diff --git a/problems/0151.翻转字符串里的单词.md b/problems/0151.翻转字符串里的单词.md
index 7c0b7cb1..3dbd59b9 100644
--- a/problems/0151.翻转字符串里的单词.md
+++ b/problems/0151.翻转字符串里的单词.md
@@ -639,7 +639,46 @@ func reverse(b []byte) {
}
}
```
-
+```go
+//双指针解法。指针逆序遍历，将遍历后得到的单词（间隔为空格，用以区分）顺序放置在额外空间
+//时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)
+func reverseWords(s string) string {
+ strBytes := []byte(s)
+ n := len(strBytes)
+ // 记录有效字符范围的起始和结束位置
+ start, end := 0, n-1
+ // 去除开头空格
+ for start < n && strBytes[start] == 32 {
+ start++
+ }
+ // 处理全是空格或空字符串情况
+ if start == n {
+ return ""
+ }
+ // 去除结尾空格
+ for end >= 0 && strBytes[end] == 32 {
+ end--
+ }
+ // 结果切片，预分配容量
+ res := make([]byte, 0, end-start+1)//这里挺重要的，本人之前没有预分配容量，每次循环都添加单词，导致内存超限（也可能就是我之前的思路有问题）
+ // 从后往前遍历有效字符范围
+ for i := end; i >= start; {
+ // 找单词起始位置，直接通过循环条件判断定位
+ for ; i >= start && strBytes[i] == 32; i-- {
+ }
+ j := i
+ for ; j >= start && strBytes[j]!= 32; j-- {
+ }
+ res = append(res, strBytes[j+1:i+1]...)
+ // 只在不是最后一个单词时添加空格
+ if j > start {
+ res = append(res, 32)
+ }
+ i = j
+ }
+ return string(res)
+}
+```
### JavaScript:
diff --git a/problems/0225.用队列实现栈.md b/problems/0225.用队列实现栈.md
index f0fe3a3c..73d9db1b 100644
--- a/problems/0225.用队列实现栈.md
+++ b/problems/0225.用队列实现栈.md
@@ -1277,6 +1277,95 @@ impl MyStack {
}
```
+### C:
+
+> C：单队列
+
+```c
+typedef struct Node {
+ int val;
+ struct Node *next;
+} Node_t;
+
+// 用单向链表实现queue
+typedef struct {
+ Node_t *head;
+ Node_t *foot;
+ int size;
+} MyStack;
+
+MyStack* myStackCreate() {
+ MyStack *obj = (MyStack *)malloc(sizeof(MyStack));
+ assert(obj);
+ obj->head = NULL;
+ obj->foot = NULL;
+ obj->size = 0;
+ return obj;
+}
+
+void myStackPush(MyStack* obj, int x) {
+
+ Node_t *temp = (Node_t *)malloc(sizeof(Node_t));
+ assert(temp);
+ temp->val = x;
+ temp->next = NULL;
+
+ // 添加至queue末尾
+ if (obj->foot) {
+ obj->foot->next = temp;
+ } else {
+ obj->head = temp;
+ }
+ obj->foot = temp;
+ obj->size++;
+}
+
+int myStackPop(MyStack* obj) {
+
+ // 获取末尾元素
+ int target = obj->foot->val;
+
+ if (obj->head == obj->foot) {
+ free(obj->foot);
+ obj->head = NULL;
+ obj->foot = NULL;
+ } else {
+
+ Node_t *prev = obj->head;
+ // 移动至queue尾部节点前一个节点
+ while (prev->next != obj->foot) {
+ prev = prev->next;
+ }
+
+ free(obj->foot);
+ obj->foot = prev;
+ obj->foot->next = NULL;
+ }
+
+ obj->size--;
+ return target;
+}
+
+int myStackTop(MyStack* obj) {
+ return obj->foot->val;
+}
+
+bool myStackEmpty(MyStack* obj) {
+ return obj->size == 0;
+}
+
+void myStackFree(MyStack* obj) {
+ Node_t *curr = obj->head;
+ while (curr != NULL) {
+ Node_t *temp = curr->next;
+ free(curr);
+ curr = temp;
+ }
+ free(obj);
+}
+
+```
+
diff --git a/problems/0235.二叉搜索树的最近公共祖先.md b/problems/0235.二叉搜索树的最近公共祖先.md
index 192bb031..3911261a 100644
--- a/problems/0235.二叉搜索树的最近公共祖先.md
+++ b/problems/0235.二叉搜索树的最近公共祖先.md
@@ -99,7 +99,7 @@ if (cur == NULL) return cur;
* 确定单层递归的逻辑
-在遍历二叉搜索树的时候就是寻找区间[p->val, q->val]（注意这里是左闭又闭）
+在遍历二叉搜索树的时候就是寻找区间[p->val, q->val]（注意这里是左闭右闭）
那么如果 cur->val 大于 p->val，同时 cur->val 大于q->val，那么就应该向左遍历（说明目标区间在左子树上）。
diff --git a/problems/0239.滑动窗口最大值.md b/problems/0239.滑动窗口最大值.md
index caa24d8d..651e4da4 100644
--- a/problems/0239.滑动窗口最大值.md
+++ b/problems/0239.滑动窗口最大值.md
@@ -267,7 +267,7 @@ class Solution {
//利用双端队列手动实现单调队列
/**
* 用一个单调队列来存储对应的下标，每当窗口滑动的时候，直接取队列的头部指针对应的值放入结果集即可
- * 单调队列类似 （tail -->） 3 --> 2 --> 1 --> 0 (--> head) (右边为头结点，元素存的是下标)
+ * 单调递减队列类似 （head -->） 3 --> 2 --> 1 --> 0 (--> tail) (左边为头结点，元素存的是下标)
*/
class Solution {
public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
@@ -281,7 +281,7 @@ class Solution {
while(!deque.isEmpty() && deque.peek() < i - k + 1){
deque.poll();
}
- // 2.既然是单调，就要保证每次放进去的数字要比末尾的都大，否则也弹出
+ // 2.维护单调递减队列：新元素若大于队尾元素，则弹出队尾元素，直到满足单调性
while(!deque.isEmpty() && nums[deque.peekLast()] < nums[i]) {
deque.pollLast();
}
@@ -890,7 +890,40 @@ public:
};
```
+### C
+
+```c
+int* maxSlidingWindow(int* nums, int numsSize, int k, int* returnSize) {
+ *returnSize = numsSize - k + 1;
+ int *res = (int*)malloc((*returnSize) * sizeof(int));
+ assert(res);
+ int *deque = (int*)malloc(numsSize * sizeof(int));
+ assert(deque);
+ int front = 0, rear = 0, idx = 0;
+
+ for (int i = 0 ; i < numsSize ; i++) {
+ while (front < rear && deque[front] <= i - k) {
+ front++;
+ }
+
+ while (front < rear && nums[deque[rear - 1]] <= nums[i]) {
+ rear--;
+ }
+
+ deque[rear++] = i;
+
+ if (i >= k - 1) {
+ res[idx++] = nums[deque[front]];
+ }
+ }
+
+ return res;
+}
+
+```
+
+
diff --git a/problems/0349.两个数组的交集.md b/problems/0349.两个数组的交集.md
index 77dfc50a..93fa0931 100644
--- a/problems/0349.两个数组的交集.md
+++ b/problems/0349.两个数组的交集.md
@@ -123,6 +123,9 @@ public:
### Java：
版本一：使用HashSet
```Java
+// 时间复杂度O(n+m+k) 空间复杂度O(n+k)
+// 其中n是数组nums1的长度，m是数组nums2的长度，k是交集元素的个数
+
import java.util.HashSet;
import java.util.Set;
@@ -145,8 +148,15 @@ class Solution {
}
//方法1：将结果集合转为数组
-
- return resSet.stream().mapToInt(x -> x).toArray();
+ return res.stream().mapToInt(Integer::intValue).toArray();
+ /**
+ * 将 Set 转换为 int[] 数组：
+ * 1. stream() : Collection 接口的方法，将集合转换为 Stream
+ * 2. mapToInt(Integer::intValue) :
+ * - 中间操作，将 Stream 转换为 IntStream
+ * - 使用方法引用 Integer::intValue，将 Integer 对象拆箱为 int 基本类型
+ * 3. toArray() : 终端操作，将 IntStream 转换为 int[] 数组。
+ */
//方法2：另外申请一个数组存放setRes中的元素,最后返回数组
int[] arr = new int[resSet.size()];
@@ -538,3 +548,4 @@ end
+
diff --git a/problems/0383.赎金信.md b/problems/0383.赎金信.md
index eb83d3ec..1d739173 100644
--- a/problems/0383.赎金信.md
+++ b/problems/0383.赎金信.md
@@ -104,7 +104,7 @@ public:
};
```
-* 时间复杂度: O(n)
+* 时间复杂度: O(m+n)，其中m表示ransomNote的长度，n表示magazine的长度
* 空间复杂度: O(1)
@@ -470,3 +470,4 @@ bool canConstruct(char* ransomNote, char* magazine) {
+
diff --git a/problems/0459.重复的子字符串.md b/problems/0459.重复的子字符串.md
index 18200562..988b2abf 100644
--- a/problems/0459.重复的子字符串.md
+++ b/problems/0459.重复的子字符串.md
@@ -390,6 +390,8 @@ public:
### Java：
+（版本一） 前缀表 减一
+
```java
class Solution {
public boolean repeatedSubstringPattern(String s) {
