hello-algo/ru/docs/chapter_searching/binary_search_edge.md

Двоичный поиск границ

Поиск левой границы

!!! question

Дан упорядоченный массив `nums` длины $n$, который может содержать повторяющиеся элементы. Верните индекс самого левого элемента `target` в массиве. Если массив не содержит этот элемент, верните $-1$ .

Вспомним метод поиска точки вставки при двоичном поиске: после завершения поиска указатель i указывает на самый левый target , поэтому поиск точки вставки по сути является поиском индекса самого левого target.

Рассмотрим реализацию поиска левой границы через функцию поиска точки вставки. Обратите внимание: массив может не содержать target , и тогда возможны две ситуации.

• Индекс точки вставки i выходит за границы массива.
• Элемент nums[i] не равен target .

Если возникает любая из этих ситуаций, достаточно сразу вернуть -1 . Код приведен ниже:

[file]{binary_search_edge}-[class]{}-[func]{binary_search_left_edge}

Поиск правой границы

Как тогда найти самый правый target ? Самый прямой способ - изменить код, заменив операцию сужения указателя в случае nums[m] == target . Мы не будем приводить этот код, заинтересованные читатели могут реализовать его самостоятельно.

Ниже представлены два более изящных способа.

Повторное использование поиска левой границы

На самом деле функцию поиска самого левого элемента можно использовать и для поиска самого правого элемента. Конкретная идея такова: преобразовать поиск самого правого target в поиск самого левого target + 1.

Как показано на рисунке ниже, после завершения поиска указатель i указывает на самый левый target + 1 (если он существует), а указатель j указывает на самый правый target , поэтому достаточно вернуть $j$.

Обратите внимание: функция возвращает точку вставки i , поэтому из нее нужно вычесть 1 , чтобы получить j :

[file]{binary_search_edge}-[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}

Преобразование в поиск элемента

Мы знаем, что если массив не содержит target , то в конце поиска указатели i и j будут указывать соответственно на первый элемент, больший target , и на первый элемент, меньший target .

Следовательно, как показано на рисунке ниже, для поиска левой и правой границы можно сконструировать элемент, которого нет в массиве.

• Поиск самого левого target : можно преобразовать в поиск target - 0.5 и вернуть указатель i .
• Поиск самого правого target : можно преобразовать в поиск target + 0.5 и вернуть указатель j .

Код здесь опущен, но стоит обратить внимание на два момента.

• По условию массив не содержит дробных чисел, поэтому нам не нужно беспокоиться о том, как обрабатывать случай равенства другим элементам массива.
• Поскольку этот метод вводит дробные числа, переменную target в функции нужно изменить на тип с плавающей запятой (в Python менять ничего не требуется).