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最大容量問題
!!! question
配列 $ht$ が与えられ、各要素は垂直な仕切り板の高さを表します。配列内の任意の 2 枚の仕切り板と、その間の空間で容器を構成できます。
容器の容量は高さと幅の積（面積）に等しく、高さは短い方の仕切り板で決まり、幅は 2 枚の仕切り板の配列インデックスの差です。
配列から 2 枚の仕切り板を選び、構成される容器の容量が最大となるようにしてください。最大容量を返します。例を以下の図に示します。
容器は任意の 2 枚の仕切り板で囲まれるため、本問の状態は 2 枚の仕切り板のインデックスで表され、[i, j] と記します。
問題の条件より、容量は高さと幅の積に等しく、高さは短い板で決まり、幅は 2 枚の仕切り板の配列インデックスの差です。容量を cap[i, j] とすると、計算式は次のようになります。
cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
配列の長さを n とすると、2 枚の仕切り板の組合せ数（状態総数）は C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2} 個です。最も直接的には、すべての状態を総当たりできます。これにより最大容量を求められ、時間計算量は O(n^2) です。
貪欲戦略の決定
この問題にはさらに効率的な解法があります。以下の図のように、状態 [i, j] を 1 つ選び、インデックスが i < j かつ高さが ht[i] < ht[j] を満たすとします。つまり、i が短い板、j が長い板です。
以下の図のように、このとき長い板 j を短い板 i に近づけると、容量は必ず小さくなります。
これは、長い板 j を動かした後は幅 j-i が必ず小さくなるためです。また、高さは短い板で決まるので、高さは変わらない（ i が依然として短い板）か、小さくなる（移動後の j が短い板になる）ことしかありません。
逆に考えると、短い板 i を内側へ縮めた場合にのみ、容量が大きくなる可能性があります。幅は必ず小さくなりますが、高さは大きくなる可能性があるからです（移動後の短い板 i がより長くなる可能性があります）。たとえば次の図では、短い板を動かした後に面積が大きくなっています。
以上から、本問の貪欲戦略を導けます。2 本のポインタを初期化して容器の両端に置き、各ラウンドで短い板に対応するポインタを内側へ縮め、2 本のポインタが出会うまで続けます。
以下の図は、貪欲戦略の実行過程を示しています。
- 初期状態では、ポインタ
iとjは配列の両端にあります。 - 現在の状態の容量
cap[i, j]を計算し、最大容量を更新します。 - 板
iと板jの高さを比較し、短い板を内側へ 1 マス移動します。 2.と3.を繰り返し実行し、iとjが出会ったら終了します。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
=== "<8>"
=== "<9>"
コード実装
コードのループ回数は最大でも n 回であるため、時間計算量は $O(n)$ です。
変数 $i$、$j$、res が使う追加領域は定数サイズなので、空間計算量は $O(1)$ です。
[file]{max_capacity}-[class]{}-[func]{max_capacity}
正しさの証明
貪欲法が総当たりより速いのは、各ラウンドの貪欲な選択がいくつかの状態を「スキップ」するためです。
たとえば状態 cap[i, j] において、i が短い板、j が長い板だとします。貪欲に短い板 i を内側へ 1 マス動かすと、次の図に示す状態が「スキップ」されます。これは、その後それらの状態の容量を検証できないことを意味します。
cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]
観察すると、これらのスキップされた状態は、実際には長い板 j を内側へ動かしたすべての状態そのものです。前述のとおり、長い板を内側へ動かすと容量は必ず小さくなります。つまり、スキップされた状態はいずれも最適解にはなりえず、それらを飛ばしても最適解を逃すことはありません。
以上の分析から、短い板を動かす操作は「安全」であり、貪欲戦略は有効であると分かります。