# ハッシュを使った最適化

アルゴリズムの問題では、**線形探索をハッシュ探索に置き換えることで、時間計算量を減らす方法をよく使います**。一つの問題を通して理解を深めましょう。

!!! question

    整数配列 `nums` と目標要素 `target` が与えられます。配列内から和が `target` になる二つの要素を探し、それぞれのインデックスを返してください。解はいずれか一つでかまいません。

## 線形探索：時間を使って領域を節約する

すべての組み合わせを直接調べることを考えます。下図のように二重ループを使い、各反復で二つの整数の和が `target` かどうかを判定し、そうであればインデックスを返します。

![線形探索で二数の和を求める](replace_linear_by_hashing.assets/two_sum_brute_force.png)

コードは次のとおりです。

```src
[file]{two_sum}-[class]{}-[func]{two_sum_brute_force}
```

この方法の時間計算量は $O(n^2)$、空間計算量は $O(1)$ であり、データが多いと非常に時間がかかります。

## ハッシュ探索：領域を使って時間を節約する

配列の要素をキー、そのインデックスを値とするハッシュテーブルを使うことを考えます。配列をループで走査し、各反復で下図の手順を実行します。

1. 数値 `target - nums[i]` がハッシュテーブルにあるか調べ、あれば二つの要素のインデックスをそのまま返します。
2. `nums[i]` とインデックス `i` のペアをハッシュテーブルに追加します。

=== "<1>"
    ![補助ハッシュテーブルで二数の和を求める](replace_linear_by_hashing.assets/two_sum_hashtable_step1.png)

=== "<2>"
    ![ハッシュテーブルによる二数の和の探索の手順 2](replace_linear_by_hashing.assets/two_sum_hashtable_step2.png)

=== "<3>"
    ![ハッシュテーブルによる二数の和の探索の手順 3](replace_linear_by_hashing.assets/two_sum_hashtable_step3.png)

実装は次のとおりで、一重のループだけで済みます。

```src
[file]{two_sum}-[class]{}-[func]{two_sum_hash_table}
```

この方法では、ハッシュ探索によって時間計算量を $O(n^2)$ から $O(n)$ に減らし、実行効率を大きく向上させています。

追加のハッシュテーブルを維持する必要があるため、空間計算量は $O(n)$ です。**それでも、時間と空間の効率のバランスがよいため、この問題の最適な解法となります**。