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二分探索の境界
左端境界を探す
!!! question
長さ $n$ のソート済み配列 `nums` が与えられ、その中には重複要素が含まれる可能性があります。配列内で最も左にある要素 `target` のインデックスを返してください。配列にこの要素が含まれない場合は、$-1$ を返します。
二分探索で挿入位置を求める方法を思い出すと、探索完了後に i は最も左にある target を指します。したがって、挿入位置を探すことの本質は、最も左にある target のインデックスを探すことです。
挿入位置を探す関数を使って左端境界を求めることを考えます。なお、配列に target が含まれない場合があり、そのときは次の 2 つの結果が起こりえます。
- 挿入位置のインデックス
iが範囲外になる。 - 要素
nums[i]がtargetと等しくない。
上の 2 つの状況に当てはまる場合は、直接 -1 を返せば十分です。コードは以下のとおりです：
[file]{binary_search_edge}-[class]{}-[func]{binary_search_left_edge}
右端境界を探す
では、最も右にある target はどのように探せるでしょうか。最も直接的な方法はコードを修正し、nums[m] == target の場合のポインタの縮小操作を置き換えることです。ここではコードを省略するので、興味があれば自分で実装してみてください。
ここでは、より巧妙な 2 つの方法を紹介します。
左端境界探索を再利用する
実際には、最も左の要素を探す関数を利用して最も右の要素を探せます。具体的には、最も右にある target を探すことを、最も左にある target + 1 を探すことに変換します。
下図のように、探索完了後、ポインタ i は最も左にある target + 1（存在する場合）を指し、j は最も右にある target を指します。したがって j を返せばよいです。
返される挿入位置は i なので、そこから 1 を引いて j を得る必要があることに注意してください：
[file]{binary_search_edge}-[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}
要素探索に変換する
配列に target が含まれない場合、最終的に i と j はそれぞれ target より大きい最初の要素と、target より小さい最初の要素を指すことになります。
したがって、下図のように、配列中に存在しない要素を構成して、それを使って左右の境界を探せます。
- 最も左にある
targetの探索：target - 0.5を探すことに変換でき、ポインタiを返します。 - 最も右にある
targetの探索：target + 0.5を探すことに変換でき、ポインタjを返します。
ここではコードを省略しますが、次の 2 点に注意が必要です。
- 与えられた配列には小数が含まれないため、等しい場合をどう処理するかを気にする必要はありません。
- この方法では小数を導入するため、関数内の変数
targetを浮動小数点数型に変更する必要があります（Python は変更不要です）。