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problems/为了绝杀编辑距离，卡尔做了三步铺垫.md

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+# 动态规划之编辑距离总结篇
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+本周我们讲了动态规划之终极绝杀：编辑距离，为什么叫做终极绝杀呢？
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+细心的录友应该知道，我们在前三篇动态规划的文章就一直为 编辑距离 这道题目做铺垫。
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+## 判断子序列
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+[动态规划：392.判断子序列](https://mp.weixin.qq.com/s/2pjT4B4fjfOx5iB6N6xyng) 给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。
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+这道题目 其实是可以用双指针或者贪心的的，但是我在开篇的时候就说了这是编辑距离的入门题目，因为从题意中我们也可以发现，只需要计算删除的情况，不用考虑增加和替换的情况。
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+* if (s[i - 1] == t[j - 1])
+    * t中找到了一个字符在s中也出现了
+* if (s[i - 1] != t[j - 1])
+    * 相当于t要删除元素，继续匹配
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+状态转移方程：
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+```
+if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
+else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
+```
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+## 不同的子序列
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+[动态规划：115.不同的子序列](https://mp.weixin.qq.com/s/1SULY2XVSROtk_hsoVLu8A) 给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。
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+本题虽然也只有删除操作，不用考虑替换增加之类的，但相对于[动态规划：392.判断子序列](https://mp.weixin.qq.com/s/2pjT4B4fjfOx5iB6N6xyng)就有难度了，这道题目双指针法可就做不了。
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+当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。
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+一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。
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+一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。
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+这里可能有同学不明白了，为什么还要考虑 不用s[i - 1]来匹配，都相同了指定要匹配啊。
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+例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。
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+当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。
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+所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
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+当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配，即：dp[i - 1][j]
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+所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
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+状态转移方程：
+```C++
+if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
+    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
+} else {
+    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
+}
+```
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+## 两个字符串的删除操作
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+[动态规划：583.两个字符串的删除操作](https://mp.weixin.qq.com/s/a8BerpqSf76DCqkPDJrpYg)给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。
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+本题和[动态规划：115.不同的子序列](https://mp.weixin.qq.com/s/1SULY2XVSROtk_hsoVLu8A)相比，其实就是两个字符串可以都可以删除了，情况虽说复杂一些，但整体思路是不变的。
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+* 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
+* 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候
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+当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
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+当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：
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+情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
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+情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
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+情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2
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+那最后当然是取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});
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+状态转移方程：
+```C++
+if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
+    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
+} else {
+    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});
+}
+```
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+## 编辑距离
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+[动态规划：72.编辑距离](https://mp.weixin.qq.com/s/8aG71XjSgZG6kZbiAdkJnQ) 给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
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+编辑距离终于来了，**有了前面三道题目的铺垫，应该有思路了**，本题是两个字符串可以增删改，比 [动态规划：判断子序列](https://mp.weixin.qq.com/s/2pjT4B4fjfOx5iB6N6xyng)，[动态规划：不同的子序列](https://mp.weixin.qq.com/s/1SULY2XVSROtk_hsoVLu8A)，[动态规划：两个字符串的删除操作](https://mp.weixin.qq.com/s/a8BerpqSf76DCqkPDJrpYg)都要复杂的多。
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+在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：
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+* if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
+    * 不操作
+* if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
+    * 增
+    * 删
+    * 换
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+也就是如上四种情况。
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+if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
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+此时可能有同学有点不明白，为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？
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+那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1] 就是 dp[i][j]了。
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+在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下dp[i][j]的定义，就明白了。
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+**在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！**
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+if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？
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+操作一：word1增加一个元素，使其word1[i - 1]与word2[j - 1]相同，那么就是以下标i-2为结尾的word1 与 i-1为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个增加元素的操作。
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+即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
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+操作二：word2添加一个元素，使其word1[i - 1]与word2[j - 1]相同，那么就是以下标i-1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个增加元素的操作。
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+即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
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+这里有同学发现了，怎么都是添加元素，删除元素去哪了。
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+**word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素**，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word2添加一个元素d，也就是相当于word1删除一个元素d，操作数是一样！
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+操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增加元素，那么以下标i-2为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个替换元素的操作。
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+即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
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+综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
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+递归公式代码如下：
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+```C++
+if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
+    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
+}
+else {
+    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
+}
+```
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+## 总结
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+心思的录友应该会发现我用了三道题做铺垫，才最后引出了[动态规划：72.编辑距离](https://mp.weixin.qq.com/s/8aG71XjSgZG6kZbiAdkJnQ) ，Carl的良苦用心呀，你们体会到了嘛！
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