if node.Val.(int) > num {
            // 目的のノードは cur の左部分木にある
            node = node.Left
        } else {
            // 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
            break
        }
    }
    // 目的のノードを返す
    return node
}

binary_search_tree.swift

/* ノードを探索する */
func search(num: Int) -> TreeNode? {
    var cur = root
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while cur != nil {
        // 目的のノードは cur の右部分木にある
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 目的のノードは cur の左部分木にある
        else if cur!.val > num {
            cur = cur?.left
        }
        // 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
        else {
            break
        }
    }
    // 目的のノードを返す
    return cur
}

binary_search_tree.js

/* ノードを探索する */
search(num) {
    let cur = this.root;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur !== null) {
        // 目的のノードは cur の右部分木にある
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目的のノードは cur の左部分木にある
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
        else break;
    }
    // 目的のノードを返す
    return cur;
}

binary_search_tree.ts

/* ノードを探索する */
search(num: number): TreeNode | null {
    let cur = this.root;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur !== null) {
        // 目的のノードは cur の右部分木にある
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目的のノードは cur の左部分木にある
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
        else break;
    }
    // 目的のノードを返す
    return cur;
}

binary_search_tree.dart

/* ノードを探索する */
TreeNode? search(int _num) {
  TreeNode? cur = _root;
  // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
  while (cur != null) {
    // 目的のノードは cur の右部分木にある
    if (cur.val < _num)
      cur = cur.right;
    // 目的のノードは cur の左部分木にある
    else if (cur.val > _num)
      cur = cur.left;
    // 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
    else
      break;
  }
  // 目的のノードを返す
  return cur;
}

binary_search_tree.rs

/* ノードを探索する */
pub fn search(&self, num: i32) -> OptionTreeNodeRc {
    let mut cur = self.root.clone();
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while let Some(node) = cur.clone() {
        match num.cmp(&node.borrow().val) {
            // 目的のノードは cur の右部分木にある
            Ordering::Greater => cur = node.borrow().right.clone(),
            // 目的のノードは cur の左部分木にある
            Ordering::Less => cur = node.borrow().left.clone(),
            // 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
            Ordering::Equal => break,
        }
    }

    // 目的のノードを返す
    cur
}

binary_search_tree.c

/* ノードを探索する */
TreeNode *search(BinarySearchTree *bst, int num) {
    TreeNode *cur = bst->root;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != NULL) {
        if (cur->val < num) {
            // 目的のノードは cur の右部分木にある
            cur = cur->right;
        } else if (cur->val > num) {
            // 目的のノードは cur の左部分木にある
            cur = cur->left;
        } else {
            // 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
            break;
        }
    }
    // 目的のノードを返す
    return cur;
}

binary_search_tree.kt

/* ノードを探索する */
fun search(num: Int): TreeNode? {
    var cur = root
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != null) {
        // 目的のノードは cur の右部分木にある
        cur = if (cur._val < num)
            cur.right
        // 目的のノードは cur の左部分木にある
        else if (cur._val > num)
            cur.left
        // 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
        else
            break
    }
    // 目的のノードを返す
    return cur
}

binary_search_tree.rb

### ノードを探索する ###
def search(num)
  cur = @root

  # 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
  while !cur.nil?
    # 目的のノードは cur の右部分木にある
    if cur.val < num
      cur = cur.right
    # 目的のノードは cur の左部分木にある
    elsif cur.val > num
      cur = cur.left
    # 目的のノードが見つかったので、ループを終了する
    else
      break
    end
  end

  cur
end

実行の可視化

全画面で表示 >

2. ノードの挿入¶

挿入する要素 num に対して、「左の部分木 < 根 < 右の部分木」という性質を保つため、図 7-18 の手順で挿入します。

挿入位置を探す：探索と同じく根から出発し、現在の値と num を比較しながら下へ進みます。葉を越えて None に達したらループを抜けます。
その位置に挿入する：値 num のノードを初期化し、None の位置へ置きます。

