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二分探索
二分探索（binary search）は分割統治法に基づく効率的な探索アルゴリズムです。データが整列済みである性質を利用し、各ラウンドで探索範囲を半分に縮小し、目標要素を見つけるか探索区間が空になるまで続けます。
!!! question
長さ $n$ の配列 `nums` が与えられます。要素は小さい順に並んでおり、重複しません。要素 `target` がこの配列内にある場合はそのインデックスを返し、含まれない場合は $-1$ を返してください。例を次の図に示します。
次の図に示すように、まずポインタ i = 0 と j = n - 1 を初期化し、それぞれ配列の先頭要素と末尾要素を指すようにして、探索区間 [0, n - 1] を表します。角括弧は閉区間を表し、境界値自体を含むことに注意してください。
次に、以下の 2 つの手順を繰り返します。
- 中央のインデックス
m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloorを計算します。ここで\lfloor \: \rfloorは切り捨てを表します。 nums[m]とtargetの大小関係を判定し、次の 3 つの場合に分かれます。nums[m] < targetのとき、targetは区間[m + 1, j]にあるため、i = m + 1を実行します。nums[m] > targetのとき、targetは区間[i, m - 1]にあるため、j = m - 1を実行します。nums[m] = targetのとき、targetが見つかったので、インデックスmを返します。
配列に目標要素が含まれない場合、探索区間は最終的に空まで縮小されます。このとき -1 を返します。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
注意すべき点として、i と j はどちらも int 型であるため、i + j が int 型の範囲を超える可能性があります。大きな数によるオーバーフローを避けるため、通常は式 m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor を用いて中点を計算します。
コードは次のとおりです。
[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search}
時間計算量は $O(\log n)$ ：二分探索のループでは各ラウンドで区間が半分になるため、ループ回数は \log_2 n です。
空間計算量は $O(1)$ ：ポインタ i と j に必要なのは定数サイズの空間だけです。
区間の表し方
上記の両閉区間のほかに、一般的な区間表現として「左閉右開」区間があり、[0, n) と定義されます。つまり左端は含み、右端は含みません。この表現では、区間 [i, j) は i = j のとき空です。
この表現に基づいて、同じ機能を持つ二分探索アルゴリズムを実装できます。
[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search_lcro}
次の図に示すように、2 種類の区間表現では、二分探索アルゴリズムの初期化、ループ条件、区間の縮小操作がそれぞれ異なります。
「両閉区間」の表現では左右の境界がどちらも閉区間として定義されるため、ポインタ i とポインタ j による区間縮小の操作も対称になります。このほうがミスをしにくいため、一般には「両閉区間」の書き方を推奨します。
利点と限界
二分探索は時間と空間の両面で優れた性能を持ちます。
- 二分探索は時間効率が高いです。データ量が大きい場合、対数時間計算量は大きな優位性を持ちます。たとえば、データサイズ
n = 2^{20}のとき、線形探索では2^{20} = 1048576回のループが必要ですが、二分探索では\log_2 2^{20} = 20回で済みます。 - 二分探索は追加の空間を必要としません。追加領域を要する探索アルゴリズム（たとえばハッシュ探索）と比べて、二分探索はより省メモリです。
しかし、二分探索があらゆる状況に適しているわけではなく、主な理由は次のとおりです。
- 二分探索は整列済みデータにしか適用できません。入力データが無秩序な場合、二分探索を使うためだけにソートするのは割に合いません。ソートアルゴリズムの時間計算量は通常
O(n \log n)であり、線形探索や二分探索よりも高いからです。要素を頻繁に挿入する場面では、配列の整列性を保つために特定位置へ挿入する必要があり、その時間計算量はO(n)と高コストです。 - 二分探索は配列にしか適していません。二分探索では要素へ飛び飛びにアクセスする必要がありますが、連結リストでそのようなアクセスを行う効率は低いため、連結リストやそれを基に実装されたデータ構造には向きません。
- データ量が小さい場合は線形探索のほうが高性能です。線形探索では各ラウンドで 1 回の比較だけで済みますが、二分探索では 1 回の加算、1 回の除算、1 ~ 3 回の比較、1 回の加算（減算）が必要で、合計 4 ~ 6 個の基本操作になります。したがって、データ量
nが小さいときは、線形探索のほうがかえって速くなります。