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# 动态规划：一和零！

## 474.一和零

[力扣题目链接](https://leetcode-cn.com/problems/ones-and-zeroes/)

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4

解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：
输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

提示：

* 1 <= strs.length <= 600
* 1 <= strs[i].length <= 100
* strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
* 1 <= m, n <= 100

## 思路

如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：

* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)

这道题目，还是比较难的，也有点像程序员自己给自己出个脑筋急转弯，程序员何苦为难程序员呢哈哈。

来说题，本题不少同学会认为是多重背包，一些题解也是这么写的。

其实本题并不是多重背包，再来看一下这个图，捋清几种背包的关系

![416.分割等和子集1](https://img-blog.csdnimg.cn/20210117171307407.png)

多重背包是每个物品，数量不同的情况。

**本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！**

**而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包**。

理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。

但本题其实是01背包问题！

这不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

开始动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

**dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]**。

2. 确定递推公式

dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。

**这就是一个典型的01背包！** 只不过物品的重量有了两个维度而已。


3. dp数组如何初始化

在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中已经讲解了，01背包的dp数组初始化为0就可以。

因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

4. 确定遍历顺序

在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中，我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！

那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。

代码如下：
```CPP
for (string str : strs) { // 遍历物品
    int oneNum = 0, zeroNum = 0;
    for (char c : str) {
        if (c == '0') zeroNum++;
        else oneNum++;
    }
    for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
        for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
        }
    }
}
```

有同学可能想，那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究？

没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历那个都行！

5. 举例推导dp数组

以输入：["10","0001","111001","1","0"]，m = 3，n = 3为例

最后dp数组的状态如下所示：


![474.一和零](https://img-blog.csdnimg.cn/20210120111201512.jpg)


以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：

```CPP
class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};
```

## 总结

不少同学刷过这道提，可能没有总结这究竟是什么背包。

这道题的本质是有两个维度的01背包，如果大家认识到这一点，对这道题的理解就比较深入了。




## 其他语言版本


Java：
```Java
class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        //dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        int oneNum, zeroNum;
        for (String str : strs) {
            oneNum = 0;
            zeroNum = 0;
            for (char ch : str.toCharArray()) {
                if (ch == '0') {
                    zeroNum++;
                } else {
                    oneNum++;
                }
            }
            //倒序遍历
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}
```

Python：
```python
class Solution:
    def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]	# 默认初始化0
        # 遍历物品
        for str in strs:
            ones = str.count('1')
            zeros = str.count('0')
            # 遍历背包容量且从后向前遍历！
            for i in range(m, zeros - 1, -1):
                for j in range(n, ones - 1, -1):
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeros][j - ones] + 1)
        return dp[m][n]
```

Go：
```go
func findMaxForm(strs []string, m int, n int) int {
	// 定义数组
	dp := make([][]int, m+1)
	for i,_ := range dp {
		dp[i] = make([]int, n+1 )
	}
	// 遍历
	for i:=0;i<len(strs);i++ {
		zeroNum,oneNum := 0 , 0
		//计算0,1 个数
		//或者直接strings.Count(strs[i],"0")
		for _,v := range strs[i] {
			if v == '0' {
				zeroNum++
			}
		}
		oneNum = len(strs[i])-zeroNum
		// 从后往前 遍历背包容量
		for j:= m ; j >= zeroNum;j-- {
			for k:=n ; k >= oneNum;k-- {
				// 推导公式
				dp[j][k] = max(dp[j][k],dp[j-zeroNum][k-oneNum]+1)
			}
		}
		//fmt.Println(dp)
	}
	return dp[m][n]
}

func max(a,b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}
```
> 传统背包，三维数组法
```golang
func findMaxForm(strs []string, m int, n int) int {
    //dp的第一个index代表项目的多少，第二个代表的是背包的容量
    //所以本处项目的多少是len（strs），容量为m和n
    dp:=make([][][]int,len(strs)+1)
    for i:=0;i<=len(strs);i++{
        //初始化背包容量
        strDp:=make([][]int,m+1)
        for j:=0;j<m+1;j++{
           tmp:=make([]int,n+1)
           strDp[j]=tmp
        }
        dp[i]=strDp
    }
    for k,value:=range strs{
        //统计每个字符串0和1的个数
        var zero,one int
        for _,v:=range value{
            if v=='0'{
                zero++
            }else{
                one++
            }
        }
        k+=1
        //计算dp
        for i:=0;i<=m;i++{
            for j:=0;j<=n;j++{
                //如果装不下
                dp[k][i][j]=dp[k-1][i][j]
                //如果装的下
                if i>=zero&&j>=one{
                    dp[k][i][j]=getMax(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i-zero][j-one]+1)
                }
            }
        }
    }
    return dp[len(strs)][m][n]
}
func getMax(a,b int)int{
    if a>b{
        return a
    }
    return b
}
```