二分探索木へのノードの挿入

図 7-18 二分探索木へのノードの挿入

実装では、次の二点に注意します。

重複するノードは定義に反するため許しません。挿入するノードがすでに存在すれば、何もせずに戻ります。
挿入のため、ノード pre に前回の反復のノードを保存します。これにより、None に達したときに親を取得して挿入できます。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRuby

binary_search_tree.py

def insert(self, num: int):
    """ノードを挿入する"""
    # 木が空の場合、根ノードを初期化する
    if self._root is None:
        self._root = TreeNode(num)
        return
    # 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    cur, pre = self._root, None
    while cur is not None:
        # 重複したノードが見つかったので、そのまま戻る
        if cur.val == num:
            return
        pre = cur
        # 挿入位置は cur の右部分木にある
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 挿入位置は cur の左部分木にある
        else:
            cur = cur.left
    # ノードを挿入する
    node = TreeNode(num)
    if pre.val < num:
        pre.right = node
    else:
        pre.left = node

binary_search_tree.cpp

/* ノードを挿入する */
void insert(int num) {
    // 木が空の場合、根ノードを初期化する
    if (root == nullptr) {
        root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != nullptr) {
        // 重複したノードが見つかったので、そのまま戻る
        if (cur->val == num)
            return;
        pre = cur;
        // 挿入位置は cur の右部分木にある
        if (cur->val < num)
            cur = cur->right;
        // 挿入位置は cur の左部分木にある
        else
            cur = cur->left;
    }
    // ノードを挿入する
    TreeNode *node = new TreeNode(num);
    if (pre->val < num)
        pre->right = node;
    else
        pre->left = node;
}

binary_search_tree.java

/* ノードを挿入する */
void insert(int num) {
    // 木が空の場合、根ノードを初期化する
    if (root == null) {
        root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode cur = root, pre = null;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != null) {
        // 重複したノードが見つかったので、そのまま戻る
        if (cur.val == num)
            return;
        pre = cur;
        // 挿入位置は cur の右部分木にある
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 挿入位置は cur の左部分木にある
        else
            cur = cur.left;
    }
    // ノードを挿入する
    TreeNode node = new TreeNode(num);
    if (pre.val < num)
        pre.right = node;
    else
        pre.left = node;
}

binary_search_tree.cs

/* ノードを挿入する */
void Insert(int num) {
    // 木が空の場合、根ノードを初期化する
    if (root == null) {
        root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode? cur = root, pre = null;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != null) {
        // 重複したノードが見つかったので、そのまま戻る
        if (cur.val == num)
            return;
        pre = cur;
        // 挿入位置は cur の右部分木にある
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 挿入位置は cur の左部分木にある
        else
            cur = cur.left;
    }

    // ノードを挿入する
    TreeNode node = new(num);
    if (pre != null) {
        if (pre.val < num)
            pre.right = node;
        else
            pre.left = node;
    }
}

binary_search_tree.go

/* ノードを挿入する */
func (bst *binarySearchTree) insert(num int) {
    cur := bst.root
    // 木が空の場合、根ノードを初期化する
    if cur == nil {
        bst.root = NewTreeNode(num)
        return
    }
    // 挿入対象ノードの直前のノードの位置
    var pre *TreeNode = nil
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            return
        }
        pre = cur
        if cur.Val.(int) < num {
            cur = cur.Right
        } else {
            cur = cur.Left
        }
    }
    // ノードを挿入する
    node := NewTreeNode(num)
    if pre.Val.(int) < num {
        pre.Right = node
    } else {
        pre.Left = node
    }
}

binary_search_tree.swift

/* ノードを挿入する */
func insert(num: Int) {
    // 木が空の場合、根ノードを初期化する
    if root == nil {
        root = TreeNode(x: num)
        return
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode?
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while cur != nil {
        // 重複したノードが見つかったので、そのまま戻る
        if cur!.val == num {
            return
        }
        pre = cur
        // 挿入位置は cur の右部分木にある
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 挿入位置は cur の左部分木にある
        else {
            cur = cur?.left
        }
    }
    // ノードを挿入する
    let node = TreeNode(x: num)
    if pre!.val < num {
        pre?.right = node
    } else {
        pre?.left = node
    }
}

binary_search_tree.js

/* ノードを挿入する */
insert(num) {
    // 木が空の場合、根ノードを初期化する
    if (this.root === null) {
        this.root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    let cur = this.root,
        pre = null;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur !== null) {
        // 重複したノードが見つかったので、そのまま戻る
        if (cur.val === num) return;
        pre = cur;
        // 挿入位置は cur の右部分木にある
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 挿入位置は cur の左部分木にある
        else cur = cur.left;
    }
    // ノードを挿入する
    const node = new TreeNode(num);
    if (pre.val < num) pre.right = node;
    else pre.left = node;
}

