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二分木

二分木（binary tree）は非線形データ構造の一種であり、「祖先」と「子孫」の派生関係を表し、「一つを二つに分ける」分割統治の考え方を体現しています。連結リストと同様に、二分木の基本単位はノードであり、各ノードは値、左子ノードへの参照、右子ノードへの参照を含みます。

=== "Python"

```python title=""
class TreeNode:
    """二分木ノードクラス"""
    def __init__(self, val: int):
        self.val: int = val                # ノード値
        self.left: TreeNode | None = None  # 左子ノード参照
        self.right: TreeNode | None = None # 右子ノード参照
```

=== "C++"

```cpp title=""
/* 二分木ノード構造体 */
struct TreeNode {
    int val;          // ノード値
    TreeNode *left;   // 左子ノードポインタ
    TreeNode *right;  // 右子ノードポインタ
    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
```

=== "Java"

```java title=""
/* 二分木ノードクラス */
class TreeNode {
    int val;         // ノード値
    TreeNode left;   // 左子ノード参照
    TreeNode right;  // 右子ノード参照
    TreeNode(int x) { val = x; }
}
```

=== "C#"

```csharp title=""
/* 二分木ノードクラス */
class TreeNode(int? x) {
    public int? val = x;    // ノード値
    public TreeNode? left;  // 左子ノード参照
    public TreeNode? right; // 右子ノード参照
}
```

=== "Go"

```go title=""
/* 二分木ノード構造体 */
type TreeNode struct {
    Val   int
    Left  *TreeNode
    Right *TreeNode
}
/* コンストラクタ */
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
    return &TreeNode{
        Left:  nil, // 左子ノードポインタ
        Right: nil, // 右子ノードポインタ
        Val:   v,   // ノード値
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
/* 二分木ノードクラス */
class TreeNode {
    var val: Int // ノード値
    var left: TreeNode? // 左子ノード参照
    var right: TreeNode? // 右子ノード参照

    init(x: Int) {
        val = x
    }
}
```

=== "JS"

```javascript title=""
/* 二分木ノードクラス */
class TreeNode {
    val; // ノード値
    left; // 左子ノードポインタ
    right; // 右子ノードポインタ
    constructor(val, left, right) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val;
        this.left = left === undefined ? null : left;
        this.right = right === undefined ? null : right;
    }
}
```

=== "TS"

```typescript title=""
/* 二分木ノードクラス */
class TreeNode {
    val: number;
    left: TreeNode | null;
    right: TreeNode | null;

    constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // ノード値
        this.left = left === undefined ? null : left; // 左子ノード参照
        this.right = right === undefined ? null : right; // 右子ノード参照
    }
}
```

=== "Dart"

```dart title=""
/* 二分木ノードクラス */
class TreeNode {
  int val;         // ノード値
  TreeNode? left;  // 左子ノード参照
  TreeNode? right; // 右子ノード参照
  TreeNode(this.val, [this.left, this.right]);
}
```

=== "Rust"

```rust title=""
use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;

/* 二分木ノード構造体 */
struct TreeNode {
    val: i32,                               // ノード値
    left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,    // 左子ノード参照
    right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,   // 右子ノード参照
}

impl TreeNode {
    /* コンストラクタ */
    fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
        Rc::new(RefCell::new(Self {
            val,
            left: None,
            right: None
        }))
    }
}
```

=== "C"

```c title=""
/* 二分木ノード構造体 */
typedef struct TreeNode {
    int val;                // ノード値
    int height;             // ノードの高さ
    struct TreeNode *left;  // 左子ノードポインタ
    struct TreeNode *right; // 右子ノードポインタ
} TreeNode;

/* コンストラクタ */
TreeNode *newTreeNode(int val) {
    TreeNode *node;

    node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
    node->val = val;
    node->height = 0;
    node->left = NULL;
    node->right = NULL;
    return node;
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title=""
/* 二分木ノードクラス */
class TreeNode(val _val: Int) {  // ノード値
    val left: TreeNode? = null   // 左子ノード参照
    val right: TreeNode? = null  // 右子ノード参照
}
```