Javascript：
```javascript
const findMaxForm = (strs, m, n) => {
    const dp = Array.from(Array(m+1), () => Array(n+1).fill(0));
    let numOfZeros, numOfOnes;

    for(let str of strs) {
        numOfZeros = 0;
        numOfOnes = 0;
    
        for(let c of str) {
            if (c === '0') {
                numOfZeros++;
            } else {
                numOfOnes++;
            }
        }

        for(let i = m; i >= numOfZeros; i--) {
            for(let j = n; j >= numOfOnes; j--) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - numOfZeros][j - numOfOnes] + 1);
            }
        }
    }

    return dp[m][n];
};
```

TypeScript：

> 滚动数组，二维数组法

```typescript
type BinaryInfo = { numOfZero: number, numOfOne: number };
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
    const goodsNum: number = strs.length;
    const dp: number[][] = new Array(m + 1).fill(0)
        .map(_ => new Array(n + 1).fill(0));
    for (let i = 0; i < goodsNum; i++) {
        const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[i]);
        for (let j = m; j >= numOfZero; j--) {
            for (let k = n; k >= numOfOne; k--) {
                dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - numOfZero][k - numOfOne] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
};
function countBinary(str: string): BinaryInfo {
    let numOfZero: number = 0,
        numOfOne: number = 0;
    for (let s of str) {
        if (s === '0') {
            numOfZero++;
        } else {
            numOfOne++;
        }
    }
    return { numOfZero, numOfOne };
}
```

> 传统背包，三维数组法

```typescript
type BinaryInfo = { numOfZero: number, numOfOne: number };
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
    /**
        dp[i][j][k]: 前i个物品中, 背包的0容量为j, 1容量为k, 最多能放的物品数量
     */
    const goodsNum: number = strs.length;
    const dp: number[][][] = new Array(goodsNum).fill(0)
        .map(_ => new Array(m + 1)
            .fill(0)
            .map(_ => new Array(n + 1).fill(0))
        );
    const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[0]);
    for (let i = numOfZero; i <= m; i++) {
        for (let j = numOfOne; j <= n; j++) {
            dp[0][i][j] = 1;
        }
    }
    for (let i = 1; i < goodsNum; i++) {
        const { numOfZero, numOfOne } = countBinary(strs[i]);
        for (let j = 0; j <= m; j++) {
            for (let k = 0; k <= n; k++) {
                if (j < numOfZero || k < numOfOne) {
                    dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
                } else {
                    dp[i][j][k] = Math.max(dp[i - 1][j][k], dp[i - 1][j - numOfZero][k - numOfOne] + 1);
                }
            }
        }
    }
    return dp[dp.length - 1][m][n];
};
function countBinary(str: string): BinaryInfo {
    let numOfZero: number = 0,
        numOfOne: number = 0;
    for (let s of str) {
        if (s === '0') {
            numOfZero++;
        } else {
            numOfOne++;
        }
    }
    return { numOfZero, numOfOne };
}
```

> 回溯法（会超时）

```typescript
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
    /**
        思路：暴力枚举strs的所有子集，记录符合条件子集的最大长度
     */
    let resMax: number = 0;
    backTrack(strs, m, n, 0, []);
    return resMax;
    function backTrack(
        strs: string[], m: number, n: number,
        startIndex: number, route: string[]
    ): void {
        if (startIndex === strs.length) return;
        for (let i = startIndex, length = strs.length; i < length; i++) {
            route.push(strs[i]);
            if (isValidSubSet(route, m, n)) {
                resMax = Math.max(resMax, route.length);
                backTrack(strs, m, n, i + 1, route);
            }
            route.pop();
        }
    }
};
function isValidSubSet(strs: string[], m: number, n: number): boolean {
    let zeroNum: number = 0,
        oneNum: number = 0;
    strs.forEach(str => {
        for (let s of str) {
            if (s === '0') {
                zeroNum++;
            } else {
                oneNum++;
            }
        }
    });
    return zeroNum <= m && oneNum <= n;
}
```



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<div align="center"><img src=https://code-thinking.cdn.bcebos.com/pics/01二维码一.jpg width=500> </img></div>