binary_search_tree.ts

/* ノードを挿入する */
insert(num: number): void {
    // 木が空の場合、根ノードを初期化する
    if (this.root === null) {
        this.root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    let cur: TreeNode | null = this.root,
        pre: TreeNode | null = null;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur !== null) {
        // 重複したノードが見つかったので、そのまま戻る
        if (cur.val === num) return;
        pre = cur;
        // 挿入位置は cur の右部分木にある
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 挿入位置は cur の左部分木にある
        else cur = cur.left;
    }
    // ノードを挿入する
    const node = new TreeNode(num);
    if (pre!.val < num) pre!.right = node;
    else pre!.left = node;
}

binary_search_tree.dart

/* ノードを挿入する */
void insert(int _num) {
  // 木が空の場合、根ノードを初期化する
  if (_root == null) {
    _root = TreeNode(_num);
    return;
  }
  TreeNode? cur = _root;
  TreeNode? pre = null;
  // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
  while (cur != null) {
    // 重複したノードが見つかったので、そのまま戻る
    if (cur.val == _num) return;
    pre = cur;
    // 挿入位置は cur の右部分木にある
    if (cur.val < _num)
      cur = cur.right;
    // 挿入位置は cur の左部分木にある
    else
      cur = cur.left;
  }
  // ノードを挿入する
  TreeNode? node = TreeNode(_num);
  if (pre!.val < _num)
    pre.right = node;
  else
    pre.left = node;
}

binary_search_tree.rs

/* ノードを挿入する */
pub fn insert(&mut self, num: i32) {
    // 木が空の場合、根ノードを初期化する
    if self.root.is_none() {
        self.root = Some(TreeNode::new(num));
        return;
    }
    let mut cur = self.root.clone();
    let mut pre = None;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while let Some(node) = cur.clone() {
        match num.cmp(&node.borrow().val) {
            // 重複したノードが見つかったので、そのまま戻る
            Ordering::Equal => return,
            // 挿入位置は cur の右部分木にある
            Ordering::Greater => {
                pre = cur.clone();
                cur = node.borrow().right.clone();
            }
            // 挿入位置は cur の左部分木にある
            Ordering::Less => {
                pre = cur.clone();
                cur = node.borrow().left.clone();
            }
        }
    }
    // ノードを挿入する
    let pre = pre.unwrap();
    let node = Some(TreeNode::new(num));
    if num > pre.borrow().val {
        pre.borrow_mut().right = node;
    } else {
        pre.borrow_mut().left = node;
    }
}

binary_search_tree.c

/* ノードを挿入する */
void insert(BinarySearchTree *bst, int num) {
    // 木が空の場合、根ノードを初期化する
    if (bst->root == NULL) {
        bst->root = newTreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != NULL) {
        // 重複したノードが見つかったので、そのまま戻る
        if (cur->val == num) {
            return;
        }
        pre = cur;
        if (cur->val < num) {
            // 挿入位置は cur の右部分木にある
            cur = cur->right;
        } else {
            // 挿入位置は cur の左部分木にある
            cur = cur->left;
        }
    }
    // ノードを挿入する
    TreeNode *node = newTreeNode(num);
    if (pre->val < num) {
        pre->right = node;
    } else {
        pre->left = node;
    }
}

binary_search_tree.kt

/* ノードを挿入する */
fun insert(num: Int) {
    // 木が空の場合、根ノードを初期化する
    if (root == null) {
        root = TreeNode(num)
        return
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode? = null
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != null) {
        // 重複したノードが見つかったので、そのまま戻る
        if (cur._val == num)
            return
        pre = cur
        // 挿入位置は cur の右部分木にある
        cur = if (cur._val < num)
            cur.right
        // 挿入位置は cur の左部分木にある
        else
            cur.left
    }
    // ノードを挿入する
    val node = TreeNode(num)
    if (pre?._val!! < num)
        pre.right = node
    else
        pre.left = node
}

binary_search_tree.rb

### ノードを挿入する ###
def insert(num)
  # 木が空の場合、根ノードを初期化する
  if @root.nil?
    @root = TreeNode.new(num)
    return
  end

  # 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
  cur, pre = @root, nil
  while !cur.nil?
    # 重複したノードが見つかったので、そのまま戻る
    return if cur.val == num

    pre = cur
    # 挿入位置は cur の右部分木にある
    if cur.val < num
      cur = cur.right
    # 挿入位置は cur の左部分木にある
    else
      cur = cur.left
    end
  end

  # ノードを挿入する
  node = TreeNode.new(num)
  if pre.val < num
    pre.right = node
  else
    pre.left = node
  end
end

実行の可視化

全画面で表示 >

探索と同じく、挿入には \(O(\log n)\) 時間かかります。

3. ノードの削除¶

まず目的のノードを見つけてから削除します。挿入と同じく、削除後も「左の部分木 < 根 < 右の部分木」を保つ必要があります。そのため、子の数が 0、1、2 の三つの場合に分けて処理します。

