# Кодирование чисел *

!!! tip

    В этой книге разделы, отмеченные символом *, являются необязательными для чтения. Если у вас ограничено время или возникают трудности с пониманием, вы можете пропустить их и вернуться к ним после изучения обязательных разделов.

## Прямой, обратный и дополнительный коды

В таблице из предыдущего раздела можно заметить, что во всех целочисленных типах отрицательных чисел на одно больше, чем положительных. Например, диапазон значений `byte` составляет $[-128, 127]$. Этот факт кажется не совсем интуитивным, и его внутренняя причина связана с концепциями прямого, обратного и дополнительного кодов.

Прежде всего необходимо отметить, что **числа хранятся в компьютере в виде дополнительного кода**. Прежде чем проанализировать причины этого, сначала дадим определения всем трем кодам.

- **Прямой код**: старший бит двоичного представления числа рассматривается как знак, где $0$ обозначает положительное число, $1$ -- отрицательное, остальные биты представляют значение числа.
- **Обратный код**: обратный код положительного числа совпадает с его прямым кодом, обратный код отрицательного числа получается инверсией всех битов прямого кода, кроме знакового.
- **Дополнительный код**: дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом, дополнительный код отрицательного числа получается добавлением $1$ к его обратному коду.

На рис. 3.4 изображены методы преобразования прямого, обратного и дополнительного кодов между собой.

![Взаимное преобразование прямого, обратного и дополнительного кодов](../assets/1s_2s_complement.png)

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：<u>原码（sign-magnitude）</u>虽然最直观，但存在一些局限性。一方面，**负数的原码不能直接用于运算**。例如在原码下计算 $1 + (-2)$ ，得到的结果是 $-3$ ，这显然是不对的... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：$$\begin{aligned}& 1 + (-2) \newline& \rightarrow 0000 \; 0001 + 1000 \; 0010 \newline& = 1000 \; 0011 \newline& \rightarrow -3\end{aligned}$$... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：为了解决此问题，计算机引入了<u>反码（1's complement）</u>。如果我们先将原码转换为反码，并在反码下计算 $1 + (-2)$ ，最后将结果从反码转换回原码，则可得到正确结果 $-1$... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：$$\begin{aligned}& 1 + (-2) \newline& \rightarrow 0000 \; 0001 \; \text{(原码)} + 1000 \; 0010 \; \text{(原码)} \newline& = 0000 \; 0001 \; \text{(反码)} + 1111  \; 1101 \; \text{(反码)}... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：另一方面，**数字零的原码有 $+0$ 和 $-0$ 两种表示方式**。这意味着数字零对应两个不同的二进制编码，这可能会带来歧义... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：$$\begin{aligned}+0 & \rightarrow 0000 \; 0000 \newline-0 & \rightarrow 1000 \; 0000\end{aligned}$$... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：与原码一样，反码也存在正负零歧义问题，因此计算机进一步引入了<u>补码（2's complement）</u>。我们先来观察一下负零的原码、反码、补码的转换过程... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：$$\begin{aligned}-0 \rightarrow \; & 1000 \; 0000 \; \text{(原码)} \newline= \; & 1111 \; 1111 \; \text{(反码)} \newline= 1 \; & 0000 \; 0000 \; \text{(补码)} \newline\end{aligned}$$... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：在负零的反码基础上加 $1$ 会产生进位，但 `byte` 类型的长度只有 8 位，因此溢出到第 9 位的 $1$ 会被舍弃。也就是说，**负零的补码为 $0000 \; 0000$ ，与正零的补码相同**... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：还剩最后一个疑惑：`byte` 类型的取值范围是 $[-128, 127]$ ，多出来的一个负数 $-128$ 是如何得到的呢？我们注意到，区间 $[-127, +127]$ 内的所有整数都有对应的原码、反码和补码... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：然而，**补码 $1000 \; 0000$ 是一个例外，它并没有对应的原码**。根据转换方法，我们得到该补码的原码为 $0000 \; 0000$... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：$$\begin{aligned}& (-127) + (-1) \newline& \rightarrow 1111 \; 1111 \; \text{(原码)} + 1000 \; 0001 \; \text{(原码)}... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：你可能已经发现了，上述所有计算都是加法运算。这暗示着一个重要事实：**计算机内部的硬件电路主要是基于加法运算设计的**... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：请注意，这并不意味着计算机只能做加法。**通过将加法与一些基本逻辑运算结合，计算机能够实现各种其他的数学运算**... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：现在我们可以总结出计算机使用补码的原因：基于补码表示，计算机可以用同样的电路和操作来处理正数和负数的加法... -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：补码的设计非常精妙，因篇幅关系我们就先介绍到这里，建议有兴趣的读者进一步深入了解。 -->

## Кодирование чисел с плавающей запятой

<!-- 🔴 俄文版缺失整个"浮点数编码"章节 -->
<!-- 中文原文：细心的你可能会发现：`int` 和 `float` 长度相同，都是 4 字节 ，但为什么 `float` 的取值范围远大于 `int`... -->