7.2 二分木の走査¶

物理的な構造として、木は連結リストに基づくデータ構造なので、ポインタでノードを一つずつ訪問します。ただし、木は非線形なので、連結リストの走査より複雑で、探索アルゴリズムを使う必要があります。

主な方法には、レベル順、行きがけ順、通りがけ順、帰りがけ順などがあります。

7.2.1 レベル順走査¶

図 7-9 のレベル順走査（level-order traversal）は、上から下へ層ごとに進み、各層では左から右へノードを訪問します。

これは本質的に幅優先走査（breadth-first traversal）であり、幅優先探索（breadth-first search, BFS）とも呼びます。一周ずつ外へ広がるように、層ごとに走査する方法です。

二分木のレベル順走査

図 7-9 二分木のレベル順走査

1. コードの実装¶

幅優先走査は通常、キューで実装します。キューの「先入れ先出し」と、幅優先走査の「層ごとに進む」という規則は、同じ考え方に基づいています。実装は次のとおりです。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRuby

binary_tree_bfs.py

def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
    """レベル順走査"""
    # キューを初期化し、根ノードを追加する
    queue: deque[TreeNode] = deque()
    queue.append(root)
    # 走査順序を保存するリストを初期化する
    res = []
    while queue:
        node: TreeNode = queue.popleft()  # キューからデキューする
        res.append(node.val)  # ノードの値を保存する
        if node.left is not None:
            queue.append(node.left)  # 左の子ノードをエンキューする
        if node.right is not None:
            queue.append(node.right)  # 右の子ノードをエンキューする
    return res

binary_tree_bfs.cpp

/* レベル順走査 */
vector<int> levelOrder(TreeNode *root) {
    // キューを初期化し、根ノードを追加する
    queue<TreeNode *> queue;
    queue.push(root);
    // 走査順序を保存するリストを初期化する
    vector<int> vec;
    while (!queue.empty()) {
        TreeNode *node = queue.front();
        queue.pop();              // キューからデキューする
        vec.push_back(node->val); // ノードの値を保存する
        if (node->left != nullptr)
            queue.push(node->left); // 左の子ノードをエンキューする
        if (node->right != nullptr)
            queue.push(node->right); // 右の子ノードをエンキューする
    }
    return vec;
}

binary_tree_bfs.java

/* レベル順走査 */
List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
    // キューを初期化し、根ノードを追加する
    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
    queue.add(root);
    // 走査順序を保存するリストを初期化する
    List<Integer> list = new ArrayList<>();
    while (!queue.isEmpty()) {
        TreeNode node = queue.poll(); // キューからデキューする
        list.add(node.val);           // ノードの値を保存する
        if (node.left != null)
            queue.offer(node.left);   // 左の子ノードをエンキューする
        if (node.right != null)
            queue.offer(node.right);  // 右の子ノードをエンキューする
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.cs

/* レベル順走査 */
List<int> LevelOrder(TreeNode root) {
    // キューを初期化し、根ノードを追加する
    Queue<TreeNode> queue = new();
    queue.Enqueue(root);
    // 走査順序を保存するリストを初期化する
    List<int> list = [];
    while (queue.Count != 0) {
        TreeNode node = queue.Dequeue(); // キューからデキューする
        list.Add(node.val!.Value);       // ノードの値を保存する
        if (node.left != null)
            queue.Enqueue(node.left);    // 左の子ノードをエンキューする
        if (node.right != null)
            queue.Enqueue(node.right);   // 右の子ノードをエンキューする
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.go

/* レベル順走査 */
func levelOrder(root *TreeNode) []any {
    // キューを初期化し、根ノードを追加する
    queue := list.New()
    queue.PushBack(root)
    // 走査順序を保存するスライスを初期化する
    nums := make([]any, 0)
    for queue.Len() > 0 {
        // キューからデキューする
        node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
        // ノードの値を保存する
        nums = append(nums, node.Val)
        if node.Left != nil {
            // 左の子ノードをエンキューする
            queue.PushBack(node.Left)
        }
        if node.Right != nil {
            // 右の子ノードをエンキューする
            queue.PushBack(node.Right)
        }
    }
    return nums
}

binary_tree_bfs.swift

/* レベル順走査 */
func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
    // キューを初期化し、根ノードを追加する
    var queue: [TreeNode] = [root]
    // 走査順序を保存するリストを初期化する
    var list: [Int] = []
    while !queue.isEmpty {
        let node = queue.removeFirst() // キューからデキューする
        list.append(node.val) // ノードの値を保存する
        if let left = node.left {
            queue.append(left) // 左の子ノードをエンキューする
        }
        if let right = node.right {
            queue.append(right) // 右の子ノードをエンキューする
        }
    }
    return list
}

