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# 背包问题理论基础


这周我们正式开始讲解背包问题！

背包问题的经典资料当然是：背包九讲。在公众号「代码随想录」后台回复：背包九讲，就可以获得背包九讲的PDF。

但说实话，背包九讲对于小白来说确实不太友好，看起来还是有点费劲的，而且都是伪代码理解起来也吃力。

对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。

如果这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：

![416.分割等和子集1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210117171307407.png)

至于背包九讲其其他背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有，所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。

而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。

**所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！**

leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。

**所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了**。

之前可能有些录友已经可以熟练写出背包了，但只要把这个文章仔细看完，相信你会意外收获！

## 01 背包

有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品只能用一次**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

![动态规划-背包问题](https://img-blog.csdnimg.cn/20210117175428387.jpg)

这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。

这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。

**所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！**

在下面的讲解中，我举一个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

|       | 重量 | 价值 |
| ---   | ---  | ---  |
| 物品0 | 1    | 15   |
| 物品1 | 3    | 20   |
| 物品2 | 4    | 30   |

问背包能背的物品最大价值是多少？

以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

## 二维dp数组01背包

依然动规五部曲分析一波。

1. 确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即**dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。

只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：

![动态规划-背包问题1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210110103003361.png)

**要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的**，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。

2. 确定递推公式

再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，

* 由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]
* 由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3. dp数组如何初始化

**关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱**。

首先从dp[i][j]的定义触发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

![动态规划-背包问题2](https://img-blog.csdnimg.cn/2021011010304192.png)

在看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

代码如下：

```
// 倒叙遍历
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; // 初始化i为0时候的情况
}
```

**大家应该发现，这个初始化为什么是倒叙的遍历的？正序遍历就不行么？**

正序遍历还真就不行，dp[0][j]表示容量为j的背包存放物品0时候的最大价值，物品0的价值就是15，因为题目中说了**每个物品只有一个！**所以dp[0][j]如果不是初始值的话，就应该都是物品0的价值，也就是15。

但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！ 例如代码如下：
```
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
```

例如dp[0][1] 是15，到了dp[0][2] = dp[0][2 - 1] + 15; 也就是dp[0][2] = 30 了，那么就是物品0被重复放入了。

**所以一定要倒叙遍历，保证物品0只被放入一次！这一点对01背包很重要，后面在讲解滚动数组的时候，还会用到倒叙遍历来保证物品使用一次！**


此时dp数组初始化情况如图所示：

![动态规划-背包问题7](https://img-blog.csdnimg.cn/20210110103109140.png)

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？


dp[i][j]在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，因为0就是最小的了，不会影响取最大价值的结果。

如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷了。例如：一个物品的价值是-2，但对应的位置依然初始化为0，那么取最大值的时候，就会取0而不是-2了，所以要初始化为负无穷。

**这样才能让dp数组在递归公式的过程中取最大的价值，而不是被初始值覆盖了**。

最后初始化代码如下：

```
// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
```

**费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的**。

4. 确定遍历顺序


在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

![动态规划-背包问题3](https://img-blog.csdnimg.cn/2021011010314055.png)

那么问题来了，**先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？**

**其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解**。

那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。

```
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 这个是为了展现dp数组里元素的变化
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
```

**先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）**

例如这样：

```
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}
```

为什么也是可以的呢？

**要理解递归的本质和递推的方向**。

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正左和正上两个方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：

![动态规划-背包问题5](https://img-blog.csdnimg.cn/202101101032124.png)

再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：

![动态规划-背包问题6](https://img-blog.csdnimg.cn/20210110103244701.png)

**大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！**

但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。

**其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了**。

5. 举例推导dp数组

来看一下对应的dp数组的数值，如图：

![动态规划-背包问题4](https://img-blog.csdnimg.cn/20210118163425129.jpg)

最终结果就是dp[2][4]。

建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。

**做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！**

很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。

主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。


## 完整C++测试代码

```C++
void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 二维数组
    vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagWeight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
        dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

```


以上遍历的过程也可以这么写：

```
// 遍历过程
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j - weight[i] >= 0) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
}
```

这么写打印出来的dp数据这就是这样：

![动态规划-背包问题8](https://img-blog.csdnimg.cn/2021011010344372.png)

空出来的0其实是用不上的，版本一 能把完整的dp数组打印出来，出来我用版本一来讲解。


## 总结

讲了这么多才刚刚把二维dp的01背包讲完，**这里大家其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在如何初始化和遍历顺序上**。

可能有的同学并没有注意到初始化 和 遍历顺序的重要性，我们后面做力扣上背包面试题目的时候，大家就会感受出来了。

下一篇 还是理论基础，我们再来讲一维dp数组实现的01背包（滚动数组），分析一下和二维有什么区别，在初始化和遍历顺序上又有什么差异，敬请期待！

就酱，学算法，认准「代码随想录」，值得推荐给身边的朋友同学们，关注后都会发现相见恨晚!





## 其他语言版本


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