図 7-19 のように、削除するノードの次数が \(0\) なら葉なので、直接削除できます。

二分探索木のノードの削除（次数 0）

図 7-19 二分探索木のノードの削除（次数 0）

図 7-20 のように、次数が \(1\) なら、そのノードを子に置き換えれば済みます。

二分探索木のノードの削除（次数 1）

図 7-20 二分探索木のノードの削除（次数 1）

次数が \(2\) の場合は直接削除できず、別のノードで置き換える必要があります。「左の部分木 \(<\) 根 \(<\) 右の部分木」を保つため、右の部分木の最小ノードか、左の部分木の最大ノードを使えます。

右の部分木の最小ノード、つまり通りがけ順で次のノードを選ぶとすると、手順は図 7-21 のとおりです。

削除するノードの次に通りがけ順で現れるノードを探し、tmp とします。
削除するノードの値を tmp の値で上書きし、木から tmp を再帰的に削除します。

<1><2><3><4>

二分探索木のノードの削除（次数 2）

次数 2 のノードの削除の手順 2

次数 2 のノードの削除の手順 3

次数 2 のノードの削除の手順 4

図 7-21 二分探索木のノードの削除（次数 2）

削除も \(O(\log n)\) 時間です。削除対象の探索に \(O(\log n)\)、通りがけ順の後続ノードの取得に \(O(\log n)\) 時間かかります。コード例を示します。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRuby

binary_search_tree.py

def remove(self, num: int):
    """ノードを削除する"""
    # 木が空の場合、そのまま早期リターンする
    if self._root is None:
        return
    # 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    cur, pre = self._root, None
    while cur is not None:
        # 削除対象のノードが見つかったので、ループを終了する
        if cur.val == num:
            break
        pre = cur
        # 削除対象のノードは cur の右部分木にある
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 削除対象のノードは cur の左部分木にある
        else:
            cur = cur.left
    # 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
    if cur is None:
        return

    # 子ノード数 = 0 または 1
    if cur.left is None or cur.right is None:
        # 子ノード数 = 0 / 1 の場合、child = null / その子ノード
        child = cur.left or cur.right
        # ノード cur を削除する
        if cur != self._root:
            if pre.left == cur:
                pre.left = child
            else:
                pre.right = child
        else:
            # 削除するノードが根ノードの場合、根ノードを指定し直す
            self._root = child
    # 子ノード数 = 2
    else:
        # 通りがけ順で cur の次のノードを取得する
        tmp: TreeNode = cur.right
        while tmp.left is not None:
            tmp = tmp.left
        # ノード tmp を再帰的に削除する
        self.remove(tmp.val)
        # tmp で cur を上書きする
        cur.val = tmp.val

binary_search_tree.cpp

/* ノードを削除する */
void remove(int num) {
    // 木が空の場合、そのまま早期リターンする
    if (root == nullptr)
        return;
    TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != nullptr) {
        // 削除対象のノードが見つかったので、ループを終了する
        if (cur->val == num)
            break;
        pre = cur;
        // 削除対象のノードは cur の右部分木にある
        if (cur->val < num)
            cur = cur->right;
        // 削除対象のノードは cur の左部分木にある
        else
            cur = cur->left;
    }
    // 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
    if (cur == nullptr)
        return;
    // 子ノード数 = 0 または 1
    if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {
        // 子ノード数 = 0 / 1 の場合、child = nullptr / その子ノード
        TreeNode *child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
        // ノード cur を削除する
        if (cur != root) {
            if (pre->left == cur)
                pre->left = child;
            else
                pre->right = child;
        } else {
            // 削除するノードが根ノードの場合、根ノードを指定し直す
            root = child;
        }
        // メモリを解放する
        delete cur;
    }
    // 子ノード数 = 2
    else {
        // 通りがけ順で cur の次のノードを取得する
        TreeNode *tmp = cur->right;
        while (tmp->left != nullptr) {
            tmp = tmp->left;
        }
        int tmpVal = tmp->val;
        // ノード tmp を再帰的に削除する
        remove(tmp->val);
        // tmp で cur を上書きする
        cur->val = tmpVal;
    }
}

