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> 本来是打算将二叉树和二叉搜索树的公共祖先问题一起讲，后来发现篇幅过长了，只能先说一说二叉树的公共祖先问题。

# 236. 二叉树的最近公共祖先

[力扣题目链接](https://leetcode-cn.com/problems/lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree/)

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉树:  root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4]

![236. 二叉树的最近公共祖先](https://img-blog.csdnimg.cn/20201016173414722.png)

示例 1:
输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1
输出: 3
解释: 节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3。

示例 2:
输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4
输出: 5
解释: 节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

说明:
* 所有节点的值都是唯一的。
* p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉树中。

# 思路

遇到这个题目首先想的是要是能自底向上查找就好了，这样就可以找到公共祖先了。

那么二叉树如何可以自底向上查找呢？

回溯啊，二叉树回溯的过程就是从低到上。

后序遍历就是天然的回溯过程，最先处理的一定是叶子节点。

接下来就看如何判断一个节点是节点q和节点p的公共公共祖先呢。

**如果找到一个节点，发现左子树出现结点p，右子树出现节点q，或者 左子树出现结点q，右子树出现节点p，那么该节点就是节点p和q的最近公共祖先。**

使用后序遍历，回溯的过程，就是从低向上遍历节点，一旦发现如何这个条件的节点，就是最近公共节点了。

递归三部曲：

* 确定递归函数返回值以及参数

需要递归函数返回值，来告诉我们是否找到节点q或者p，那么返回值为bool类型就可以了。

但我们还要返回最近公共节点，可以利用上题目中返回值是TreeNode * ，那么如果遇到p或者q，就把q或者p返回，返回值不为空，就说明找到了q或者p。

代码如下：

```
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q)
```

* 确定终止条件

如果找到了 节点p或者q，或者遇到空节点，就返回。

代码如下：

```
if (root == q || root == p || root == NULL) return root;
```

* 确定单层递归逻辑

值得注意的是 本题函数有返回值，是因为回溯的过程需要递归函数的返回值做判断，但本题我们依然要遍历树的所有节点。

我们在[二叉树：递归函数究竟什么时候需要返回值，什么时候不要返回值？](https://programmercarl.com/0112.路径总和.html)中说了 递归函数有返回值就是要遍历某一条边，但有返回值也要看如何处理返回值！

如果递归函数有返回值，如何区分要搜索一条边，还是搜索整个树呢？

搜索一条边的写法：

```
if (递归函数(root->left)) return ;

if (递归函数(root->right)) return ;
```

搜索整个树写法：

```
left = 递归函数(root->left);
right = 递归函数(root->right);
left与right的逻辑处理;
```

看出区别了没？

**在递归函数有返回值的情况下：如果要搜索一条边，递归函数返回值不为空的时候，立刻返回，如果搜索整个树，直接用一个变量left、right接住返回值，这个left、right后序还有逻辑处理的需要，也就是后序遍历中处理中间节点的逻辑（也是回溯）**。

那么为什么要遍历整棵树呢？直观上来看，找到最近公共祖先，直接一路返回就可以了。

如图：

![236.二叉树的最近公共祖先](https://img-blog.csdnimg.cn/2021020415105872.png)

就像图中一样直接返回7，多美滋滋。

但事实上还要遍历根节点右子树（即使此时已经找到了目标节点了），也就是图中的节点4、15、20。

因为在如下代码的后序遍历中，如果想利用left和right做逻辑处理， 不能立刻返回，而是要等left与right逻辑处理完之后才能返回。

```
left = 递归函数(root->left);
right = 递归函数(root->right);
left与right的逻辑处理;
```

所以此时大家要知道我们要遍历整棵树。知道这一点，对本题就有一定深度的理解了。


那么先用left和right接住左子树和右子树的返回值，代码如下：

```
TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);

```

**如果left 和 right都不为空，说明此时root就是最近公共节点。这个比较好理解**

**如果left为空，right不为空，就返回right，说明目标节点是通过right返回的，反之依然**。

这里有的同学就理解不了了，为什么left为空，right不为空，目标节点通过right返回呢？

如图：

![236.二叉树的最近公共祖先1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210204151125844.png)