binary_tree_bfs.js

/* レベル順走査 */
function levelOrder(root) {
    // キューを初期化し、根ノードを追加する
    const queue = [root];
    // 走査順序を保存するリストを初期化する
    const list = [];
    while (queue.length) {
        let node = queue.shift(); // キューからデキューする
        list.push(node.val); // ノードの値を保存する
        if (node.left) queue.push(node.left); // 左の子ノードをエンキューする
        if (node.right) queue.push(node.right); // 右の子ノードをエンキューする
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.ts

/* レベル順走査 */
function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
    // キューを初期化し、根ノードを追加する
    const queue = [root];
    // 走査順序を保存するリストを初期化する
    const list: number[] = [];
    while (queue.length) {
        let node = queue.shift() as TreeNode; // キューからデキューする
        list.push(node.val); // ノードの値を保存する
        if (node.left) {
            queue.push(node.left); // 左の子ノードをエンキューする
        }
        if (node.right) {
            queue.push(node.right); // 右の子ノードをエンキューする
        }
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.dart

/* レベル順走査 */
List<int> levelOrder(TreeNode? root) {
  // キューを初期化し、根ノードを追加する
  Queue<TreeNode?> queue = Queue();
  queue.add(root);
  // 走査順序を保存するリストを初期化する
  List<int> res = [];
  while (queue.isNotEmpty) {
    TreeNode? node = queue.removeFirst(); // キューからデキューする
    res.add(node!.val); // ノードの値を保存する
    if (node.left != null) queue.add(node.left); // 左の子ノードをエンキューする
    if (node.right != null) queue.add(node.right); // 右の子ノードをエンキューする
  }
  return res;
}

binary_tree_bfs.rs

/* レベル順走査 */
fn level_order(root: &Rc<RefCell<TreeNode>>) -> Vec<i32> {
    // キューを初期化し、根ノードを追加する
    let mut que = VecDeque::new();
    que.push_back(root.clone());
    // 走査順序を保存するリストを初期化する
    let mut vec = Vec::new();

    while let Some(node) = que.pop_front() {
        // キューからデキューする
        vec.push(node.borrow().val); // ノードの値を保存する
        if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() {
            que.push_back(left.clone()); // 左の子ノードをエンキューする
        }
        if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() {
            que.push_back(right.clone()); // 右の子ノードをエンキューする
        };
    }
    vec
}

binary_tree_bfs.c

/* レベル順走査 */
int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) {
    /* 補助キュー */
    int front, rear;
    int index, *arr;
    TreeNode *node;
    TreeNode **queue;

    /* 補助キュー */
    queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_SIZE);
    // キューのポインタ
    front = 0, rear = 0;
    // 根ノードを追加する
    queue[rear++] = root;
    // 走査順序を保存するリストを初期化する
    /* 補助配列 */
    arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE);
    // 配列のポインタ
    index = 0;
    while (front < rear) {
        // キューからデキューする
        node = queue[front++];
        // ノードの値を保存する
        arr[index++] = node->val;
        if (node->left != NULL) {
            // 左の子ノードをエンキューする
            queue[rear++] = node->left;
        }
        if (node->right != NULL) {
            // 右の子ノードをエンキューする
            queue[rear++] = node->right;
        }
    }
    // 配列の長さの値を更新する
    *size = index;
    arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size));

    // 補助配列の領域を解放する
    free(queue);
    return arr;
}

binary_tree_bfs.kt

/* レベル順走査 */
fun levelOrder(root: TreeNode?): MutableList<Int> {
    // キューを初期化し、根ノードを追加する
    val queue = LinkedList<TreeNode?>()
    queue.add(root)
    // 走査順序を保存するリストを初期化する
    val list = mutableListOf<Int>()
    while (queue.isNotEmpty()) {
        val node = queue.poll()      // キューからデキューする
        list.add(node?._val!!)       // ノードの値を保存する
        if (node.left != null)
            queue.offer(node.left)   // 左の子ノードをエンキューする
        if (node.right != null)
            queue.offer(node.right)  // 右の子ノードをエンキューする
    }
    return list
}

binary_tree_bfs.rb

### レベル順走査 ###
def level_order(root)
  # キューを初期化し、根ノードを追加する
  queue = [root]
  # 走査順序を保存するリストを初期化する
  res = []
  while !queue.empty?
    node = queue.shift # キューからデキューする
    res << node.val # ノードの値を保存する
    queue << node.left unless node.left.nil? # 左の子ノードをエンキューする
    queue << node.right unless node.right.nil? # 右の子ノードをエンキューする
  end
  res
end