binary_search_tree.java

/* ノードを削除する */
void remove(int num) {
    // 木が空の場合、そのまま早期リターンする
    if (root == null)
        return;
    TreeNode cur = root, pre = null;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != null) {
        // 削除対象のノードが見つかったので、ループを終了する
        if (cur.val == num)
            break;
        pre = cur;
        // 削除対象のノードは cur の右部分木にある
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 削除対象のノードは cur の左部分木にある
        else
            cur = cur.left;
    }
    // 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
    if (cur == null)
        return;
    // 子ノード数 = 0 または 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 子ノード数 = 0 / 1 の場合、child = null / その子ノード
        TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
        // ノード cur を削除する
        if (cur != root) {
            if (pre.left == cur)
                pre.left = child;
            else
                pre.right = child;
        } else {
            // 削除するノードが根ノードの場合、根ノードを指定し直す
            root = child;
        }
    }
    // 子ノード数 = 2
    else {
        // 通りがけ順で cur の次のノードを取得する
        TreeNode tmp = cur.right;
        while (tmp.left != null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // ノード tmp を再帰的に削除する
        remove(tmp.val);
        // tmp で cur を上書きする
        cur.val = tmp.val;
    }
}

binary_search_tree.cs

/* ノードを削除する */
void Remove(int num) {
    // 木が空の場合、そのまま早期リターンする
    if (root == null)
        return;
    TreeNode? cur = root, pre = null;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != null) {
        // 削除対象のノードが見つかったので、ループを終了する
        if (cur.val == num)
            break;
        pre = cur;
        // 削除対象のノードは cur の右部分木にある
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 削除対象のノードは cur の左部分木にある
        else
            cur = cur.left;
    }
    // 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
    if (cur == null)
        return;
    // 子ノード数 = 0 または 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 子ノード数 = 0 / 1 の場合、child = null / その子ノード
        TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
        // ノード cur を削除する
        if (cur != root) {
            if (pre!.left == cur)
                pre.left = child;
            else
                pre.right = child;
        } else {
            // 削除するノードが根ノードの場合、根ノードを指定し直す
            root = child;
        }
    }
    // 子ノード数 = 2
    else {
        // 通りがけ順で cur の次のノードを取得する
        TreeNode? tmp = cur.right;
        while (tmp.left != null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // ノード tmp を再帰的に削除する
        Remove(tmp.val!.Value);
        // tmp で cur を上書きする
        cur.val = tmp.val;
    }
}

binary_search_tree.go

/* ノードを削除する */
func (bst *binarySearchTree) remove(num int) {
    cur := bst.root
    // 木が空の場合、そのまま早期リターンする
    if cur == nil {
        return
    }
    // 削除対象ノードの直前のノードの位置
    var pre *TreeNode = nil
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            break
        }
        pre = cur
        if cur.Val.(int) < num {
            // 削除対象のノードは右部分木にある
            cur = cur.Right
        } else {
            // 削除対象のノードは左部分木にある
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
    if cur == nil {
        return
    }
    // 子ノード数は 0 または 1
    if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
        var child *TreeNode = nil
        // 削除対象のノードの子ノードを取り出す
        if cur.Left != nil {
            child = cur.Left
        } else {
            child = cur.Right
        }
        // ノード cur を削除する
        if cur != bst.root {
            if pre.Left == cur {
                pre.Left = child
            } else {
                pre.Right = child
            }
        } else {
            // 削除するノードが根ノードの場合、根ノードを指定し直す
            bst.root = child
        }
        // 子ノード数は 2
    } else {
        // 通りがけ順で削除対象ノード cur の次のノードを取得する
        tmp := cur.Right
        for tmp.Left != nil {
            tmp = tmp.Left
        }
        // ノード tmp を再帰的に削除する
        bst.remove(tmp.Val.(int))
        // tmp で cur を上書きする
        cur.Val = tmp.Val
    }
}

binary_search_tree.swift

/* ノードを削除する */
func remove(num: Int) {
    // 木が空の場合、そのまま早期リターンする
    if root == nil {
        return
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode?
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while cur != nil {
        // 削除対象のノードが見つかったので、ループを終了する
        if cur!.val == num {
            break
        }
        pre = cur
        // 削除対象のノードは cur の右部分木にある
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 削除対象のノードは cur の左部分木にある
        else {
            cur = cur?.left
        }
    }
    // 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
    if cur == nil {
        return
    }
    // 子ノード数 = 0 または 1
    if cur?.left == nil || cur?.right == nil {
        // 子ノード数 = 0 / 1 の場合、child = null / その子ノード
        let child = cur?.left ?? cur?.right
        // ノード cur を削除する
        if cur !== root {
            if pre?.left === cur {
                pre?.left = child
            } else {
                pre?.right = child
            }
        } else {
            // 削除するノードが根ノードの場合、根ノードを指定し直す
            root = child
        }
    }
    // 子ノード数 = 2
    else {
        // 通りがけ順で cur の次のノードを取得する
        var tmp = cur?.right
        while tmp?.left != nil {
            tmp = tmp?.left
        }
        // ノード tmp を再帰的に削除する
        remove(num: tmp!.val)
        // tmp で cur を上書きする
        cur?.val = tmp!.val
    }
}

