# Представление двоичного дерева с помощью массивом

При представлении в виде списка единицей хранения двоичного дерева является узел `TreeNode`, а узлы соединяются между собой указателями. В предыдущем разделе были рассмотрены основные операции с двоичным деревом, представленным в виде списка.

Можно ли представить двоичное дерево с помощью массива? Ответ положительный.

## Представление идеального двоичного дерева

Сначала рассмотрим простой пример. Если дано идеальное двоичное дерево и все его узлы хранятся в массиве в порядке обхода по уровням, то каждому узлу соответствует уникальный индекс массива.

На основе свойств обхода по уровням можно вывести формулу отображения между индексом родительского узла и индексами дочерних узлов: **если индекс узла равен $i$, то индекс его левого дочернего узла равен $2i + 1$, а индекс правого дочернего узла равен $2i + 2$**. На рисунке ниже показаны отношения отображения между индексами различных узлов.

<!-- 🔴 俄文版缺失图片 -->
<!-- 中文原文：![完美二叉树的数组表示](array_representation_of_tree.assets/array_representation_binary_tree.png) -->

**Роль формулы отображения эквивалентна ссылкам на узлы (указателям) в списке**. Для любого узла в массиве мы можем получить доступ к его левому (правому) дочернему узлу с помощью формулы отображения.

## Представление произвольного двоичного дерева

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层通常存在许多 `None` 。由于层序遍历序列并不包含这些 `None` ，因此我们无法仅凭该序列来推测 `None` 的数量和分布位置。**这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列**。 -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：如下图所示，给定一棵非完美二叉树，上述数组表示方法已经失效。 -->

<!-- 🔴 俄文版缺失图片 -->
<!-- 中文原文：![层序遍历序列对应多种二叉树可能性](array_representation_of_tree.assets/array_representation_without_empty.png) -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：为了解决此问题，**我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 `None`** 。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。示例代码如下： -->

<!-- 🔴 俄文版缺失代码示例 -->
<!-- 中文原文：=== "Python" ... [多语言代码示例] -->

<!-- 🔴 俄文版缺失图片 -->
<!-- 中文原文：![任意类型二叉树的数组表示](array_representation_of_tree.assets/array_representation_with_empty.png) -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：值得说明的是，**完全二叉树非常适合使用数组来表示**。回顾完全二叉树的定义，`None` 只出现在最底层且靠右的位置，**因此所有 `None` 一定出现在层序遍历序列的末尾**。 -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 `None` ，非常方便。下图给出了一个例子。 -->

<!-- 🔴 俄文版缺失图片 -->
<!-- 中文原文：![完全二叉树的数组表示](array_representation_of_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png) -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：以下代码实现了一棵基于数组表示的二叉树，包括以下几种操作。 -->

<!-- 🔴 俄文版缺失列表 -->
<!-- 中文原文：- 给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点。- 获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列。 -->

<!-- 🔴 俄文版缺失代码引用 -->
<!-- 中文原文：```src [file]{array_binary_tree}-[class]{array_binary_tree}-[func]{} ``` -->

## Преимущества и ограничения

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：二叉树的数组表示主要有以下优点。 -->

<!-- 🔴 俄文版缺失列表 -->
<!-- 中文原文：- 数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。- 不需要存储指针，比较节省空间。- 允许随机访问节点。 -->

<!-- 🔴 俄文版缺失此段落 -->
<!-- 中文原文：然而，数组表示也存在一些局限性。 -->

<!-- 🔴 俄文版缺失列表 -->
<!-- 中文原文：- 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。- 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。- 当二叉树中存在大量 `None` 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。 -->