@@ -420,6 +422,45 @@ class Solution {
}
```
+（版本二） 前缀表 不减一
+
+```java
+/*
+ * 充分条件：如果字符串s是由重复子串组成的，那么它的最长相等前后缀不包含的子串一定是s的最小重复子串。
+ * 必要条件：如果字符串s的最长相等前后缀不包含的子串是s的最小重复子串，那么s必然是由重复子串组成的。
+ * 推得：当字符串s的长度可以被其最长相等前后缀不包含的子串的长度整除时，不包含的子串就是s的最小重复子串。
+ *
+ * 时间复杂度：O(n)
+ * 空间复杂度：O(n)
+ */
+class Solution {
+ public boolean repeatedSubstringPattern(String s) {
+ // if (s.equals("")) return false;
+ // 边界判断（可以去掉，因为题目给定范围是1 <= s.length <= 10^4）
+ int n = s.length();
+
+ // Step 1.构建KMP算法的前缀表
+ int[] next = new int[n]; // 前缀表的值表示 以该位置结尾的字符串的最长相等前后缀的长度
+ int j = 0;
+ next[0] = 0;
+ for (int i = 1; i < n; i++) {
+ while (j > 0 && s.charAt(i) != s.charAt(j)) // 只要前缀后缀还不一致，就根据前缀表回退j直到起点为止
+ j = next[j - 1];
+ if (s.charAt(i) == s.charAt(j))
+ j++;
+ next[i] = j;
+ }
+
+ // Step 2.判断重复子字符串
+ if (next[n - 1] > 0 && n % (n - next[n - 1]) == 0) { // 当字符串s的长度可以被其最长相等前后缀不包含的子串的长度整除时
+ return true; // 不包含的子串就是s的最小重复子串
+ } else {
+ return false;
+ }
+ }
+}
+```
+
### Python：
（版本一） 前缀表 减一
@@ -911,9 +952,54 @@ public bool RepeatedSubstringPattern(string s) {
return ss.Contains(s);
}
```
+### C
+
+```c
+// 前缀表不减一
+int *build_next(char* s, int len) {
+
+ int *next = (int *)malloc(len * sizeof(int));
+ assert(next);
+
+ // 初始化前缀表
+ next[0] = 0;
+
+ // 构建前缀表表
+ int i = 1, j = 0;
+ while (i < len) {
+ if (s[i] == s[j]) {
+ j++;
+ next[i] = j;
+ i++;
+ } else if (j > 0) {
+ j = next[j - 1];
+ } else {
+ next[i] = 0;
+ i++;
+ }
+ }
+ return next;
+}
+
+bool repeatedSubstringPattern(char* s) {
+
+ int len = strlen(s);
+ int *next = build_next(s, len);
+ bool result = false;
+
+ // 检查最小重复片段能否被长度整除
+ if (next[len - 1]) {
+ result = len % (len - next[len - 1]) == 0;
+ }
+
+ free(next);
+ return result;
+}
+
+```
+
-
diff --git a/problems/0494.目标和.md b/problems/0494.目标和.md
index dda3ad75..4a1fc6ab 100644
--- a/problems/0494.目标和.md
+++ b/problems/0494.目标和.md
@@ -151,13 +151,13 @@ if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。
-1. 确定dp数组以及下标的含义
+#### 1. 确定dp数组以及下标的含义
先用 二维 dp数组求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。
01背包为什么这么定义dp数组，我在[0-1背包理论基础](https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%8001%E8%83%8C%E5%8C%85-1.html)中 确定dp数组的含义里讲解过。
-2. 确定递推公式
+#### 2. 确定递推公式
我们先手动推导一下，这个二维数组里面的数值。
@@ -264,7 +264,7 @@ if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
```
-3. dp数组如何初始化
+#### 3. dp数组如何初始化
先明确递推的方向，如图，求解 dp[2][2] 是由 上方和左上方推出。
@@ -315,7 +315,7 @@ for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
}
```
-4. 确定遍历顺序
+#### 4. 确定遍历顺序
在明确递推方向时，我们知道 当前值 是由上方和左上方推出。
@@ -360,7 +360,7 @@ for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
这里大家可以看出，无论是以上哪种遍历，都不影响 dp[2][2]的求值，用来 推导 dp[2][2] 的数值都在。
-5. 举例推导dp数组
+#### 5. 举例推导dp数组
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3
@@ -421,7 +421,7 @@ public:
dp[i][j] 去掉 行的维度，即 dp[j]，表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。
-2. 确定递推公式
+#### 2. 确定递推公式
二维DP数组递推公式： `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];`
@@ -429,17 +429,17 @@ dp[i][j] 去掉 行的维度，即 dp[j]，表示：填满j（包括j）这么
**这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！**
-3. dp数组如何初始化
+#### 3. dp数组如何初始化
在上面 二维dp数组中，我们讲解过 dp[0][0] 初始为1，这里dp[0] 同样初始为1 ,即装满背包为0的方法有一种，放0件物品。
-4. 确定遍历顺序
+#### 4. 确定遍历顺序
在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中，我们系统讲过对于01背包问题一维dp的遍历。
遍历物品放在外循环，遍历背包在内循环，且内循环倒序（为了保证物品只使用一次）。
-5. 举例推导dp数组
+#### 5. 举例推导dp数组
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3
@@ -526,7 +526,6 @@ dp[j] += dp[j - nums[i]];
## 其他语言版本
-
### Java
```java
class Solution {
@@ -671,18 +670,26 @@ class Solution:
# 创建二维动态规划数组，行表示选取的元素数量，列表示累加和
dp = [[0] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums) + 1)]
+ dp = [[0] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums))]
# 初始化状态
dp[0][0] = 1
+ if nums[0] <= target_sum:
+ dp[0][nums[0]] = 1
+ numZero = 0
+ for i in range(len(nums)):
+ if nums[i] == 0:
+ numZero += 1
+ dp[i][0] = int(math.pow(2, numZero))
# 动态规划过程
- for i in range(1, len(nums) + 1):
+ for i in range(1, len(nums)):
for j in range(target_sum + 1):
dp[i][j] = dp[i - 1][j] # 不选取当前元素
if j >= nums[i - 1]:
- dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]] # 选取当前元素
+ dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i]] # 选取当前元素
- return dp[len(nums)][target_sum] # 返回达到目标和的方案数
+ return dp[len(nums)-1][target_sum] # 返回达到目标和的方案数
```
diff --git a/problems/0518.零钱兑换II.md b/problems/0518.零钱兑换II.md
index 0d35fb7c..835df852 100644
--- a/problems/0518.零钱兑换II.md
+++ b/problems/0518.零钱兑换II.md
@@ -4,8 +4,6 @@
参与本项目，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们受益！
-
-
# 518.零钱兑换II
[力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/)
@@ -45,15 +43,19 @@
**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[装满背包有多少种方法？组合与排列有讲究！| LeetCode：518.零钱兑换II](https://www.bilibili.com/video/BV1KM411k75j/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
+## 二维dp讲解
+如果大家认真做完：[分割等和子集](https://www.programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html) ， [最后一块石头的重量II](https://www.programmercarl.com/1049.%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E5%9D%97%E7%9F%B3%E5%A4%B4%E7%9A%84%E9%87%8D%E9%87%8FII.html) 和 [目标和](https://www.programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html)
+应该会知道类似这种题目：给出一个总数，一些物品，问能否凑成这个总数。
-## 思路
+这是典型的背包问题！
-这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。
+本题求的是装满这个背包的物品组合数是多少。
+因为每一种面额的硬币有无限个，所以这是完全背包。
-对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)
+对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：[完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)
但本题和纯完全背包不一样，**纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！**
@@ -69,44 +71,182 @@
如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。
-**组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序**。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。
+**组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序**。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过。
那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!
