hello-algo/ru/docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md

Обход двоичного дерева

С точки зрения физической структуры дерево представляет собой разновидность структуры данных на основе связей, поэтому его обход выполняется через последовательный доступ к узлам по указателям. Однако дерево является нелинейной структурой данных, а значит, его обход сложнее, чем обход связного списка, и для него требуется использовать поисковые алгоритмы.

К распространенным способам обхода двоичного дерева относятся обход по уровням, прямой обход, симметричный обход и обратный обход.

Обход по уровням

Как показано на рисунке ниже, обход по уровням (level-order traversal) проходит двоичное дерево сверху вниз по уровням и на каждом уровне посещает узлы слева направо.

По своей сути обход по уровням относится к обходу в ширину (breadth-first traversal), также называемому поиском в ширину (breadth-first search, BFS); он отражает идею "расширяться слой за слоем наружу".

Код реализации

Обход в ширину обычно реализуется с помощью "очереди". Очередь подчиняется правилу "первым пришел - первым вышел", а обход в ширину подчиняется правилу "продвигаться по уровням", поэтому стоящая за ними идея согласована. Код реализации приведен ниже:

[file]{binary_tree_bfs}-[class]{}-[func]{level_order}

Анализ сложности

• Временная сложность равна $O(n)$ : все узлы посещаются по одному разу, поэтому требуется O(n) времени, где n - число узлов.
• Пространственная сложность равна $O(n)$ : в худшем случае, то есть для полной двоичной деревообразной структуры, до достижения самого нижнего уровня в очереди одновременно может находиться до (n + 1) / 2 узлов, что требует O(n) памяти.

Прямой, симметричный и обратный обходы

Соответственно, прямой, симметричный и обратный обходы относятся к обходу в глубину (depth-first traversal), также называемому поиском в глубину (depth-first search, DFS); он отражает идею "сначала идти до конца, затем откатываться и продолжать".

На рисунке ниже показан принцип работы обхода двоичного дерева в глубину. Обход в глубину похож на то, как будто мы обходим всю двоичную структуру по внешнему контуру , и у каждого узла встречаем три позиции, соответствующие прямому, симметричному и обратному обходам.

Код реализации

Поиск в глубину обычно реализуется через рекурсию:

[file]{binary_tree_dfs}-[class]{}-[func]{post_order}

!!! tip

Поиск в глубину можно реализовать и итеративно; заинтересованные читатели могут изучить это самостоятельно.

На рисунках ниже показан рекурсивный процесс прямого обхода двоичного дерева. Его можно разделить на две противоположные части: "вход в рекурсию" и "возврат".

1. "Вход в рекурсию" означает запуск нового вызова функции; в этом процессе программа переходит к следующему узлу.
2. "Возврат" означает завершение вызова функции и возврат назад, то есть текущий узел уже полностью обработан.

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

Анализ сложности

• Временная сложность равна $O(n)$ : все узлы посещаются по одному разу, поэтому требуется O(n) времени.
• Пространственная сложность равна $O(n)$ : в худшем случае, когда дерево вырождается в связный список, глубина рекурсии достигает n , и система тратит O(n) памяти на стек вызовов.