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# 8.3 Top-k 問題
!!! question
長さ $n$ の未整列配列 `nums` が与えられたとき、配列内で最大の $k$ 個の要素を返してください。
この問題について、まずは発想が比較的直接的な 2 つの解法を紹介し、その後でより効率の高いヒープ解法を紹介します。
## 8.3.1 方法一：走査による選択
以下の図に示すように $k$ 回の走査を行い、各ラウンドでそれぞれ第 $1$、$2$、$\dots$、$k$ 位の要素を取り出すことができます。時間計算量は $O(nk)$ です。
この方法は $k \ll n$ の場合にしか適していません。$k$ が $n$ にかなり近いと、時間計算量は $O(n^2)$ に近づき、非常に時間がかかるためです。
{ class="animation-figure" }
図 8-6 走査によって最大の k 個の要素を探す
!!! tip
$k = n$ のとき、完全な昇順列を得ることができ、この場合は「選択ソート」アルゴリズムと等価になります。
## 8.3.2 方法二：ソート
以下の図に示すように、まず配列 `nums` をソートし、その後で右端の $k$ 個の要素を返すことができます。時間計算量は $O(n \log n)$ です。
明らかに、この方法は必要以上の処理を行っています。なぜなら、必要なのは最大の $k$ 個の要素を見つけることだけであり、他の要素をソートする必要はないからです。
{ class="animation-figure" }
図 8-7 ソートによって最大の k 個の要素を探す
## 8.3.3 方法三：ヒープ
ヒープを用いることで、Top-k 問題をより効率的に解くことができます。手順は以下の図のとおりです。
1. 最小ヒープを初期化し、そのヒープ頂点の要素が最小となるようにします。
2. まず配列の先頭 $k$ 個の要素を順にヒープへ挿入します。
3. $k + 1$ 番目の要素から開始し、現在の要素がヒープ頂点の要素より大きければ、ヒープ頂点の要素を取り出し、現在の要素をヒープへ挿入します。
4. 走査が完了した後、ヒープに保持されているのが最大の $k$ 個の要素です。
=== "<1>"
{ class="animation-figure" }
=== "<2>"
{ class="animation-figure" }
=== "<3>"
{ class="animation-figure" }
=== "<4>"
{ class="animation-figure" }
=== "<5>"
{ class="animation-figure" }
=== "<6>"
{ class="animation-figure" }
=== "<7>"
{ class="animation-figure" }
=== "<8>"
{ class="animation-figure" }
=== "<9>"
{ class="animation-figure" }
図 8-8 ヒープに基づいて最大の k 個の要素を探す
サンプルコードは以下のとおりです。
=== "Python"
```python title="top_k.py"
def top_k_heap(nums: list[int], k: int) -> list[int]:
"""ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す"""
# 最小ヒープを初期化
heap = []
# 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
for i in range(k):
heapq.heappush(heap, nums[i])
# k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
for i in range(k, len(nums)):
# 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
if nums[i] > heap[0]:
heapq.heappop(heap)
heapq.heappush(heap, nums[i])
return heap
```
=== "C++"
```cpp title="top_k.cpp"
/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
priority_queue, greater> topKHeap(vector &nums, int k) {
// 最小ヒープを初期化
priority_queue, greater> heap;
// 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
for (int i = 0; i < k; i++) {
heap.push(nums[i]);
}
// k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
for (int i = k; i < nums.size(); i++) {
// 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
if (nums[i] > heap.top()) {
heap.pop();
heap.push(nums[i]);
}
}
return heap;
}
```
=== "Java"
```java title="top_k.java"
/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
Queue topKHeap(int[] nums, int k) {
// 最小ヒープを初期化
Queue heap = new PriorityQueue();
// 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
for (int i = 0; i < k; i++) {
heap.offer(nums[i]);
}
// k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
for (int i = k; i < nums.length; i++) {
// 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
if (nums[i] > heap.peek()) {
heap.poll();
heap.offer(nums[i]);
}
}
return heap;
}
```
=== "C#"
```csharp title="top_k.cs"
/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
PriorityQueue TopKHeap(int[] nums, int k) {
// 最小ヒープを初期化
PriorityQueue heap = new();
// 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
for (int i = 0; i < k; i++) {
heap.Enqueue(nums[i], nums[i]);
}
// k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
for (int i = k; i < nums.Length; i++) {
// 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
if (nums[i] > heap.Peek()) {
heap.Dequeue();
heap.Enqueue(nums[i], nums[i]);
}
