hello-algo/ja/docs/chapter_searching/binary_search_insertion.md

二分探索の挿入位置

二分探索は目標要素の検索だけでなく、目標要素の挿入位置を探すなど、多くの派生問題の解決にも利用できます。

重複要素がない場合

!!! question

長さ $n$ の整列済み配列 `nums` と要素 `target` が与えられます。配列には重複要素は存在しません。ここで `target` を配列 `nums` に挿入し、その順序を保ちます。配列中にすでに要素 `target` が存在する場合は、その左側に挿入します。挿入後の配列における `target` のインデックスを返してください。例を以下の図に示します。

前節の二分探索コードを再利用したい場合は、次の二つの問題に答える必要があります。

問題 1：配列に target が含まれる場合、挿入位置のインデックスはその要素のインデックスですか？

問題では target を等しい要素の左側に挿入するよう求めているため、新しく挿入された target は元の target の位置に入ります。つまり、配列に target が含まれる場合、挿入位置のインデックスはその target のインデックスです。

問題 2：配列に target が存在しない場合、挿入位置はどの要素のインデックスですか？

二分探索の過程をさらに考えると、nums[m] < target のときは i が移動します。これは、ポインタ i が target 以上の要素へ近づいていることを意味します。同様に、ポインタ j は常に target 以下の要素へ近づいています。

したがって二分探索の終了時には、i は最初の target より大きい要素を指し、j は最初の target より小さい要素を指します。よって、配列に target が含まれない場合、挿入インデックスは i です。コードは次のとおりです：

[file]{binary_search_insertion}-[class]{}-[func]{binary_search_insertion_simple}

重複要素がある場合

!!! question

前問を踏まえ、配列には重複要素が含まれる可能性があるものとし、それ以外の条件は変わりません。

配列中に複数の target が存在する場合、通常の二分探索ではそのうち一つの target のインデックスしか返せず、その要素の左側と右側にあといくつ target があるかは分かりません。

問題では目標要素を最も左に挿入する必要があるため、配列中で最も左にある target のインデックスを探す必要があります。まずは以下の図に示す手順で実現することを考えます。

1. 二分探索を実行し、任意の target のインデックスを得て、これを k とします。
2. インデックス k から始めて左へ線形探索し、最も左の target を見つけたら返します。

この方法は使用できますが、線形探索を含むため、時間計算量は O(n) です。配列中に重複した target が多い場合、この方法の効率は低くなります。

次に、二分探索のコードを拡張することを考えます。以下の図に示すように、全体の流れは変えず、各反復でまず中点インデックス m を計算し、その後 target と nums[m] の大小関係を判定して、次のいくつかの状況に分けます。

• nums[m] < target または nums[m] > target のときは、まだ target を見つけていないことを意味するため、通常の二分探索と同じ区間縮小を行い、ポインタ i と j を target に近づけます。
• nums[m] == target のときは、target より小さい要素が区間 [i, m - 1] にあることを意味するため、j = m - 1 として区間を縮小し、ポインタ j を target より小さい要素に近づけます。

ループ終了後、i は最も左の target を指し、j は最初の target より小さい要素を指すため、インデックス i が挿入位置です。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

以下のコードを観察すると、分岐 nums[m] > target と nums[m] == target の処理は同じであるため、両者はまとめることができます。

それでも、判定条件を分けたままにしておくことは可能であり、そのほうがロジックがより明確で、可読性も高くなります。

[file]{binary_search_insertion}-[class]{}-[func]{binary_search_insertion}

!!! tip

本節のコードはすべて「両閉区間」の書き方です。興味のある読者は「左閉右開」の書き方を自分で実装してみてください。

要するに、二分探索とはポインタ i と j にそれぞれ探索目標を設定することにほかなりません。目標は具体的な要素（たとえば target）である場合もあれば、要素の範囲（たとえば target より小さい要素）である場合もあります。

繰り返される二分のループの中で、ポインタ i と j はどちらも事前に定めた目標へ徐々に近づいていきます。最終的に、それらは答えを見つけるか、境界を越えたところで停止します。