-回归本题，动规五步曲来分析如下：
+本题其实与我们讲过 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 十分类似。
-1. 确定dp数组以及下标的含义
+[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 求的是装满背包有多少种方法，而本题是求装满背包有多少种组合。
+
+这有啥区别？
+
+**求装满背包有几种方法其实就是求组合数**。 不过 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 是 01背包，即每一类物品只有一个。
+
+以下动规五部曲：
+
+### 1、确定dp数组以及下标的含义
+
+定义二维dp数值 dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的coins[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种组合方法。
+
+很多录友也会疑惑，凭什么上来就定义 dp数组，思考过程是什么样的， 这个思考过程我在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 “确定dp数组以及下标的含义” 有详细讲解。
+
+（**强烈建议按照代码随想录的顺序学习，否则可能看不懂我的讲解**）
+
+
+### 2、确定递推公式
+
+> **注意**： 这里的公式推导，与之前讲解过的 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 、[完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 有极大重复，所以我不在重复讲解原理，而是只讲解区别。
+
+我们再回顾一下，[01背包理论基础](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)，中二维DP数组的递推公式为：
+
+`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])`
+
+在 [完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 详细讲解了完全背包二维DP数组的递推公式为：
+
+`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])`
+
+
+看去完全背包 和 01背包的差别在哪里？
+
+在于01背包是 `dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]` ，完全背包是 `dp[i][j - weight[i]] + value[i])`
+
+主要原因就是 完全背包单类物品有无限个。
+
+具体原因我在 [完全背包理论基础（二维）](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 的 「确定递推公式」有详细讲解，如果大家忘了，再回顾一下。
+
+我上面有说过，本题和 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 是一样的，唯一区别就是 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 是 01背包，本题是完全背包。
+
+
+在[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中详解讲解了装满背包有几种方法，二维DP数组的递推公式：
+`dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]`
+
+所以本题递推公式：`dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - nums[i]]` ，区别依然是 ` dp[i - 1][j - nums[i]]` 和 `dp[i][j - nums[i]]`
+
+这个 ‘所以’ 我省略了很多推导的内容，因为这些内容在 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 和 [完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 都详细讲过。
+
+这里不再重复讲解。
+
+大家主要疑惑点
+
+1、 `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - nums[i]]` 这个递归公式框架怎么来的，在 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 有详细讲解。
+
+2、为什么是 ` dp[i][j - nums[i]]` 而不是 ` dp[i - 1][j - nums[i]]` ，在[完全背包理论基础（二维）](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 有详细讲解
+
+
+### 3. dp数组如何初始化
+
+那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化，这是递推公式推导的基础，如图红色部分：
+
+
+
+
+这里首先要关注的就是 dp[0][0] 应该是多少？
+
+背包空间为0，装满「物品0」 的组合数有多少呢？
+
+应该是 0 个， 但如果 「物品0」 的 数值就是0呢？ 岂不是可以有无限个0 组合 和为0！
+
+题目描述中说了`1 <= coins.length <= 300` ，所以不用考虑 物品数值为0的情况。
+
+那么最上行dp[0][j] 如何初始化呢？
+
+dp[0][j]的含义：用「物品0」（即coins[0]） 装满 背包容量为j的背包，有几种组合方法。 （如果看不懂dp数组的含义，建议先学习[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)）
+
+如果 j 可以整除 物品0，那么装满背包就有1种组合方法。
+
+初始化代码：
+
+```CPP
+for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
+ if (j % coins[0] == 0) dp[0][j] = 1;
+}
+```
+
+最左列如何初始化呢？
+
+dp[i][0] 的含义：用物品i（即coins[i]） 装满容量为0的背包 有几种组合方法。
+
+都有一种方法，即不装。
+
+所以 dp[i][0] 都初始化为1
+
+### 4. 确定遍历顺序
+
+二维DP数组的完全背包的两个for循环先后顺序是无所谓的。
+
+先遍历背包，还是先遍历物品都是可以的。
+
+原理和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 「遍历顺序」是一样的，都是因为 两个for循环的先后顺序不影响 递推公式 所需要的数值。
+
+具体分析过程看 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 「遍历顺序」
+
+### 5. 打印DP数组
+
+以amount为5，coins为：[2,3,5] 为例：
+
+dp数组应该是这样的：
+
+```
+1 0 1 0 1 0
+1 0 1 1 1 1
+1 0 1 1 1 2
+```
+
+### 代码实现：
+
+```CPP
+class Solution {
+public:
+ int change(int amount, vector& coins) {
+ int bagSize = amount;
+
+ vector> dp(coins.size(), vector(bagSize + 1, 0));
+
+ // 初始化最上行
+ for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
+ if (j % coins[0] == 0) dp[0][j] = 1;
+ }
+ // 初始化最左列
+ for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
+ dp[i][0] = 1;
+ }
+ // 以下遍历顺序行列可以颠倒
+ for (int i = 1; i < coins.size(); i++) { // 行，遍历物品
+ for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包
+ if (coins[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
+ else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]];
+ }
+ }
+ return dp[coins.size() - 1][bagSize];
+ }
+};
+```
+
+## 一维dp讲解
+
+### 1、确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
-2. 确定递推公式
+### 2、确定递推公式
-dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
+本题 二维dp 递推公式： `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]]`
-所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
+压缩成一维：`dp[j] += dp[j - coins[i]]`
-**这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];**
+这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：`dp[j] += dp[j - nums[i]]`
-3. dp数组如何初始化
+### 3. dp数组如何初始化
-首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
+装满背包容量为0 的方法是1，即不放任何物品，`dp[0] = 1`
-那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。
+### 4. 确定遍历顺序
-但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。
-
-这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。
-
-下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
-
-dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。
-
-4. 确定遍历顺序
本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？
-
-我在[动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。
+我在[完全背包（一维DP）](./背包问题完全背包一维.md)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。
**但本题就不行了！**
@@ -116,7 +256,7 @@ dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coi
所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。
-本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。
+本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是组合数。
那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。
@@ -154,7 +294,7 @@ for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
可能这里很多同学还不是很理解，**建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）**
-5. 举例推导dp数组
+### 5. 举例推导dp数组
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
@@ -208,7 +348,17 @@ public:
## 总结
-本题的递推公式，其实我们在[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就已经讲过了，**而难点在于遍历顺序！**
+本题我们从 二维 分析到 一维。
+
+大家在刚开始学习的时候，从二维开始学习 容易理解。
+
+之后，推荐大家直接掌握一维的写法，熟练后更容易写出来。
+
+本题中，二维dp主要是就要 想清楚和我们之前讲解的 [01背包理论基础](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)、[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)、 [完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 联系与区别。
+
+这也是代码随想录安排刷题顺序的精髓所在。
+
+本题的一维dp中，难点在于理解便利顺序。
在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。
@@ -216,8 +366,7 @@ public:
**如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。
-可能说到排列数录友们已经有点懵了，后面Carl还会安排求排列数的题目，到时候在对比一下，大家就会发现神奇所在！
-
+可能说到排列数录友们已经有点懵了，后面我还会安排求排列数的题目，到时候在对比一下，大家就会发现神奇所在！
## 其他语言版本
@@ -397,7 +546,7 @@ object Solution {
}
}
```
-## C
+### C
```c
int change(int amount, int* coins, int coinsSize) {
diff --git a/problems/0738.单调递增的数字.md b/problems/0738.单调递增的数字.md
index ff438e98..f2cfee04 100644
--- a/problems/0738.单调递增的数字.md
+++ b/problems/0738.单调递增的数字.md
@@ -273,22 +273,20 @@ class Solution:
### Go
```go
func monotoneIncreasingDigits(n int) int {
- s := strconv.Itoa(N)//将数字转为字符串，方便使用下标
- ss := []byte(s)//将字符串转为byte数组，方便更改。
- n := len(ss)
- if n <= 1 {
- return n
- }
- for i := n-1; i > 0; i-- {
- if ss[i-1] > ss[i] { //前一个大于后一位,前一位减1，后面的全部置为9
- ss[i-1] -= 1
- for j := i; j < n; j++ { //后面的全部置为9
- ss[j] = '9'
- }
- }
- }
- res, _ := strconv.Atoi(string(ss))
- return res
+ s := strconv.Itoa(n)
+ // 从左到右遍历字符串，找到第一个不满足单调递增的位置
+ for i := len(s) - 2; i >= 0; i-- {
+ if s[i] > s[i+1] {
+ // 将该位置的数字减1
+ s = s[:i] + string(s[i]-1) + s[i+1:]
+ // 将该位置之后的所有数字置为9
+ for j := i + 1; j < len(s); j++ {
+ s = s[:j] + "9" + s[j+1:]
+ }
+ }
+ }
+ result, _ := strconv.Atoi(s)
+ return result
}
```