binary_search_tree.js

/* ノードを削除する */
remove(num) {
    // 木が空の場合、そのまま早期リターンする
    if (this.root === null) return;
    let cur = this.root,
        pre = null;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur !== null) {
        // 削除対象のノードが見つかったので、ループを終了する
        if (cur.val === num) break;
        pre = cur;
        // 削除対象のノードは cur の右部分木にある
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 削除対象のノードは cur の左部分木にある
        else cur = cur.left;
    }
    // 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
    if (cur === null) return;
    // 子ノード数 = 0 または 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 子ノード数 = 0 / 1 の場合、child = null / その子ノード
        const child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // ノード cur を削除する
        if (cur !== this.root) {
            if (pre.left === cur) pre.left = child;
            else pre.right = child;
        } else {
            // 削除するノードが根ノードの場合、根ノードを指定し直す
            this.root = child;
        }
    }
    // 子ノード数 = 2
    else {
        // 通りがけ順で cur の次のノードを取得する
        let tmp = cur.right;
        while (tmp.left !== null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // ノード tmp を再帰的に削除する
        this.remove(tmp.val);
        // tmp で cur を上書きする
        cur.val = tmp.val;
    }
}

binary_search_tree.ts

/* ノードを削除する */
remove(num: number): void {
    // 木が空の場合、そのまま早期リターンする
    if (this.root === null) return;
    let cur: TreeNode | null = this.root,
        pre: TreeNode | null = null;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur !== null) {
        // 削除対象のノードが見つかったので、ループを終了する
        if (cur.val === num) break;
        pre = cur;
        // 削除対象のノードは cur の右部分木にある
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 削除対象のノードは cur の左部分木にある
        else cur = cur.left;
    }
    // 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
    if (cur === null) return;
    // 子ノード数 = 0 または 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 子ノード数 = 0 / 1 の場合、child = null / その子ノード
        const child: TreeNode | null =
            cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // ノード cur を削除する
        if (cur !== this.root) {
            if (pre!.left === cur) pre!.left = child;
            else pre!.right = child;
        } else {
            // 削除するノードが根ノードの場合、根ノードを指定し直す
            this.root = child;
        }
    }
    // 子ノード数 = 2
    else {
        // 通りがけ順で cur の次のノードを取得する
        let tmp: TreeNode | null = cur.right;
        while (tmp!.left !== null) {
            tmp = tmp!.left;
        }
        // ノード tmp を再帰的に削除する
        this.remove(tmp!.val);
        // tmp で cur を上書きする
        cur.val = tmp!.val;
    }
}

binary_search_tree.dart

/* ノードを削除する */
void remove(int _num) {
  // 木が空の場合、そのまま早期リターンする
  if (_root == null) return;
  TreeNode? cur = _root;
  TreeNode? pre = null;
  // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
  while (cur != null) {
    // 削除対象のノードが見つかったので、ループを終了する
    if (cur.val == _num) break;
    pre = cur;
    // 削除対象のノードは cur の右部分木にある
    if (cur.val < _num)
      cur = cur.right;
    // 削除対象のノードは cur の左部分木にある
    else
      cur = cur.left;
  }
  // 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
  if (cur == null) return;
  // 子ノード数 = 0 または 1
  if (cur.left == null || cur.right == null) {
    // 子ノード数 = 0 / 1 の場合、child = null / その子ノード
    TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
    // ノード cur を削除する
    if (cur != _root) {
      if (pre!.left == cur)
        pre.left = child;
      else
        pre.right = child;
    } else {
      // 削除するノードが根ノードの場合、根ノードを指定し直す
      _root = child;
    }
  } else {
    // 子ノード数 = 2
    // 通りがけ順で cur の次のノードを取得する
    TreeNode? tmp = cur.right;
    while (tmp!.left != null) {
      tmp = tmp.left;
    }
    // ノード tmp を再帰的に削除する
    remove(tmp.val);
    // tmp で cur を上書きする
    cur.val = tmp.val;
  }
}