=== "Ruby"

```ruby title=""
### 二分木ノードクラス ###
class TreeNode
  attr_accessor :val    # ノード値
  attr_accessor :left   # 左子ノード参照
  attr_accessor :right  # 右子ノード参照

  def initialize(val)
    @val = val
  end
end
```

各ノードは 2 つの参照（ポインタ）を持ち、それぞれ左子ノード（left-child node）と右子ノード（right-child node）を指します。このノードはこれら 2 つの子ノードの親ノード（parent node）と呼ばれます。二分木のあるノードが与えられたとき、そのノードの左子ノードとその配下のノードからなる木をそのノードの左部分木（left subtree）と呼び、同様に右部分木（right subtree）が定義されます。

二分木では、葉ノードを除くすべてのノードが子ノードと空でない部分木を持ちます。以下の図に示すように、「ノード 2」を親ノードとみなすと、その左子ノードと右子ノードはそれぞれ「ノード 4」と「ノード 5」であり、左部分木は「ノード 4 とその配下のノードからなる木」、右部分木は「ノード 5 とその配下のノードからなる木」です。

二分木のよく使われる用語

二分木でよく使われる用語を以下の図に示します。

根ノード（root node）：二分木の最上位にあるノードで、親ノードを持ちません。
葉ノード（leaf node）：子ノードを持たないノードで、2 本のポインタはいずれも None を指します。
辺（edge）：2 つのノードを結ぶ線分、すなわちノード参照（ポインタ）です。
ノードが属するレベル（level）：上から下へ向かって増加し、根ノードのレベルは 1 です。
ノードの次数（degree）：ノードの子ノードの数。二分木では次数の取り得る値は 0、1、2 です。
二分木の高さ（height）：根ノードから最も遠い葉ノードまでに通る辺の数。
ノードの深さ（depth）：根ノードからそのノードまでに通る辺の数。
ノードの高さ（height）：そのノードから最も遠い葉ノードまでに通る辺の数。

!!! tip

なお、通常「高さ」と「深さ」は「通過した辺の数」と定義しますが、問題や教材によっては「通過したノードの数」と定義する場合もあります。その場合、高さと深さはいずれも 1 を加える必要があります。

二分木の基本操作

二分木を初期化する

連結リストと同様に、まずノードを初期化し、その後で参照（ポインタ）を構築します。

=== "Python"

```python title="binary_tree.py"
# 二分木を初期化する
# ノードを初期化する
n1 = TreeNode(val=1)
n2 = TreeNode(val=2)
n3 = TreeNode(val=3)
n4 = TreeNode(val=4)
n5 = TreeNode(val=5)
# ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```

=== "C++"

```cpp title="binary_tree.cpp"
/* 二分木を初期化する */
// ノードを初期化する
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
// ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
```

=== "Java"

```java title="binary_tree.java"
// ノードを初期化する
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```

=== "C#"

```csharp title="binary_tree.cs"
/* 二分木を初期化する */
// ノードを初期化する
TreeNode n1 = new(1);
TreeNode n2 = new(2);
TreeNode n3 = new(3);
TreeNode n4 = new(4);
TreeNode n5 = new(5);
// ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```

=== "Go"

```go title="binary_tree.go"
/* 二分木を初期化する */
// ノードを初期化する
n1 := NewTreeNode(1)
n2 := NewTreeNode(2)
n3 := NewTreeNode(3)
n4 := NewTreeNode(4)
n5 := NewTreeNode(5)
// ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1.Left = n2
n1.Right = n3
n2.Left = n4
n2.Right = n5
```

=== "Swift"

```swift title="binary_tree.swift"
// ノードを初期化する
let n1 = TreeNode(x: 1)
let n2 = TreeNode(x: 2)
let n3 = TreeNode(x: 3)
let n4 = TreeNode(x: 4)
let n5 = TreeNode(x: 5)
// ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```