@@ -447,3 +445,4 @@ public class Solution
+
diff --git a/problems/1049.最后一块石头的重量II.md b/problems/1049.最后一块石头的重量II.md
index b40ed114..0d445a71 100644
--- a/problems/1049.最后一块石头的重量II.md
+++ b/problems/1049.最后一块石头的重量II.md
@@ -42,40 +42,41 @@
## 思路
-如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：
+如果对背包问题不熟悉的话先看这两篇：
-* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
-* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
+* [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
+* [01背包理论基础（一维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
-本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，**这样就化解成01背包问题了**。
+本题其实是尽量让石头分成重量相同的两堆（尽可能相同），相撞之后剩下的石头就是最小的。
-是不是感觉和昨天讲解的[416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)非常像了。
+一堆的石头重量是sum，那么我们就尽可能拼成 重量为 sum / 2 的石头堆。 这样剩下的石头堆也是 尽可能接近 sum/2 的重量。
+那么此时问题就是有一堆石头，每个石头都有自己的重量，是否可以 装满 最大重量为 sum / 2的背包。
-本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。
+看到这里，大家是否感觉和昨天讲解的 [416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)非常像了，简直就是同一道题。
-对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。
+本题**这样就化解成01背包问题了**。
+
+**[416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html) 是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少**。
+
+物品就是石头，物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。
接下来进行动规五步曲：
-1. 确定dp数组以及下标的含义
+### 1. 确定dp数组以及下标的含义
**dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]**。
-可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。
+相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] 。
-相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”
+“最多可以装的价值为 dp[j]” 等同于 “最多可以背的重量为dp[j]”
-2. 确定递推公式
+### 2. 确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题则是：**dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);**
-一些同学可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中 又有- stones[i] 又有+stones[i]，看着有点晕乎。
-
-大家可以再去看 dp[j]的含义。
-
-3. dp数组如何初始化
+### 3. dp数组如何初始化
既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。
@@ -95,7 +96,7 @@
vector dp(15001, 0);
```
-4. 确定遍历顺序
+### 4. 确定遍历顺序
在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
@@ -111,7 +112,7 @@ for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
```
-5. 举例推导dp数组
+### 5. 举例推导dp数组
举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：
@@ -154,10 +155,7 @@ public:
本题其实和[416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)几乎是一样的，只是最后对dp[target]的处理方式不同。
-[416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)相当于是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少。
-
-
-
+**[416. 分割等和子集](https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html)相当于是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少**。
## 其他语言版本
diff --git a/problems/1365.有多少小于当前数字的数字.md b/problems/1365.有多少小于当前数字的数字.md
index 64f61096..f0a77f55 100644
--- a/problems/1365.有多少小于当前数字的数字.md
+++ b/problems/1365.有多少小于当前数字的数字.md
@@ -115,7 +115,7 @@ public:
## 其他语言版本
-### Java：
+### Java：
```Java
public int[] smallerNumbersThanCurrent(int[] nums) {
@@ -138,18 +138,51 @@ public int[] smallerNumbersThanCurrent(int[] nums) {
### Python：
-```python
+> 暴力法：
+
+```python3
class Solution:
+ def smallerNumbersThanCurrent(self, nums: List[int]) -> List[int]:
+ res = [0 for _ in range(len(nums))]
+ for i in range(len(nums)):
+ cnt = 0
+ for j in range(len(nums)):
+ if j == i:
+ continue
+ if nums[i] > nums[j]:
+ cnt += 1
+ res[i] = cnt
+ return res
+```
+
+> 排序+hash：
+
+```python3
+class Solution:
+ # 方法一：使用字典
def smallerNumbersThanCurrent(self, nums: List[int]) -> List[int]:
res = nums[:]
- hash = dict()
+ hash_dict = dict()
res.sort() # 从小到大排序之后，元素下标就是小于当前数字的数字
for i, num in enumerate(res):
- if num not in hash.keys(): # 遇到了相同的数字，那么不需要更新该 number 的情况
- hash[num] = i
+ if num not in hash_dict.keys(): # 遇到了相同的数字，那么不需要更新该 number 的情况
+ hash_dict[num] = i
for i, num in enumerate(nums):
- res[i] = hash[num]
+ res[i] = hash_dict[num]
return res
+
+ # 方法二：使用数组
+ def smallerNumbersThanCurrent(self, nums: List[int]) -> List[int]:
+ # 同步进行排序和创建新数组的操作，这样可以减少一次冗余的数组复制操作，以减少一次O(n) 的复制时间开销
+ sort_nums = sorted(nums)
+ # 题意中 0 <= nums[i] <= 100，故range的参数设为101
+ hash_lst = [0 for _ in range(101)]
+ # 从后向前遍历，这样hash里存放的就是相同元素最左面的数值和下标了
+ for i in range(len(sort_nums)-1,-1,-1):
+ hash_lst[sort_nums[i]] = i
+ for i in range(len(nums)):
+ nums[i] = hash_lst[nums[i]]
+ return nums
```
### Go：
@@ -220,7 +253,7 @@ var smallerNumbersThanCurrent = function(nums) {
};
```
-### TypeScript:
+### TypeScript：
> 暴力法：
@@ -241,7 +274,7 @@ function smallerNumbersThanCurrent(nums: number[]): number[] {
};
```
-> 排序+hash
+> 排序+hash：
```typescript
function smallerNumbersThanCurrent(nums: number[]): number[] {
@@ -260,7 +293,7 @@ function smallerNumbersThanCurrent(nums: number[]): number[] {
};
```
-### rust
+### Rust：
```rust
use std::collections::HashMap;
impl Solution {
diff --git a/problems/kamacoder/0044.开发商购买土地.md b/problems/kamacoder/0044.开发商购买土地.md
index 739e2cad..64804842 100644
--- a/problems/kamacoder/0044.开发商购买土地.md
+++ b/problems/kamacoder/0044.开发商购买土地.md
@@ -212,13 +212,14 @@ public class Main {
int horizontalCut = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
horizontalCut += horizontal[i];
- result = Math.min(result, Math.abs(sum - 2 * horizontalCut));
+ result = Math.min(result, Math.abs((sum - horizontalCut) - horizontalCut));
+ // 更新result。其中，horizontalCut表示前i行的和，sum - horizontalCut表示剩下的和，作差、取绝对值，得到题目需要的“A和B各自的子区域内的土地总价值之差”。下同。
}
int verticalCut = 0;
for (int j = 0; j < m; j++) {
verticalCut += vertical[j];
- result = Math.min(result, Math.abs(sum - 2 * verticalCut));
+ result = Math.min(result, Math.abs((sum - verticalCut) - verticalCut));
}
System.out.println(result);
@@ -526,3 +527,89 @@ int main()
}
```
+
+### Go
+
+前缀和
+
+```go
+package main
+
+import (
+ "fmt"
+ "os"
+ "bufio"
+ "strings"
+ "strconv"
+ "math"
+)
+
+func main() {
+ var n, m int
+
+ reader := bufio.NewReader(os.Stdin)
+
+ line, _ := reader.ReadString('\n')
+ line = strings.TrimSpace(line)
+ params := strings.Split(line, " ")
+
+ n, _ = strconv.Atoi(params[0])
+ m, _ = strconv.Atoi(params[1])//n和m读取完成
+
+ land := make([][]int, n)//土地矩阵初始化
+
+ for i := 0; i < n; i++ {
+ line, _ := reader.ReadString('\n')
+ line = strings.TrimSpace(line)
+ values := strings.Split(line, " ")
+ land[i] = make([]int, m)
+ for j := 0; j < m; j++ {
+ value, _ := strconv.Atoi(values[j])
+ land[i][j] = value
+ }
+ }//所有读取完成
+
+ //初始化前缀和矩阵
+ preMatrix := make([][]int, n+1)
+ for i := 0; i <= n; i++ {
+ preMatrix[i] = make([]int, m+1)
+ }
+
+ for a := 1; a < n+1; a++ {
+ for b := 1; b < m+1; b++ {
+ preMatrix[a][b] = land[a-1][b-1] + preMatrix[a-1][b] + preMatrix[a][b-1] - preMatrix[a-1][b-1]
+ }
+ }
+
+ totalSum := preMatrix[n][m]
+
+ minDiff := math.MaxInt32//初始化极大数，用于比较
+
+ //按行分割
+ for i := 1; i < n; i++ {
+ topSum := preMatrix[i][m]
+
+ bottomSum := totalSum - topSum
+
+ diff := int(math.Abs(float64(topSum - bottomSum)))
+ if diff < minDiff {
+ minDiff = diff
+ }
+ }
+
+ //按列分割
+ for j := 1; j < m; j++ {
+ topSum := preMatrix[n][j]
+
+ bottomSum := totalSum - topSum
+
+ diff := int(math.Abs(float64(topSum - bottomSum)))
+ if diff < minDiff {
+ minDiff = diff
+ }
+ }
+
+ fmt.Println(minDiff)
+}
+```
+
diff --git a/problems/kamacoder/0054.替换数字.md b/problems/kamacoder/0054.替换数字.md
index 443b8bfb..de0ab1a3 100644
--- a/problems/kamacoder/0054.替换数字.md
+++ b/problems/kamacoder/0054.替换数字.md
@@ -288,16 +288,6 @@ func main(){
-### python：
-```Python
-class Solution:
- def change(self, s):
- lst = list(s) # Python里面的string也是不可改的，所以也是需要额外空间的。空间复杂度：O(n)。