binary_search_tree.rs

/* ノードを削除する */
pub fn remove(&mut self, num: i32) {
    // 木が空の場合、そのまま早期リターンする
    if self.root.is_none() {
        return;
    }
    let mut cur = self.root.clone();
    let mut pre = None;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while let Some(node) = cur.clone() {
        match num.cmp(&node.borrow().val) {
            // 削除対象のノードが見つかったので、ループを終了する
            Ordering::Equal => break,
            // 削除対象のノードは cur の右部分木にある
            Ordering::Greater => {
                pre = cur.clone();
                cur = node.borrow().right.clone();
            }
            // 削除対象のノードは cur の左部分木にある
            Ordering::Less => {
                pre = cur.clone();
                cur = node.borrow().left.clone();
            }
        }
    }
    // 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
    if cur.is_none() {
        return;
    }
    let cur = cur.unwrap();
    let (left_child, right_child) = (cur.borrow().left.clone(), cur.borrow().right.clone());
    match (left_child.clone(), right_child.clone()) {
        // 子ノード数 = 0 または 1
        (None, None) | (Some(_), None) | (None, Some(_)) => {
            // 子ノード数 = 0 / 1 の場合、child = nullptr / その子ノード
            let child = left_child.or(right_child);
            let pre = pre.unwrap();
            // ノード cur を削除する
            if !Rc::ptr_eq(&cur, self.root.as_ref().unwrap()) {
                let left = pre.borrow().left.clone();
                if left.is_some() && Rc::ptr_eq(left.as_ref().unwrap(), &cur) {
                    pre.borrow_mut().left = child;
                } else {
                    pre.borrow_mut().right = child;
                }
            } else {
                // 削除するノードが根ノードの場合、根ノードを指定し直す
                self.root = child;
            }
        }
        // 子ノード数 = 2
        (Some(_), Some(_)) => {
            // 通りがけ順で cur の次のノードを取得する
            let mut tmp = cur.borrow().right.clone();
            while let Some(node) = tmp.clone() {
                if node.borrow().left.is_some() {
                    tmp = node.borrow().left.clone();
                } else {
                    break;
                }
            }
            let tmp_val = tmp.unwrap().borrow().val;
            // ノード tmp を再帰的に削除する
            self.remove(tmp_val);
            // tmp で cur を上書きする
            cur.borrow_mut().val = tmp_val;
        }
    }
}

binary_search_tree.c

/* ノードを削除する */
// stdio.h を読み込んでいるため、ここでは remove という名前は使えない
void removeItem(BinarySearchTree *bst, int num) {
    // 木が空の場合、そのまま早期リターンする
    if (bst->root == NULL)
        return;
    TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != NULL) {
        // 削除対象のノードが見つかったので、ループを終了する
        if (cur->val == num)
            break;
        pre = cur;
        if (cur->val < num) {
            // 削除対象のノードは root の右部分木にある
            cur = cur->right;
        } else {
            // 削除対象のノードは root の左部分木にある
            cur = cur->left;
        }
    }
    // 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
    if (cur == NULL)
        return;
    // 削除対象のノードに子ノードがあるかどうかを判定する
    if (cur->left == NULL || cur->right == NULL) {
        /* 子ノード数 = 0 または 1 */
        // 子ノード数 = 0 / 1 の場合、child = nullptr / その子ノード
        TreeNode *child = cur->left != NULL ? cur->left : cur->right;
        // ノード cur を削除する
        if (pre->left == cur) {
            pre->left = child;
        } else {
            pre->right = child;
        }
        // メモリを解放する
        free(cur);
    } else {
        /* 子ノード数 = 2 */
        // 通りがけ順で cur の次のノードを取得する
        TreeNode *tmp = cur->right;
        while (tmp->left != NULL) {
            tmp = tmp->left;
        }
        int tmpVal = tmp->val;
        // ノード tmp を再帰的に削除する
        removeItem(bst, tmp->val);
        // tmp で cur を上書きする
        cur->val = tmpVal;
    }
}