}
return heap;
}
```
=== "Go"
```go title="top_k.go"
/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
func topKHeap(nums []int, k int) *minHeap {
// 最小ヒープを初期化
h := &minHeap{}
heap.Init(h)
// 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
for i := 0; i < k; i++ {
heap.Push(h, nums[i])
}
// k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
for i := k; i < len(nums); i++ {
// 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
if nums[i] > h.Top().(int) {
heap.Pop(h)
heap.Push(h, nums[i])
}
}
return h
}
```
=== "Swift"
```swift title="top_k.swift"
/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
func topKHeap(nums: [Int], k: Int) -> [Int] {
// 最小ヒープを初期化し、先頭 k 個の要素でヒープを構築する
var heap = Heap(nums.prefix(k))
// k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
for i in nums.indices.dropFirst(k) {
// 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
if nums[i] > heap.min()! {
_ = heap.removeMin()
heap.insert(nums[i])
}
}
return heap.unordered
}
```
=== "JS"
```javascript title="top_k.js"
/* 要素をヒープに追加 */
function pushMinHeap(maxHeap, val) {
// 要素を反転する
maxHeap.push(-val);
}
/* 要素をヒープから取り出す */
function popMinHeap(maxHeap) {
// 要素を反転する
return -maxHeap.pop();
}
/* ヒープ先頭要素にアクセス */
function peekMinHeap(maxHeap) {
// 要素を反転する
return -maxHeap.peek();
}
/* ヒープから要素を取り出す */
function getMinHeap(maxHeap) {
// 要素を反転する
return maxHeap.getMaxHeap().map((num) => -num);
}
/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
function topKHeap(nums, k) {
// 最小ヒープを初期化する
// 注意: ヒープ内の全要素を反転し、最大ヒープで最小ヒープをシミュレートする
const maxHeap = new MaxHeap([]);
// 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
for (let i = 0; i < k; i++) {
pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
}
// k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
for (let i = k; i < nums.length; i++) {
// 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
if (nums[i] > peekMinHeap(maxHeap)) {
popMinHeap(maxHeap);
pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
}
}
// ヒープ内の要素を返す
return getMinHeap(maxHeap);
}
```
=== "TS"
```typescript title="top_k.ts"
/* 要素をヒープに追加 */
function pushMinHeap(maxHeap: MaxHeap, val: number): void {
// 要素を反転する
maxHeap.push(-val);
}
/* 要素をヒープから取り出す */
function popMinHeap(maxHeap: MaxHeap): number {
// 要素を反転する
return -maxHeap.pop();
}
/* ヒープ先頭要素にアクセス */
function peekMinHeap(maxHeap: MaxHeap): number {
// 要素を反転する
return -maxHeap.peek();
}
/* ヒープから要素を取り出す */
function getMinHeap(maxHeap: MaxHeap): number[] {
// 要素を反転する
return maxHeap.getMaxHeap().map((num: number) => -num);
}
/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
function topKHeap(nums: number[], k: number): number[] {
// 最小ヒープを初期化する
// 注意: ヒープ内の全要素を反転し、最大ヒープで最小ヒープをシミュレートする
const maxHeap = new MaxHeap([]);
// 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
for (let i = 0; i < k; i++) {
pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
}
// k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
for (let i = k; i < nums.length; i++) {
// 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
if (nums[i] > peekMinHeap(maxHeap)) {
popMinHeap(maxHeap);
pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
}
}
// ヒープ内の要素を返す
return getMinHeap(maxHeap);
}
```
=== "Dart"
```dart title="top_k.dart"
/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
MinHeap topKHeap(List nums, int k) {
// 最小ヒープを初期化し、配列の先頭 k 個の要素をヒープに入れる
MinHeap heap = MinHeap(nums.sublist(0, k));
// k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
for (int i = k; i < nums.length; i++) {