- for i in range(len(lst)):
- if lst[i].isdigit():
- lst[i] = "number"
- return ''.join(lst)
-```
### JavaScript:
```js
const readline = require("readline");
diff --git a/problems/kamacoder/0097.小明逛公园.md b/problems/kamacoder/0097.小明逛公园.md
index 27ad0eb9..dfbd6aa9 100644
--- a/problems/kamacoder/0097.小明逛公园.md
+++ b/problems/kamacoder/0097.小明逛公园.md
@@ -100,7 +100,8 @@ Floyd算法核心思想是动态规划。
这里我们用 grid数组来存图，那就把dp数组命名为 grid。
-grid[i][j][k] = m，表示 节点i 到 节点j 以[1...k] 集合为中间节点的最短距离为m。
+grid[i][j][k] = m，表示 **节点i 到 节点j 以[1...k] 集合中的一个节点为中间节点的最短距离为m**。
+
可能有录友会想，凭什么就这么定义呢？
diff --git a/problems/kamacoder/0108.冗余连接.md b/problems/kamacoder/0108.冗余连接.md
index efbbb6d2..121c2bfd 100644
--- a/problems/kamacoder/0108.冗余连接.md
+++ b/problems/kamacoder/0108.冗余连接.md
@@ -44,7 +44,7 @@
-图中的 1 2，2 3，1 3 等三条边在删除后都能使原图变为一棵合法的树。但是 1 3 由于是标准输出里最后出现的那条边，所以输出结果为 1 3
+图中的 1 2，2 3，1 3 等三条边在删除后都能使原图变为一棵合法的树。但是 1 3 由于是标准输入里最后出现的那条边，所以输出结果为 1 3
数据范围：
diff --git a/problems/二叉树的统一迭代法.md b/problems/二叉树的统一迭代法.md
index 037cf110..a6d4e3ff 100644
--- a/problems/二叉树的统一迭代法.md
+++ b/problems/二叉树的统一迭代法.md
@@ -238,7 +238,7 @@ class Solution {
while (!st.empty()) {
TreeNode node = st.peek();
if (node != null) {
- st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将右中左节点添加到栈中
+ st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将右左中节点添加到栈中（前序遍历-中左右，入栈顺序右左中）
if (node.right!=null) st.push(node.right); // 添加右节点（空节点不入栈）
if (node.left!=null) st.push(node.left); // 添加左节点（空节点不入栈）
st.push(node); // 添加中节点
@@ -266,11 +266,10 @@ public List inorderTraversal(TreeNode root) {
while (!st.empty()) {
TreeNode node = st.peek();
if (node != null) {
- st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将右中左节点添加到栈中
+ st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将右中左节点添加到栈中（中序遍历-左中右，入栈顺序右中左）
if (node.right!=null) st.push(node.right); // 添加右节点（空节点不入栈）
st.push(node); // 添加中节点
st.push(null); // 中节点访问过，但是还没有处理，加入空节点做为标记。
-
if (node.left!=null) st.push(node.left); // 添加左节点（空节点不入栈）
} else { // 只有遇到空节点的时候，才将下一个节点放进结果集
st.pop(); // 将空节点弹出
@@ -294,7 +293,7 @@ class Solution {
while (!st.empty()) {
TreeNode node = st.peek();
if (node != null) {
- st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将右中左节点添加到栈中
+ st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将中右左节点添加到栈中（后序遍历-左右中，入栈顺序中右左）
st.push(node); // 添加中节点
st.push(null); // 中节点访问过，但是还没有处理，加入空节点做为标记。
if (node.right!=null) st.push(node.right); // 添加右节点（空节点不入栈）
@@ -975,3 +974,4 @@ public IList PostorderTraversal(TreeNode root)
+
diff --git a/problems/周总结/20210107动规周末总结.md b/problems/周总结/20210107动规周末总结.md
index 4cab00cc..da2ebd30 100644
--- a/problems/周总结/20210107动规周末总结.md
+++ b/problems/周总结/20210107动规周末总结.md
@@ -99,7 +99,7 @@ public:
这道绝佳的面试题我没有用过，如果录友们有面试别人的需求，就把这个套路拿去吧。
-我在[通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！](https://programmercarl.com/前序/通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！.html)中，以我自己面试别人的真实经历，通过求x的n次方 这么简单的题目，就可以考察候选人对算法性能以及递归的理解深度，录友们可以看看，绝对有收获！
+我在[通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！](../前序/递归算法的时间复杂度.md)中，以我自己面试别人的真实经历，通过求x的n次方 这么简单的题目，就可以考察候选人对算法性能以及递归的理解深度，录友们可以看看，绝对有收获！
## 周四
diff --git a/problems/背包理论基础01背包-1.md b/problems/背包理论基础01背包-1.md
index 259a439b..d9b953c0 100644
--- a/problems/背包理论基础01背包-1.md
+++ b/problems/背包理论基础01背包-1.md
@@ -41,8 +41,6 @@ leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品只能用一次**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
-
-
这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。
这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？
@@ -73,7 +71,7 @@ leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，
依然动规五部曲分析一波。
-1. 确定dp数组以及下标的含义
+#### 1. 确定dp数组以及下标的含义
我们需要使用二维数组，为什么呢？
@@ -131,7 +129,7 @@ i 来表示物品、j表示背包容量。
**要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的**，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。
-2. 确定递推公式
+#### 2. 确定递推公式
这里在把基本信息给出来：
@@ -176,7 +174,7 @@ i 来表示物品、j表示背包容量。
递归公式： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);`
-3. dp数组如何初始化
+#### 3. dp数组如何初始化
**关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱**。
@@ -197,8 +195,8 @@ dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包
代码初始化如下：
```CPP
-for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
- dp[0][j] = 0;
+for (int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
+ dp[i][0] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
@@ -236,7 +234,7 @@ for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
**费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的**。
-4. 确定遍历顺序
+#### 4. 确定遍历顺序
在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量
@@ -293,7 +291,7 @@ dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括
**其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了**。
-5. 举例推导dp数组
+#### 5. 举例推导dp数组
来看一下对应的dp数组的数值，如图：
diff --git a/problems/背包问题完全背包一维.md b/problems/背包问题完全背包一维.md
new file mode 100644
index 00000000..a8e241c3
--- /dev/null
+++ b/problems/背包问题完全背包一维.md
@@ -0,0 +1,211 @@
+
+# 完全背包-一维数组
+
+本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第52题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052)去练习。
+
+## 算法公开课
+
+**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[带你学透完全背包问题！ ](https://www.bilibili.com/video/BV1uK411o7c9/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
+
+
+## 思路
+
+本篇我们不再做五部曲分析，核心内容 在 01背包二维 、01背包一维 和 完全背包二维 的讲解中都讲过了。
+
+上一篇我们刚刚讲了完全背包二维DP数组的写法：
+
+```CPP
+for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
+ for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
+ if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
+ else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
+ }
+}
+```
+
+压缩成一维DP数组，也就是将上一层拷贝到当前层。
+
+将上一层dp[i-1] 的那一层拷贝到 当前层 dp[i] ，那么 递推公式由：`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])` 变成： `dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])`
+
+这里有录友想，这样拷贝的话， dp[i - 1][j] 的数值会不会 覆盖了 dp[i][j] 的数值呢？
+
+并不会，因为 当前层 dp[i][j] 是空的，是没有计算过的。
+
+变成 `dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])` 我们压缩成一维dp数组，去掉 i 层数维度。
+
+即：`dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])`
+
+
+接下来我们重点讲一下遍历顺序。
+
+看过这两篇的话：
+
+* [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
+* [01背包理论基础（一维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
+
+就知道了，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。
+
+**在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的**！
+
+因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
+
+遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：
+
+
+
+遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：
+
+
+
+看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。
+
+先遍历背包再遍历物品，代码如下：
+
+```CPP
+for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
+ for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
+ if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
+ }
+ cout << endl;
+}
+```
+
+先遍历物品再遍历背包：
+
+```CPP
+for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
+ for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
+ if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
+ }
+}
+```
+
+整体代码如下：
+
+```cpp
+#include
+#include
+using namespace std;
+
+int main() {
+ int N, bagWeight;
+ cin >> N >> bagWeight;
+ vector weight(N, 0);
+ vector value(N, 0);
+ for (int i = 0; i < N; i++) {
+ int w;
+ int v;
+ cin >> w >> v;
+ weight[i] = w;
+ value[i] = v;
+ }
+
+ vector dp(bagWeight + 1, 0);
+ for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
+ for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
+ if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