実行の可視化

全画面で表示 >

2. 計算量の解析¶

時間計算量は \(O(n)\)：全ノードを一回ずつ訪問するため、\(O(n)\) 時間です。\(n\) はノード数です。
空間計算量は \(O(n)\)：最悪の場合、つまりパーフェクト二分木では、最下層の走査直前に最大 \((n + 1) / 2\) 個のノードが同時にキューに入り、\(O(n)\) の領域を使います。

7.2.2 行きがけ順・通りがけ順・帰りがけ順走査¶

これに対し、行きがけ順、通りがけ順、帰りがけ順は、いずれも深さ優先走査（depth-first traversal）です。深さ優先探索（depth-first search, DFS）とも呼び、行き止まりまで進んでから戻り、探索を続ける方法です。

図 7-10 は二分木の深さ優先走査の仕組みです。木全体の外周を一周歩くようなものです。各ノードで三つの位置を通り、それぞれが行きがけ順、通りがけ順、帰りがけ順に対応します。

二分探索木の行きがけ順・通りがけ順・帰りがけ順走査

図 7-10 二分探索木の行きがけ順・通りがけ順・帰りがけ順走査

1. コードの実装¶

深さ優先探索は通常、再帰で実装します。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRuby

binary_tree_dfs.py

def pre_order(root: TreeNode | None):
    """行きがけ順走査"""
    if root is None:
        return
    # 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
    res.append(root.val)
    pre_order(root=root.left)
    pre_order(root=root.right)

def in_order(root: TreeNode | None):
    """通りがけ順走査"""
    if root is None:
        return
    # 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
    in_order(root=root.left)
    res.append(root.val)
    in_order(root=root.right)

def post_order(root: TreeNode | None):
    """帰りがけ順走査"""
    if root is None:
        return
    # 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
    post_order(root=root.left)
    post_order(root=root.right)
    res.append(root.val)

binary_tree_dfs.cpp

/* 行きがけ順走査 */
void preOrder(TreeNode *root) {
    if (root == nullptr)
        return;
    // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
    vec.push_back(root->val);
    preOrder(root->left);
    preOrder(root->right);
}

/* 通りがけ順走査 */
void inOrder(TreeNode *root) {
    if (root == nullptr)
        return;
    // 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
    inOrder(root->left);
    vec.push_back(root->val);
    inOrder(root->right);
}

/* 帰りがけ順走査 */
void postOrder(TreeNode *root) {
    if (root == nullptr)
        return;
    // 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
    postOrder(root->left);
    postOrder(root->right);
    vec.push_back(root->val);
}

binary_tree_dfs.java

/* 行きがけ順走査 */
void preOrder(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return;
    // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
    list.add(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 通りがけ順走査 */
void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return;
    // 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
    inOrder(root.left);
    list.add(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 帰りがけ順走査 */
void postOrder(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return;
    // 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.add(root.val);
}

binary_tree_dfs.cs

/* 行きがけ順走査 */
void PreOrder(TreeNode? root) {
    if (root == null) return;
    // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
    list.Add(root.val!.Value);
    PreOrder(root.left);
    PreOrder(root.right);
}

/* 通りがけ順走査 */
void InOrder(TreeNode? root) {
    if (root == null) return;
    // 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
    InOrder(root.left);
    list.Add(root.val!.Value);
    InOrder(root.right);
}

/* 帰りがけ順走査 */
void PostOrder(TreeNode? root) {
    if (root == null) return;
    // 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
    PostOrder(root.left);
    PostOrder(root.right);
    list.Add(root.val!.Value);
}

binary_tree_dfs.go

/* 行きがけ順走査 */
func preOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
    nums = append(nums, node.Val)
    preOrder(node.Left)
    preOrder(node.Right)
}

/* 通りがけ順走査 */
func inOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
    inOrder(node.Left)
    nums = append(nums, node.Val)
    inOrder(node.Right)
}