binary_search_tree.kt

/* ノードを削除する */
fun remove(num: Int) {
    // 木が空の場合、そのまま早期リターンする
    if (root == null)
        return
    var cur = root
    var pre: TreeNode? = null
    // 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
    while (cur != null) {
        // 削除対象のノードが見つかったので、ループを終了する
        if (cur._val == num)
            break
        pre = cur
        // 削除対象のノードは cur の右部分木にある
        cur = if (cur._val < num)
            cur.right
        // 削除対象のノードは cur の左部分木にある
        else
            cur.left
    }
    // 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
    if (cur == null)
        return
    // 子ノード数 = 0 または 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 子ノード数 = 0 / 1 の場合、child = null / その子ノード
        val child = if (cur.left != null)
            cur.left
        else
            cur.right
        // ノード cur を削除する
        if (cur != root) {
            if (pre!!.left == cur)
                pre.left = child
            else
                pre.right = child
        } else {
            // 削除するノードが根ノードの場合、根ノードを指定し直す
            root = child
        }
        // 子ノード数 = 2
    } else {
        // 通りがけ順で cur の次のノードを取得する
        var tmp = cur.right
        while (tmp!!.left != null) {
            tmp = tmp.left
        }
        // ノード tmp を再帰的に削除する
        remove(tmp._val)
        // tmp で cur を上書きする
        cur._val = tmp._val
    }
}

binary_search_tree.rb

### ノードを削除する ###
def remove(num)
  # 木が空の場合、そのまま早期リターンする
  return if @root.nil?

  # 繰り返し探索し、葉ノードを越えたら終了する
  cur, pre = @root, nil
  while !cur.nil?
    # 削除対象のノードが見つかったので、ループを終了する
    break if cur.val == num

    pre = cur
    # 削除対象のノードは cur の右部分木にある
    if cur.val < num
      cur = cur.right
    # 削除対象のノードは cur の左部分木にある
    else
      cur = cur.left
    end
  end
  # 削除対象のノードが存在しない場合、そのまま戻る
  return if cur.nil?

  # 子ノード数 = 0 または 1
  if cur.left.nil? || cur.right.nil?
    # 子ノード数 = 0 / 1 の場合、child = null / その子ノード
    child = cur.left || cur.right
    # ノード cur を削除する
    if cur != @root
      if pre.left == cur
        pre.left = child
      else
        pre.right = child
      end
    else
      # 削除するノードが根ノードの場合、根ノードを指定し直す
      @root = child
    end
  # 子ノード数 = 2
  else
    # 通りがけ順で cur の次のノードを取得する
    tmp = cur.right
    while !tmp.left.nil?
      tmp = tmp.left
    end
    # ノード tmp を再帰的に削除する
    remove(tmp.val)
    # tmp で cur を上書きする
    cur.val = tmp.val
  end
end

実行の可視化

全画面で表示 >

4. 通りがけ順では整列済みになる¶

図 7-22 のように、通りがけ順走査は「左 \(\rightarrow\) 根 \(\rightarrow\) 右」の順で進み、二分探索木では「左の子 \(<\) 根 \(<\) 右の子」の大小関係が成り立ちます。

そのため、通りがけ順では常に次に小さいノードを優先して訪問します。ここから、二分探索木の通りがけ順走査の列は昇順になるという重要な性質が得られます。

この性質を利用すれば、追加のソートなしに \(O(n)\) 時間で整列済みのデータを取得でき、非常に効率的です。

二分探索木の通りがけ順走査の列

図 7-22 二分探索木の通りがけ順走査の列

7.4.2 二分探索木の効率¶

データを配列または二分探索木で格納する場合を考えます。表 7-2 では、二分探索木の各操作の時間計算量はすべて対数時間で、安定した高い性能を示します。配列のほうが効率的なのは、追加が多く、探索と削除が少ない場合だけです。

表 7-2 配列と探索木の効率の比較

	未整列配列	二分探索木
要素の探索	\(O(n)\)	\(O(\log n)\)
要素の挿入	\(O(1)\)	\(O(\log n)\)
要素の削除	\(O(n)\)	\(O(\log n)\)

理想的には二分探索木は平衡であり、どのノードも \(\log n\) 回の反復で見つけられます。

ただし、挿入と削除を続けると、図 7-23 のように連結リストへ退化する可能性があります。その場合、各操作の時間計算量も \(O(n)\) に悪化します。

二分探索木の退化

図 7-23 二分探索木の退化

7.4.3 二分探索木の主な用途¶

システムの多段階のインデックスとして、効率的な探索、挿入、削除を実現します。
一部の探索アルゴリズムの基盤となるデータ構造として使います。
データストリームを格納し、整列状態を保ちます。

7.4 二分探索木¶

7.4.1 二分探索木の操作¶

1. ノードの探索¶

2. ノードの挿入¶

3. ノードの削除¶

4. 通りがけ順では整列済みになる¶

7.4.2 二分探索木の効率¶

7.4.3 二分探索木の主な用途¶

コメント欄で、考えや質問、ご提案をお寄せください。