hello-algo/ru/docs/chapter_graph/graph_traversal.md

Обход графа

Дерево представляет отношение "один ко многим", а граф имеет более высокую степень свободы и может выражать произвольные отношения "многие ко многим". Поэтому мы можем рассматривать дерево как частный случай графа. Очевидно, что операции обхода дерева также являются частным случаем операций обхода графа.

И графы, и деревья требуют использования поисковых алгоритмов для реализации обхода. Способы обхода графа также делятся на два типа: обход в ширину и обход в глубину.

Обход в ширину

Обход в ширину - это способ обхода "от близкого к далекому": начиная с некоторого узла, мы всегда в первую очередь посещаем ближайшие вершины и слой за слоем расширяемся наружу. Как показано на рисунке ниже, начиная с вершины в левом верхнем углу, мы сначала обходим все смежные вершины этой вершины, затем все смежные вершины следующей вершины и так далее, пока не будут посещены все вершины.

Реализация алгоритма

BFS обычно реализуется с помощью очереди, код приведен ниже. Очередь обладает свойством "первым пришел - первым вышел", что хорошо соответствует идее BFS "от близкого к далекому".

1. Поместить стартовую вершину обхода startVet в очередь и запустить цикл.
2. На каждой итерации цикла извлекать вершину из головы очереди и записывать факт ее посещения, после чего добавлять все смежные вершины этой вершины в хвост очереди.
3. Повторять шаг 2. до тех пор, пока не будут посещены все вершины.

Чтобы предотвратить повторный обход вершин, нам нужен хеш-набор visited , в котором будет записываться, какие узлы уже посещены.

!!! tip

Хеш-набор можно рассматривать как хеш-таблицу, которая хранит только `key` и не хранит `value` . Он позволяет выполнять добавление, удаление, поиск и изменение `key` за $O(1)$ времени. Благодаря уникальности `key` хеш-набор обычно используется, например, для устранения повторов.

[file]{graph_bfs}-[class]{}-[func]{graph_bfs}

Код сравнительно абстрактен, поэтому рекомендуется сверяться с рисунками ниже для лучшего понимания.

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

!!! question "Является ли последовательность обхода в ширину единственной?"

Нет. Обход в ширину требует только соблюдения порядка "от близкого к далекому", **а порядок обхода нескольких вершин на одинаковом расстоянии может произвольно меняться**. Например, на рисунке выше можно поменять местами порядок посещения вершин $1$ и $3$ , а также в произвольном порядке переставить вершины $2$, $4$, $6$ .

Анализ сложности

Временная сложность: все вершины по одному разу помещаются в очередь и извлекаются из нее, что требует O(|V|) времени; при обходе смежных вершин, поскольку граф неориентированный, все ребра будут посещены по 2 раза, что требует O(2|E|) времени; в сумме получается O(|V| + |E|) .

Пространственная сложность: список res , хеш-набор visited и очередь que в худшем случае могут содержать до |V| вершин, поэтому требуется O(|V|) памяти.

Обход в глубину

Обход в глубину - это способ обхода, при котором сначала идут до самого конца, а когда дальше идти нельзя, откатываются назад. Как показано на рисунке ниже, начиная с вершины в левом верхнем углу, мы выбираем некоторую смежную вершину текущей вершины, идем до упора, затем возвращаемся назад, снова идем до упора и так далее, пока не будут посещены все вершины.

Реализация алгоритма

Такой алгоритмический шаблон "дойти до конца и вернуться" обычно реализуется через рекурсию. Подобно обходу в ширину, в обходе в глубину мы также используем хеш-набор visited для записи уже посещенных вершин и тем самым избегаем повторного посещения.

[file]{graph_dfs}-[class]{}-[func]{graph_dfs}

Алгоритмический процесс обхода в глубину показан на рисунках ниже.

• Прямая пунктирная линия обозначает нисходящее рекурсивное развертывание , то есть запуск нового рекурсивного метода для посещения новой вершины.
• Изогнутая пунктирная линия обозначает обратный возврат по рекурсии , то есть данный рекурсивный метод завершился и управление вернулось туда, откуда он был вызван.

Чтобы лучше понять алгоритм, рекомендуется совместить рисунки ниже с кодом и мысленно проследить весь процесс DFS, включая моменты запуска и возврата каждого рекурсивного вызова.

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

!!! question "Является ли последовательность обхода в глубину единственной?"

Как и в случае обхода в ширину, последовательность DFS тоже не является единственной. Для заданной вершины допустимо сначала углубиться в любое направление, то есть порядок смежных вершин может быть произвольным, и все такие варианты будут корректными обходами в глубину.

Если взять в качестве примера обход дерева, то варианты "корень $\rightarrow$ лево $\rightarrow$ право", "лево $\rightarrow$ корень $\rightarrow$ право" и "лево $\rightarrow$ право $\rightarrow$ корень" соответствуют прямому, симметричному и обратному обходам соответственно. Они показывают три разных приоритета обхода, но все они относятся к обходу в глубину.

Анализ сложности

Временная сложность: все вершины будут посещены по 1 разу, что требует O(|V|) времени; все ребра будут посещены по 2 раза, что требует O(2|E|) времени; суммарно получается O(|V| + |E|) .

Пространственная сложность: число вершин в списке res и хеш-наборе visited в худшем случае достигает |V| , максимальная глубина рекурсии тоже равна |V| , поэтому требуется O(|V|) памяти.