=== "JS"

```javascript title="binary_tree.js"
/* 二分木を初期化する */
// ノードを初期化する
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```

=== "TS"

```typescript title="binary_tree.ts"
/* 二分木を初期化する */
// ノードを初期化する
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```

=== "Dart"

```dart title="binary_tree.dart"
/* 二分木を初期化する */
// ノードを初期化する
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```

=== "Rust"

```rust title="binary_tree.rs"
// ノードを初期化する
let n1 = TreeNode::new(1);
let n2 = TreeNode::new(2);
let n3 = TreeNode::new(3);
let n4 = TreeNode::new(4);
let n5 = TreeNode::new(5);
// ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
n1.borrow_mut().right = Some(n3);
n2.borrow_mut().left = Some(n4);
n2.borrow_mut().right = Some(n5);
```

=== "C"

```c title="binary_tree.c"
/* 二分木を初期化する */
// ノードを初期化する
TreeNode *n1 = newTreeNode(1);
TreeNode *n2 = newTreeNode(2);
TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
// ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="binary_tree.kt"
// ノードを初期化する
val n1 = TreeNode(1)
val n2 = TreeNode(2)
val n3 = TreeNode(3)
val n4 = TreeNode(4)
val n5 = TreeNode(5)
// ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```

=== "Ruby"

```ruby title="binary_tree.rb"
# 二分木を初期化する
# ノードを初期化する
n1 = TreeNode.new(1)
n2 = TreeNode.new(2)
n3 = TreeNode.new(3)
n4 = TreeNode.new(4)
n5 = TreeNode.new(5)
# ノード間の参照（ポインタ）を構築する
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```

??? pythontutor "実行の可視化"

https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false

ノードの挿入と削除

連結リストと同様に、二分木でのノードの挿入と削除はポインタを変更することで実現できます。以下の図に 1 つの例を示します。

=== "Python"

```python title="binary_tree.py"
# ノードの挿入と削除
p = TreeNode(0)
# n1 -> n2 の間にノード P を挿入する
n1.left = p
p.left = n2
# ノード P を削除する
n1.left = n2
```

=== "C++"

```cpp title="binary_tree.cpp"
/* ノードの挿入と削除 */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入する
n1->left = P;
P->left = n2;
// ノード P を削除する
n1->left = n2;
// メモリを解放する
delete P;
```

=== "Java"

```java title="binary_tree.java"
TreeNode P = new TreeNode(0);
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入する
n1.left = P;
P.left = n2;
// ノード P を削除する
n1.left = n2;
```

=== "C#"

```csharp title="binary_tree.cs"
/* ノードの挿入と削除 */
TreeNode P = new(0);
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入する
n1.left = P;
P.left = n2;
// ノード P を削除する
n1.left = n2;
```

=== "Go"

```go title="binary_tree.go"
/* ノードの挿入と削除 */
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入する
p := NewTreeNode(0)
n1.Left = p
p.Left = n2
// ノード P を削除する
n1.Left = n2
```

=== "Swift"

```swift title="binary_tree.swift"
let P = TreeNode(x: 0)
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入する
n1.left = P
P.left = n2
// ノード P を削除する
n1.left = n2
```

=== "JS"

```javascript title="binary_tree.js"
/* ノードの挿入と削除 */
let P = new TreeNode(0);
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入する
n1.left = P;
P.left = n2;
// ノード P を削除する
n1.left = n2;
```

=== "TS"

```typescript title="binary_tree.ts"
/* ノードの挿入と削除 */
const P = new TreeNode(0);
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入する
n1.left = P;
P.left = n2;
// ノード P を削除する
n1.left = n2;
```

=== "Dart"

```dart title="binary_tree.dart"
/* ノードの挿入と削除 */
TreeNode P = new TreeNode(0);
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入する
n1.left = P;
P.left = n2;
// ノード P を削除する
n1.left = n2;
```

=== "Rust"