+ }
+ }
+ cout << dp[bagWeight] << endl;
+
+ return 0;
+}
+```
+
+
+
+## 总结
+
+细心的同学可能发现，**全文我说的都是对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！**
+
+但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
+
+如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。
+
+这个区别，我将在后面讲解具体leetcode题目中给大家介绍，因为这块如果不结合具题目，单纯的介绍原理估计很多同学会越看越懵！
+
+别急，下一篇就是了！
+
+最后，**又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后再问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？**
+
+这个简单的完全背包问题，估计就可以难住不少候选人了。
+
+
+## 其他语言版本
+
+### Java：
+
+```java
+import java.util.Scanner;
+
+public class Main {
+ public static void main(String[] args) {
+ Scanner scanner = new Scanner(System.in);
+ int N = scanner.nextInt();
+ int bagWeight = scanner.nextInt();
+
+ int[] weight = new int[N];
+ int[] value = new int[N];
+ for (int i = 0; i < N; i++) {
+ weight[i] = scanner.nextInt();
+ value[i] = scanner.nextInt();
+ }
+
+ int[] dp = new int[bagWeight + 1];
+
+ for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
+ for (int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
+ if (j >= weight[i]) {
+ dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
+ }
+ }
+ }
+
+ System.out.println(dp[bagWeight]);
+ scanner.close();
+ }
+}
+
+```
+
+
+
+### Python：
+
+```python
+def complete_knapsack(N, bag_weight, weight, value):
+ dp = [0] * (bag_weight + 1)
+
+ for j in range(bag_weight + 1): # 遍历背包容量
+ for i in range(len(weight)): # 遍历物品
+ if j >= weight[i]:
+ dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
+
+ return dp[bag_weight]
+
+# 输入
+N, bag_weight = map(int, input().split())
+weight = []
+value = []
+for _ in range(N):
+ w, v = map(int, input().split())
+ weight.append(w)
+ value.append(v)
+
+# 输出结果
+print(complete_knapsack(N, bag_weight, weight, value))
+
+
+```
+
+
+### Go：
+
+```go
+
+```
+### Javascript:
+
+```Javascript
+```
+
diff --git a/problems/背包问题理论基础完全背包.md b/problems/背包问题理论基础完全背包.md
index ae1e9e0b..0cc6e915 100644
--- a/problems/背包问题理论基础完全背包.md
+++ b/problems/背包问题理论基础完全背包.md
@@ -5,18 +5,11 @@
参与本项目，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们受益！
-# 动态规划：完全背包理论基础
+# 完全背包理论基础-二维DP数组
本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第52题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052)去练习，题意是一样的。
-## 算法公开课
-
-**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[带你学透完全背包问题！ ](https://www.bilibili.com/video/BV1uK411o7c9/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。
-
-## 思路
-
-### 完全背包
-
+## 完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次）**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
@@ -24,14 +17,12 @@
同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。
-在下面的讲解中，我依然举这个例子：
+在下面的讲解中，我拿下面数据举例子：
-背包最大重量为4。
-
-物品为：
+背包最大重量为4，物品为：
| | 重量 | 价值 |
-| --- | --- | --- |
+| ----- | ---- | ---- |
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
@@ -40,471 +31,292 @@
问背包能背的物品最大价值是多少？
-01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！
+**如果没看到之前的01背包讲解，已经要先仔细看如下两篇，01背包是基础，本篇在讲解完全背包，之前的背包基础我将不会重复讲解**。
-关于01背包我如下两篇已经进行深入分析了：
+* [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
+* [01背包理论基础（一维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
-* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
-* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
+动规五部曲分析完全背包，为了从原理上讲清楚，我们先从二维dp数组分析：
-首先再回顾一下01背包的核心代码
-```cpp
-for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
- for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
- dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
- }
+### 1. 确定dp数组以及下标的含义
+
+**dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。
+
+很多录友也会疑惑，凭什么上来就定义 dp数组，思考过程是什么样的， 这个思考过程我在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 “确定dp数组以及下标的含义” 有详细讲解。
+
+
+### 2. 确定递推公式
+
+这里在把基本信息给出来：
+
+| | 重量 | 价值 |
+| ----- | ---- | ---- |
+| 物品0 | 1 | 15 |
+| 物品1 | 3 | 20 |
+| 物品2 | 4 | 30 |
+
+对于递推公式，首先我们要明确有哪些方向可以推导出 dp[i][j]。
+
+这里依然拿dp[1][4]的状态来举例： （[01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中也是这个例子，要注意下面的不同之处）
+
+求取 dp[1][4] 有两种情况：
+
+1. 放物品1
+2. 还是不放物品1
+
+如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。
+
+推导方向如图：
+
+
+
+如果放物品1， **那么背包要先留出物品1的容量**，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。
+
+容量为1，只考虑放物品0 和物品1 的最大价值是 dp[1][1]， **注意 这里和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 有所不同了**！
+
+在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中，背包先空留出物品1的容量，此时容量为1，只考虑放物品0的最大价值是 dp[0][1]，**因为01背包每个物品只有一个，既然空出物品1，那背包中也不会再有物品1**！
+
+而在完全背包中，物品是可以放无限个，所以 即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1，所以此时我们依然考虑放 物品0 和 物品1 的最大价值即： **dp[1][1]， 而不是 dp[0][1]**
+
+所以 放物品1 的情况 = dp[1][1] + 物品1 的价值，推导方向如图：
+
+
+
+
+（**注意上图和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的区别**，对于理解完全背包很重要）
+
+两种情况，分别是放物品1 和 不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值）
+
+`dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[1][1] + 物品1 的价值) `
+
+以上过程，抽象化如下：
+
+* **不放物品i**：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。
+
+* **放物品i**：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
+
+递推公式： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);`
+
+（注意，完全背包二维dp数组 和 01背包二维dp数组 递推公式的区别，01背包中是 `dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])`）
+
+### 3. dp数组如何初始化
+
+**关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱**。
+
+首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
+
+
+
+在看其他情况。
+
+状态转移方程 `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);` 可以看出有一个方向 i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
+
+dp[0][j]，即：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
+
+那么很明显当 `j < weight[0]`的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
+
+当`j >= weight[0]`时，**dp[0][j] 如果能放下weight[0]的话，就一直装，每一种物品有无限个**。
+
+代码初始化如下：
+
+```CPP
+for (int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
+ dp[i][0] = 0;
+}
+
+// 正序遍历，如果能放下就一直装物品0
+for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)
+ dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
+```
+
+（注意上面初始化和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)的区别在于物品有无限个）
+
+
+此时dp数组初始化情况如图所示：
+
+
+
+dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？
+
+其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由上方和左方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。
+
+但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。
+
+最后初始化代码如下：
+
+```CPP
+// 初始化 dp
+vector> dp(weight.size(), vector(bagweight + 1, 0));
+for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
+ dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
```
-我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
-而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
+### 4. 确定遍历顺序
-```CPP
-// 先遍历物品，再遍历背包
-for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
- for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
- dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
+[01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中我们讲过，01背包二维DP数组，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的。
- }
-}
-```
+因为两种遍历顺序，对于二维dp数组来说，递推公式所需要的值，二维dp数组里对应的位置都有。
-至于为什么，我在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)中也做了讲解。
+详细可以看 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 【遍历顺序】的讲解
-dp状态图如下：
-
-
-
-
-相信很多同学看网上的文章，关于完全背包介绍基本就到为止了。
-
-**其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？**
-
-这个问题很多题解关于这里都是轻描淡写就略过了，大家都默认 遍历物品在外层，遍历背包容量在内层，好像本应该如此一样，那么为什么呢？
-
-难道就不能遍历背包容量在外层，遍历物品在内层？
-
-
-看过这两篇的话：
-* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
-* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
-
-就知道了，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。
-
-**在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！**
-
-因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
-
-遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：
-
-
-
-
-遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：
-
-
-
-看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。
-
-先遍历背包在遍历物品，代码如下：
-
-```CPP
-// 先遍历背包，再遍历物品
-for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
- for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
- if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
- }
- cout << endl;
-}
-```
-
-完整的C++测试代码如下：
-
-```CPP
-// 先遍历物品，在遍历背包
-void test_CompletePack() {
- vector weight = {1, 3, 4};
- vector value = {15, 20, 30};
- int bagWeight = 4;
- vector dp(bagWeight + 1, 0);
- for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
- for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
- dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
- }
- }
- cout << dp[bagWeight] << endl;
-}
-int main() {
- test_CompletePack();
-}
-
-```
-
-```CPP
-
-// 先遍历背包，再遍历物品
-void test_CompletePack() {
- vector weight = {1, 3, 4};
- vector value = {15, 20, 30};
- int bagWeight = 4;
-
- vector dp(bagWeight + 1, 0);
+所以既可以 先遍历物品再遍历背包：
+```CPP
+for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
- for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
- if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
- }
+ if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
+ else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
}
- cout << dp[bagWeight] << endl;
}
-int main() {
- test_CompletePack();
-}
-
```
-本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第52题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052)去练习，题意是一样的，C++代码如下：
+也可以 先遍历背包再遍历物品：
-```cpp
+```CPP
+for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
+ for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
+ if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
+ else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
+ }
+}
+```
+
+### 5. 举例推导dp数组
+
+以本篇举例数据为例，填满了dp二维数组如图：
+
+
+
+因为 物品0 的性价比是最高的，而且 在完全背包中，每一类物品都有无限个，所以有无限个物品0，既然物品0 性价比最高，当然是优先放物品0。
+
+
+### 本题代码：
+
+
+```CPP
#include
#include
using namespace std;
-// 先遍历背包，再遍历物品
-void test_CompletePack(vector weight, vector value, int bagWeight) {
+int main() {
+ int n, bagWeight;
+ int w, v;
+ cin >> n >> bagWeight;
+ vector weight(n);
+ vector value(n);
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ cin >> weight[i] >> value[i];
+ }
- vector dp(bagWeight + 1, 0);
+ vector> dp(n, vector(bagWeight + 1, 0));
- for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
- for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
- if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
+ // 初始化
+ for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)
+ dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
+
+ for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
+ for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
+ if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
+ else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
- cout << dp[bagWeight] << endl;
-}
-int main() {
- int N, V;
- cin >> N >> V;
- vector weight;
- vector value;
- for (int i = 0; i < N; i++) {
- int w;
- int v;
- cin >> w >> v;
- weight.push_back(w);
- value.push_back(v);
- }
- test_CompletePack(weight, value, V);
+
+ cout << dp[n - 1][bagWeight] << endl;
+
return 0;
}
+
```
-
-
-## 总结
-
-细心的同学可能发现，**全文我说的都是对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！**
-
-但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
-
-如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。
-
-这个区别，我将在后面讲解具体leetcode题目中给大家介绍，因为这块如果不结合具题目，单纯的介绍原理估计很多同学会越看越懵！
-
-别急，下一篇就是了！
-
-最后，**又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后再问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？**
-这个简单的完全背包问题，估计就可以难住不少候选人了。
-
-
-
+关于一维dp数组，大家看这里：[完全背包一维dp数组讲解](./背包问题完全背包一维.md)
## 其他语言版本
-### Java：
+### Java
-```java
-//先遍历物品，再遍历背包
-private static void testCompletePack(){
- int[] weight = {1, 3, 4};
- int[] value = {15, 20, 30};
- int bagWeight = 4;
- int[] dp = new int[bagWeight + 1];
- for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
- for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
- dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
+```Java
+import java.util.Scanner;
+
+public class Main {
+ public static void main(String[] args) {
+ Scanner scanner = new Scanner(System.in);
+ int n = scanner.nextInt();
+ int bagWeight = scanner.nextInt();
+
+ int[] weight = new int[n];
+ int[] value = new int[n];
+
+ for (int i = 0; i < n; i++) {
+ weight[i] = scanner.nextInt();
+ value[i] = scanner.nextInt();
}
- }
- for (int maxValue : dp){
- System.out.println(maxValue + " ");
- }
-}
-//先遍历背包，再遍历物品
-private static void testCompletePackAnotherWay(){
- int[] weight = {1, 3, 4};
- int[] value = {15, 20, 30};
- int bagWeight = 4;
- int[] dp = new int[bagWeight + 1];
- for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量
- for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品
- if (i - weight[j] >= 0){
- dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
- }
+ int[][] dp = new int[n][bagWeight + 1];
+
+ // 初始化
+ for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
+ dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
- }
- for (int maxValue : dp){
- System.out.println(maxValue + " ");
- }
-}
-```
-
-
-### Python：
-
-先遍历物品，再遍历背包（无参版）
-```python
-def test_CompletePack():
- weight = [1, 3, 4]
- value = [15, 20, 30]
- bagWeight = 4
- dp = [0] * (bagWeight + 1)
- for i in range(len(weight)): # 遍历物品
- for j in range(weight[i], bagWeight + 1): # 遍历背包容量
- dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
- print(dp[bagWeight])
-
-test_CompletePack()
-
-```
-
-先遍历物品，再遍历背包（有参版）
-```python
-def test_CompletePack(weight, value, bagWeight):
- dp = [0] * (bagWeight + 1)
- for i in range(len(weight)): # 遍历物品
- for j in range(weight[i], bagWeight + 1): # 遍历背包容量
- dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
- return dp[bagWeight]
-
-if __name__ == "__main__":
- weight = [1, 3, 4]
- value = [15, 20, 30]
- bagWeight = 4
- result = test_CompletePack(weight, value, bagWeight)
- print(result)
-
-```
-先遍历背包，再遍历物品（无参版）
-```python
-def test_CompletePack():
- weight = [1, 3, 4]
- value = [15, 20, 30]
- bagWeight = 4
-
- dp = [0] * (bagWeight + 1)
-
- for j in range(bagWeight + 1): # 遍历背包容量
- for i in range(len(weight)): # 遍历物品
- if j - weight[i] >= 0:
- dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
-
- print(dp[bagWeight])
-
-test_CompletePack()
-
-
-```
-
-先遍历背包，再遍历物品（有参版）
-```python
-def test_CompletePack(weight, value, bagWeight):
- dp = [0] * (bagWeight + 1)
- for j in range(bagWeight + 1): # 遍历背包容量
- for i in range(len(weight)): # 遍历物品
- if j - weight[i] >= 0:
- dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
- return dp[bagWeight]
-
-
-if __name__ == "__main__":
- weight = [1, 3, 4]
- value = [15, 20, 30]
- bagWeight = 4
- result = test_CompletePack(weight, value, bagWeight)
- print(result)
-
-```
-
-### Go：
-
-```go
-
-// test_CompletePack1 先遍历物品, 在遍历背包
-func test_CompletePack1(weight, value []int, bagWeight int) int {
- // 定义dp数组 和初始化
- dp := make([]int, bagWeight+1)
- // 遍历顺序
- for i := 0; i < len(weight); i++ {
- // 正序会多次添加 value[i]
- for j := weight[i]; j <= bagWeight; j++ {
- // 推导公式
- dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
- // debug
- //fmt.Println(dp)
- }
- }
- return dp[bagWeight]
-}
-
-// test_CompletePack2 先遍历背包, 在遍历物品
-func test_CompletePack2(weight, value []int, bagWeight int) int {
- // 定义dp数组 和初始化
- dp := make([]int, bagWeight+1)
- // 遍历顺序
- // j从0 开始
- for j := 0; j <= bagWeight; j++ {
- for i := 0; i < len(weight); i++ {
- if j >= weight[i] {
- // 推导公式
- dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
- }
- // debug
- //fmt.Println(dp)
- }
- }
- return dp[bagWeight]
-}
-
-func max(a, b int) int {
- if a > b {
- return a
- }
- return b
-}
-
-func main() {
- weight := []int{1, 3, 4}
- price := []int{15, 20, 30}
- fmt.Println(test_CompletePack1(weight, price, 4))
- fmt.Println(test_CompletePack2(weight, price, 4))
-}
-```
-### JavaScript:
-
-```Javascript
-// 先遍历物品，再遍历背包容量
-function test_completePack1() {
- let weight = [1, 3, 5]
- let value = [15, 20, 30]
- let bagWeight = 4
- let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
- for(let i = 0; i <= weight.length; i++) {
- for(let j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) {
- dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
- }
- }
- console.log(dp)
-}
-
-// 先遍历背包容量，再遍历物品
-function test_completePack2() {
- let weight = [1, 3, 5]
- let value = [15, 20, 30]
- let bagWeight = 4
- let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
- for(let j = 0; j <= bagWeight; j++) {
- for(let i = 0; i < weight.length; i++) {
- if (j >= weight[i]) {
- dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
- }
- }
- }
- console.log(2, dp);
-}
-```
-
-### TypeScript：
-
-```typescript
-// 先遍历物品，再遍历背包容量
-function test_CompletePack(): void {
- const weight: number[] = [1, 3, 4];
- const value: number[] = [15, 20, 30];
- const bagSize: number = 4;
- const dp: number[] = new Array(bagSize + 1).fill(0);
- for (let i = 0; i < weight.length; i++) {
- for (let j = weight[i]; j <= bagSize; j++) {
- dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
- }
- }
- console.log(dp);
-}
-test_CompletePack();
-```
-
-### Scala:
-
-```scala
-// 先遍历物品，再遍历背包容量
-object Solution {
- def test_CompletePack() {
- var weight = Array[Int](1, 3, 4)
- var value = Array[Int](15, 20, 30)
- var baseweight = 4
-
- var dp = new Array[Int](baseweight + 1)
-
- for (i <- 0 until weight.length) {
- for (j <- weight(i) to baseweight) {
- dp(j) = math.max(dp(j), dp(j - weight(i)) + value(i))
- }
- }
- dp(baseweight)
- }
-}
-```
-
-### Rust:
-
-```rust
-impl Solution {
- // 先遍历物品
- fn complete_pack() {
- let (goods, bag_size) = (vec![(1, 15), (3, 20), (4, 30)], 4);
- let mut dp = vec![0; bag_size + 1];
- for (weight, value) in goods {
- for j in weight..=bag_size {
- dp[j] = dp[j].max(dp[j - weight] + value);
- }
- }
- println!("先遍历物品：{}", dp[bag_size]);
- }
-
- // 先遍历背包
- fn complete_pack_after() {
- let (goods, bag_size) = (vec![(1, 15), (3, 20), (4, 30)], 4);
- let mut dp = vec![0; bag_size + 1];
- for i in 0..=bag_size {
- for (weight, value) in &goods {
- if i >= *weight {
- dp[i] = dp[i].max(dp[i - weight] + value);
+ // 动态规划
+ for (int i = 1; i < n; i++) {
+ for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
+ if (j < weight[i]) {
+ dp[i][j] = dp[i - 1][j];
+ } else {
+ dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
- println!("先遍历背包：{}", dp[bag_size]);
+
+ System.out.println(dp[n - 1][bagWeight]);
+ scanner.close();
}
}
-#[test]
-fn test_complete_pack() {
- Solution::complete_pack();
- Solution::complete_pack_after();
-}
```
+### Go
+
+### Python
+
+```python
+def knapsack(n, bag_weight, weight, value):
+ dp = [[0] * (bag_weight + 1) for _ in range(n)]
+
+ # 初始化
+ for j in range(weight[0], bag_weight + 1):
+ dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]
+
+ # 动态规划
+ for i in range(1, n):
+ for j in range(bag_weight + 1):
+ if j < weight[i]:
+ dp[i][j] = dp[i - 1][j]
+ else:
+ dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])
+
+ return dp[n - 1][bag_weight]
+
+# 输入
+n, bag_weight = map(int, input().split())
+weight = []
+value = []
+for _ in range(n):
+ w, v = map(int, input().split())
+ weight.append(w)
+ value.append(v)
+
+# 输出结果
+print(knapsack(n, bag_weight, weight, value))
+
+```
+
+### JavaScript
+
+
-11. [动态规划：01背包理论基础](./problems/背包理论基础01背包-1.md)
-12. [动态规划：01背包理论基础（滚动数组）](./problems/背包理论基础01背包-2.md)
+11. [动态规划：01背包理论基础（二维dp数组）](./problems/背包理论基础01背包-1.md)
+12. [动态规划：01背包理论基础（一维dp数组）](./problems/背包理论基础01背包-2.md)
13. [动态规划：416.分割等和子集](./problems/0416.分割等和子集.md)
14. [动态规划：1049.最后一块石头的重量II](./problems/1049.最后一块石头的重量II.md)
15. [本周小结！（动态规划系列三）](./problems/周总结/20210121动规周末总结.md)
16. [动态规划：494.目标和](./problems/0494.目标和.md)
17. [动态规划：474.一和零](./problems/0474.一和零.md)
-18. [动态规划：完全背包总结篇](./problems/背包问题理论基础完全背包.md)
-19. [动态规划：518.零钱兑换II](./problems/0518.零钱兑换II.md)
-20. [本周小结！（动态规划系列四）](./problems/周总结/20210128动规周末总结.md)
-21. [动态规划：377.组合总和Ⅳ](./problems/0377.组合总和Ⅳ.md)
-22. [动态规划：70.爬楼梯（完全背包版本）](./problems/0070.爬楼梯完全背包版本.md)
-23. [动态规划：322.零钱兑换](./problems/0322.零钱兑换.md)
-24. [动态规划：279.完全平方数](./problems/0279.完全平方数.md)
-25. [本周小结！（动态规划系列五）](./problems/周总结/20210204动规周末总结.md)
-26. [动态规划：139.单词拆分](./problems/0139.单词拆分.md)
-27. [动态规划：多重背包理论基础](./problems/背包问题理论基础多重背包.md)
-28. [背包问题总结篇](./problems/背包总结篇.md)
+18. [动态规划：完全背包理论基础（二维dp数组）](./problems/背包问题理论基础完全背包.md)
+19. [动态规划：完全背包理论基础（一维dp数组）](./problems/背包问题完全背包一维.md)
+20. [动态规划：518.零钱兑换II](./problems/0518.零钱兑换II.md)
+21. [本周小结！（动态规划系列四）](./problems/周总结/20210128动规周末总结.md)
+22. [动态规划：377.组合总和Ⅳ](./problems/0377.组合总和Ⅳ.md)
+23. [动态规划：70.爬楼梯（完全背包版本）](./problems/0070.爬楼梯完全背包版本.md)
+24. [动态规划：322.零钱兑换](./problems/0322.零钱兑换.md)
+25. [动态规划：279.完全平方数](./problems/0279.完全平方数.md)
+26. [本周小结！（动态规划系列五）](./problems/周总结/20210204动规周末总结.md)
+27. [动态规划：139.单词拆分](./problems/0139.单词拆分.md)
+28. [动态规划：多重背包理论基础](./problems/背包问题理论基础多重背包.md)
+29. [背包问题总结篇](./problems/背包总结篇.md)
打家劫舍系列：
@@ -408,21 +409,6 @@
（持续更新中....）
-
-## 十大排序
-
-## 数论
-
-## 高级数据结构经典题目
-
-* 并查集
-* 最小生成树
-* 线段树
-* 树状数组
-* 字典树
-
-## 海量数据处理
-
# 补充题目
以上题目是重中之重，大家至少要刷两遍以上才能彻底理解，如果熟练以上题目之后还在找其他题目练手，可以再刷以下题目：
diff --git a/problems/0018.四数之和.md b/problems/0018.四数之和.md
index 64923e41..f3188b0f 100644
--- a/problems/0018.四数之和.md
+++ b/problems/0018.四数之和.md
@@ -35,7 +35,7 @@
四数之和，和[15.三数之和](https://programmercarl.com/0015.三数之和.html)是一个思路，都是使用双指针法, 基本解法就是在[15.三数之和](https://programmercarl.com/0015.三数之和.html) 的基础上再套一层for循环。
-但是有一些细节需要注意，例如： 不要判断`nums[k] > target` 就返回了，三数之和 可以通过 `nums[i] > 0` 就返回了，因为 0 已经是确定的数了，四数之和这道题目 target是任意值。比如：数组是`[-4, -3, -2, -1]`，`target`是`-10`，不能因为`-4 > -10`而跳过。但是我们依旧可以去做剪枝，逻辑变成`nums[i] > target && (nums[i] >=0 || target >= 0)`就可以了。
+但是有一些细节需要注意，例如： 不要判断`nums[k] > target` 就返回了，三数之和 可以通过 `nums[i] > 0` 就返回了，因为 0 已经是确定的数了，四数之和这道题目 target是任意值。比如：数组是`[-4, -3, -2, -1]`，`target`是`-10`，不能因为`-4 > -10`而跳过。但是我们依旧可以去做剪枝，逻辑变成`nums[k] > target && (nums[k] >=0 || target >= 0)`就可以了。
[15.三数之和](https://programmercarl.com/0015.三数之和.html)的双指针解法是一层for循环num[i]为确定值，然后循环内有left和right下标作为双指针，找到nums[i] + nums[left] + nums[right] == 0。
@@ -253,7 +253,7 @@ public class Solution {
for (int k = 0; k < nums.length; k++) {
// 剪枝处理
if (nums[k] > target && nums[k] >= 0) {
- break;
+ break; // 此处的break可以等价于return result;
}
// 对nums[k]去重
if (k > 0 && nums[k] == nums[k - 1]) {
@@ -262,7 +262,7 @@ public class Solution {
for (int i = k + 1; i < nums.length; i++) {
// 第二级剪枝
if (nums[k] + nums[i] > target && nums[k] + nums[i] >= 0) {
- break;
+ break; // 注意是break到上一级for循环，如果直接return result;会有遗漏
}
// 对nums[i]去重
if (i > k + 1 && nums[i] == nums[i - 1]) {
@@ -802,3 +802,4 @@ end