// 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
if (nums[i] > heap.peek()) {
heap.pop();
heap.push(nums[i]);
}
}
return heap;
}
```
=== "Rust"
```rust title="top_k.rs"
/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
fn top_k_heap(nums: Vec, k: usize) -> BinaryHeap> {
// BinaryHeap は最大ヒープであり、Reverse で要素の順序を反転することで最小ヒープを実現する
let mut heap = BinaryHeap::>::new();
// 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
for &num in nums.iter().take(k) {
heap.push(Reverse(num));
}
// k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
for &num in nums.iter().skip(k) {
// 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
if num > heap.peek().unwrap().0 {
heap.pop();
heap.push(Reverse(num));
}
}
heap
}
```
=== "C"
```c title="top_k.c"
/* 要素をヒープに追加 */
void pushMinHeap(MaxHeap *maxHeap, int val) {
// 要素を反転する
push(maxHeap, -val);
}
/* 要素をヒープから取り出す */
int popMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
// 要素を反転する
return -pop(maxHeap);
}
/* ヒープ先頭要素にアクセス */
int peekMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
// 要素を反転する
return -peek(maxHeap);
}
/* ヒープから要素を取り出す */
int *getMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
// ヒープ内のすべての要素を反転して res 配列に格納
int *res = (int *)malloc(maxHeap->size * sizeof(int));
for (int i = 0; i < maxHeap->size; i++) {
res[i] = -maxHeap->data[i];
}
return res;
}
/* ヒープから要素を取り出す */
int *getMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
// ヒープ内のすべての要素を反転して res 配列に格納
int *res = (int *)malloc(maxHeap->size * sizeof(int));
for (int i = 0; i < maxHeap->size; i++) {
res[i] = -maxHeap->data[i];
}
return res;
}
// ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を求める関数
int *topKHeap(int *nums, int sizeNums, int k) {
// 最小ヒープを初期化する
// 注意: ヒープ内の全要素を反転し、最大ヒープで最小ヒープをシミュレートする
int *empty = (int *)malloc(0);
MaxHeap *maxHeap = newMaxHeap(empty, 0);
// 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
for (int i = 0; i < k; i++) {
pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
}
// k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
for (int i = k; i < sizeNums; i++) {
// 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
if (nums[i] > peekMinHeap(maxHeap)) {
popMinHeap(maxHeap);
pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
}
}
int *res = getMinHeap(maxHeap);
// メモリを解放する
delMaxHeap(maxHeap);
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="top_k.kt"
/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
fun topKHeap(nums: IntArray, k: Int): Queue {
// 最小ヒープを初期化
val heap = PriorityQueue()
// 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
for (i in 0.. heap.peek()) {
heap.poll()
heap.offer(nums[i])
}
}
return heap
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="top_k.rb"
### ヒープに基づいて配列中の最大 k 個の要素を探す ###
def top_k_heap(nums, k)
# 最小ヒープを初期化する
# 注意: ヒープ内の全要素を反転し、最大ヒープで最小ヒープをシミュレートする
max_heap = MaxHeap.new([])
# 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
for i in 0...k
push_min_heap(max_heap, nums[i])
end
# k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
for i in k...nums.length
# 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
if nums[i] > peek_min_heap(max_heap)
pop_min_heap(max_heap)
push_min_heap(max_heap, nums[i])
end
end
get_min_heap(max_heap)
end
```
??? pythontutor "コードの可視化"
合計で $n$ 回のヒープ挿入と取り出しを行い、ヒープの最大長は $k$ であるため、時間計算量は $O(n \log k)$ です。この方法は非常に効率が高く、$k$ が小さいときは時間計算量が $O(n)$ に近づき、$k$ が大きいときでも $O(n \log n)$ を超えることはありません。
さらに、この方法は動的データストリームの利用シーンにも適しています。データが継続的に追加される場合でも、ヒープ内の要素を保ち続けることで、最大の $k$ 個の要素を動的に更新できます。