```rust title="binary_tree.rs"
let p = TreeNode::new(0);
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入する
n1.borrow_mut().left = Some(p.clone());
p.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
// ノード p を削除する
n1.borrow_mut().left = Some(n2);
```

=== "C"

```c title="binary_tree.c"
/* ノードの挿入と削除 */
TreeNode *P = newTreeNode(0);
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入する
n1->left = P;
P->left = n2;
// ノード P を削除する
n1->left = n2;
// メモリを解放する
free(P);
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="binary_tree.kt"
val P = TreeNode(0)
// n1 -> n2 の間にノード P を挿入する
n1.left = P
P.left = n2
// ノード P を削除する
n1.left = n2
```

=== "Ruby"

```ruby title="binary_tree.rb"
# ノードの挿入と削除
_p = TreeNode.new(0)
# n1 -> n2 の間にノード _p を挿入する
n1.left = _p
_p.left = n2
# ノードを削除する
n1.left = n2
```

??? pythontutor "実行の可視化"

https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%B8%8E%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20p%20%3D%20TreeNode%280%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%20n1%20-%3E%20n2%20%E4%B8%AD%E9%97%B4%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20p%0A%20%20%20%20p.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2&cumulative=false&curInstr=37&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false

!!! tip

注意すべき点として、ノードの挿入は二分木の元の論理構造を変える可能性があり、ノードの削除は通常、そのノードと配下のすべての部分木の削除を意味します。そのため、二分木における挿入と削除は、実際に意味のある操作を実現するために、通常は一連の操作を組み合わせて行います。

一般的な二分木の種類

充足二分木

以下の図に示すように、充足二分木（perfect binary tree）ではすべてのレベルのノードが完全に埋まっています。充足二分木では、葉ノードの次数は 0 で、それ以外のすべてのノードの次数は 2 です。木の高さを h とすると、ノード総数は 2^{h+1} - 1 となり、標準的な指数関係を示して、自然界でよく見られる細胞分裂の現象を反映しています。

!!! tip

なお、中国語圏では充足二分木は<u>満二分木</u>と呼ばれることもあります。

完全二分木

以下の図に示すように、完全二分木（complete binary tree）では最下層のノードだけが完全に埋まっていなくてもよく、しかも最下層のノードは左から右へ連続して詰められていなければなりません。なお、充足二分木も完全二分木の一種です。

充満二分木

以下の図に示すように、充満二分木（full binary tree）では、葉ノードを除くすべてのノードが 2 つの子ノードを持ちます。

平衡二分木

以下の図に示すように、平衡二分木（balanced binary tree）では、任意のノードについて左部分木と右部分木の高さの差の絶対値が 1 を超えません。

二分木の退化

以下の図は、二分木の理想的な構造と退化した構造を示しています。二分木の各レベルのノードがすべて埋まっていると「充足二分木」となり、すべてのノードが片側に偏ると二分木は「連結リスト」へ退化します。

充足二分木は理想的なケースであり、二分木の「分割統治」の利点を十分に発揮できます。
連結リストはその対極にあり、各種操作はすべて線形操作となり、時間計算量は O(n) まで退化します。

以下の表に示すように、最良構造と最悪構造では、二分木の葉ノード数、ノード総数、高さなどが極大または極小になります。

表二分木の最良構造と最悪構造

	充足二分木	連結リスト
第 `i` レベルのノード数	`2^{i-1}`	`1`
高さ `h` の木の葉ノード数	`2^h`	`1`
高さ `h` の木のノード総数	`2^{h+1} - 1`	`h + 1`
ノード総数 `n` の木の高さ	`\log_2 (n+1) - 1`	`n - 1`

24 KiB Raw Blame History Unescape Escape

二分木

二分木のよく使われる用語

二分木の基本操作

二分木を初期化する

ノードの挿入と削除

一般的な二分木の種類

充足二分木

完全二分木

充満二分木

平衡二分木

二分木の退化

24 KiB

Raw Blame History