/* 帰りがけ順走査 */
func postOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
    postOrder(node.Left)
    postOrder(node.Right)
    nums = append(nums, node.Val)
}

binary_tree_dfs.swift

/* 行きがけ順走査 */
func preOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
    list.append(root.val)
    preOrder(root: root.left)
    preOrder(root: root.right)
}

/* 通りがけ順走査 */
func inOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
    inOrder(root: root.left)
    list.append(root.val)
    inOrder(root: root.right)
}

/* 帰りがけ順走査 */
func postOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
    postOrder(root: root.left)
    postOrder(root: root.right)
    list.append(root.val)
}

binary_tree_dfs.js

/* 行きがけ順走査 */
function preOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 通りがけ順走査 */
function inOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 帰りがけ順走査 */
function postOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}

binary_tree_dfs.ts

/* 行きがけ順走査 */
function preOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 通りがけ順走査 */
function inOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 帰りがけ順走査 */
function postOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}

binary_tree_dfs.dart

/* 行きがけ順走査 */
void preOrder(TreeNode? node) {
  if (node == null) return;
  // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
  list.add(node.val);
  preOrder(node.left);
  preOrder(node.right);
}

/* 通りがけ順走査 */
void inOrder(TreeNode? node) {
  if (node == null) return;
  // 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
  inOrder(node.left);
  list.add(node.val);
  inOrder(node.right);
}

/* 帰りがけ順走査 */
void postOrder(TreeNode? node) {
  if (node == null) return;
  // 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
  postOrder(node.left);
  postOrder(node.right);
  list.add(node.val);
}

binary_tree_dfs.rs

/* 行きがけ順走査 */
fn pre_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
    let mut result = vec![];

    fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
        if let Some(node) = root {
            // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
            let node = node.borrow();
            res.push(node.val);
            dfs(node.left.as_ref(), res);
            dfs(node.right.as_ref(), res);
        }
    }
    dfs(root, &mut result);

    result
}

/* 通りがけ順走査 */
fn in_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
    let mut result = vec![];

    fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
        if let Some(node) = root {
            // 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
            let node = node.borrow();
            dfs(node.left.as_ref(), res);
            res.push(node.val);
            dfs(node.right.as_ref(), res);
        }
    }
    dfs(root, &mut result);

    result
}

/* 帰りがけ順走査 */
fn post_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
    let mut result = vec![];

    fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
        if let Some(node) = root {
            // 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
            let node = node.borrow();
            dfs(node.left.as_ref(), res);
            dfs(node.right.as_ref(), res);
            res.push(node.val);
        }
    }

    dfs(root, &mut result);

    result
}

binary_tree_dfs.c

/* 行きがけ順走査 */
void preOrder(TreeNode *root, int *size) {
    if (root == NULL)
        return;
    // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
    arr[(*size)++] = root->val;
    preOrder(root->left, size);
    preOrder(root->right, size);
}

/* 通りがけ順走査 */
void inOrder(TreeNode *root, int *size) {
    if (root == NULL)
        return;
    // 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
    inOrder(root->left, size);
    arr[(*size)++] = root->val;
    inOrder(root->right, size);
}

/* 帰りがけ順走査 */
void postOrder(TreeNode *root, int *size) {
    if (root == NULL)
        return;
    // 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
    postOrder(root->left, size);
    postOrder(root->right, size);
    arr[(*size)++] = root->val;
}

binary_tree_dfs.kt

/* 行きがけ順走査 */
fun preOrder(root: TreeNode?) {
    if (root == null) return
    // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
    list.add(root._val)
    preOrder(root.left)
    preOrder(root.right)
}

/* 通りがけ順走査 */
fun inOrder(root: TreeNode?) {
    if (root == null) return
    // 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
    inOrder(root.left)
    list.add(root._val)
    inOrder(root.right)
}

/* 帰りがけ順走査 */
fun postOrder(root: TreeNode?) {
    if (root == null) return
    // 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
    postOrder(root.left)
    postOrder(root.right)
    list.add(root._val)
}

binary_tree_dfs.rb

### 行きがけ順走査 ###
def pre_order(root)
  return if root.nil?

  # 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
  $res << root.val
  pre_order(root.left)
  pre_order(root.right)
end

### 通りがけ順走査 ###
def in_order(root)
  return if root.nil?

  # 訪問順序：左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
  in_order(root.left)
  $res << root.val
  in_order(root.right)
end

### 帰りがけ順走査 ###
def post_order(root)
  return if root.nil?

  # 訪問順序：左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
  post_order(root.left)
  post_order(root.right)
  $res << root.val
end