图中节点10的左子树返回null，右子树返回目标值7，那么此时节点10的处理逻辑就是把右子树的返回值（最近公共祖先7）返回上去！

这里点也很重要，可能刷过这道题目的同学，都不清楚结果究竟是如何从底层一层一层传到头结点的。

那么如果left和right都为空，则返回left或者right都是可以的，也就是返回空。

代码如下：

```CPP
if (left == NULL && right != NULL) return right;
else if (left != NULL && right == NULL) return left;
else  { //  (left == NULL && right == NULL)
    return NULL;
}

```

那么寻找最小公共祖先，完整流程图如下：

![236.二叉树的最近公共祖先2](https://img-blog.csdnimg.cn/202102041512582.png)

**从图中，大家可以看到，我们是如何回溯遍历整棵二叉树，将结果返回给头结点的！**

整体代码如下：

```CPP
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if (root == q || root == p || root == NULL) return root;
        TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        if (left != NULL && right != NULL) return root;

        if (left == NULL && right != NULL) return right;
        else if (left != NULL && right == NULL) return left;
        else  { //  (left == NULL && right == NULL)
            return NULL;
        }

    }
};
```

稍加精简，代码如下：

```CPP
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if (root == q || root == p || root == NULL) return root;
        TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        if (left != NULL && right != NULL) return root;
        if (left == NULL) return right;
        return left;
    }
};
```

# 总结

这道题目刷过的同学未必真正了解这里面回溯的过程，以及结果是如何一层一层传上去的。

**那么我给大家归纳如下三点**：

1. 求最小公共祖先，需要从底向上遍历，那么二叉树，只能通过后序遍历（即：回溯）实现从低向上的遍历方式。

2. 在回溯的过程中，必然要遍历整棵二叉树，即使已经找到结果了，依然要把其他节点遍历完，因为要使用递归函数的返回值（也就是代码中的left和right）做逻辑判断。

3. 要理解如果返回值left为空，right不为空为什么要返回right，为什么可以用返回right传给上一层结果。

可以说这里每一步，都是有难度的，都需要对二叉树，递归和回溯有一定的理解。

本题没有给出迭代法，因为迭代法不适合模拟回溯的过程。理解递归的解法就够了。


# 其他语言版本


## Java 

```Java
class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if (root == null || root == p || root == q) { // 递归结束条件
            return root;
        }

        // 后序遍历
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);

        if(left == null && right == null) { // 若未找到节点 p 或 q
            return null;
        }else if(left == null && right != null) { // 若找到一个节点
            return right;
        }else if(left != null && right == null) { // 若找到一个节点
            return left;
        }else { // 若找到两个节点
            return root;
        }
    }
}

```

## Python 

```python
class Solution:
    """二叉树的最近公共祖先 递归法"""

    def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':
        if not root or root == p or root == q:
            return root
        
        left = self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
        right = self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)
        
        if left and right:
            return root
        if left:
            return left
        return right
```

## Go 

```Go
func lowestCommonAncestor(root, p, q *TreeNode) *TreeNode {
    // check
    if root == nil {
        return root
    }
    // 相等 直接返回root节点即可
    if root == p || root == q {
        return root
    }
    // Divide
    left := lowestCommonAncestor(root.Left, p, q)
    right := lowestCommonAncestor(root.Right, p, q)

    // Conquer
    // 左右两边都不为空，则根节点为祖先
    if left != nil && right != nil {
        return root
    }
    if left != nil {
        return left
    }
    if right != nil {
        return right
    }
    return nil
}
```

## JavaScript 

```javascript
var lowestCommonAncestor = function(root, p, q) {
    // 使用递归的方法
    // 需要从下到上，所以使用后序遍历
    // 1. 确定递归的函数
    const travelTree = function(root,p,q) {
        // 2. 确定递归终止条件
        if(root === null || root === p||root === q) {
            return root;
        }
        // 3. 确定递归单层逻辑
        let left = travelTree(root.left,p,q);
        let right = travelTree(root.right,p,q);
        if(left !== null&&right !== null) {
            return root;
        }
        if(left ===null) {
            return right;
        }
        return left;
    }
   return  travelTree(root,p,q);
};
```



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