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# 完全背包理论基础-二维DP数组

本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第52题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052)去练习，题意是一样的。

## 完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次）**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

**完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件**。

同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。

在下面的讲解中，我拿下面数据举例子：

背包最大重量为4，物品为：

|       | 重量 | 价值 |
| ----- | ---- | ---- |
| 物品0 | 1    | 15   |
| 物品1 | 3    | 20   |
| 物品2 | 4    | 30   |

**每件商品都有无限个！**

问背包能背的物品最大价值是多少？

**如果没看到之前的01背包讲解，已经要先仔细看如下两篇，01背包是基础，本篇在讲解完全背包，之前的背包基础我将不会重复讲解**。

* [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
* [01背包理论基础（一维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)

动规五部曲分析完全背包，为了从原理上讲清楚，我们先从二维dp数组分析： 

### 1. 确定dp数组以及下标的含义

**dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。

很多录友也会疑惑，凭什么上来就定义 dp数组，思考过程是什么样的， 这个思考过程我在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 “确定dp数组以及下标的含义” 有详细讲解。 


### 2. 确定递推公式

这里在把基本信息给出来：

|       | 重量 | 价值 |
| ----- | ---- | ---- |
| 物品0 | 1    | 15   |
| 物品1 | 3    | 20   |
| 物品2 | 4    | 30   |

对于递推公式，首先我们要明确有哪些方向可以推导出 dp[i][j]。 

这里依然拿dp[1][4]的状态来举例： （[01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中也是这个例子，要注意下面的不同之处）

求取 dp[1][4] 有两种情况： 

1. 放物品1  
2. 还是不放物品1

如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。 

推导方向如图： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20241126112952.png)

如果放物品1， **那么背包要先留出物品1的容量**，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。 

容量为1，只考虑放物品0 和物品1 的最大价值是 dp[1][1]， **注意 这里和  [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 有所不同了**！  

在  [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中，背包先空留出物品1的容量，此时容量为1，只考虑放物品0的最大价值是 dp[0][1]，**因为01背包每个物品只有一个，既然空出物品1，那背包中也不会再有物品1**！ 

而在完全背包中，物品是可以放无限个，所以 即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1，所以此时我们依然考虑放 物品0 和 物品1 的最大价值即： **dp[1][1]， 而不是 dp[0][1]**

所以 放物品1 的情况 = dp[1][1] + 物品1 的价值，推导方向如图：  

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20241126113104.png)


（**注意上图和  [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的区别**，对于理解完全背包很重要）

两种情况，分别是放物品1 和 不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值） 

`dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[1][1] + 物品1 的价值) `

以上过程，抽象化如下：

* **不放物品i**：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。

* **放物品i**：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

递推公式： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);`

（注意，完全背包二维dp数组 和 01背包二维dp数组 递推公式的区别，01背包中是 `dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])`）

### 3. dp数组如何初始化

**关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱**。

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

![动态规划-背包问题2](https://file1.kamacoder.com/i/algo/2021011010304192.png)

在看其他情况。

状态转移方程 `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);` 可以看出有一个方向 i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 `j < weight[0]`的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当`j >= weight[0]`时，**dp[0][j] 如果能放下weight[0]的话，就一直装，每一种物品有无限个**。

代码初始化如下：

```CPP
for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
    dp[i][0] = 0;
}

// 正序遍历，如果能放下就一直装物品0
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
```

（注意上面初始化和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)的区别在于物品有无限个）


此时dp数组初始化情况如图所示：

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20241114161608.png)

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j]  是由上方和左方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

最后初始化代码如下：

```CPP
// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; 
}
```


### 4. 确定遍历顺序

[01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中我们讲过，01背包二维DP数组，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的。 

因为两种遍历顺序，对于二维dp数组来说，递推公式所需要的值，二维dp数组里对应的位置都有。 

详细可以看 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 【遍历顺序】的讲解

所以既可以 先遍历物品再遍历背包：

```CPP 
for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}
```

也可以 先遍历背包再遍历物品：

```CPP  
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}
```

### 5. 举例推导dp数组

以本篇举例数据为例，填满了dp二维数组如图： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20241126113752.png)

因为 物品0 的性价比是最高的，而且 在完全背包中，每一类物品都有无限个，所以有无限个物品0，既然物品0 性价比最高，当然是优先放物品0。 


### 本题代码：


```CPP 
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n, bagWeight;
    int w, v;
    cin >> n >> bagWeight;
    vector<int> weight(n);
    vector<int> value(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }

    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(bagWeight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)
        dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];

    for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }

    cout << dp[n - 1][bagWeight] << endl;

    return 0;
}

```

关于一维dp数组，大家看这里：[完全背包一维dp数组讲解](./背包问题完全背包一维.md)

## 其他语言版本

### Java 

```Java 
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int bagWeight = scanner.nextInt();

        int[] weight = new int[n];
        int[] value = new int[n];

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            weight[i] = scanner.nextInt();
            value[i] = scanner.nextInt();
        }

        int[][] dp = new int[n][bagWeight + 1];

        // 初始化
        for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
        }

        // 动态规划
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
                if (j < weight[i]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }

        System.out.println(dp[n - 1][bagWeight]);
        scanner.close();
    }
}

```

### Go 

### Python 

```python 
def knapsack(n, bag_weight, weight, value):
    dp = [[0] * (bag_weight + 1) for _ in range(n)]

    # 初始化
    for j in range(weight[0], bag_weight + 1):
        dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]

    # 动态规划
    for i in range(1, n):
        for j in range(bag_weight + 1):
            if j < weight[i]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])

    return dp[n - 1][bag_weight]

# 输入
n, bag_weight = map(int, input().split())
weight = []
value = []
for _ in range(n):
    w, v = map(int, input().split())
    weight.append(w)
    value.append(v)

# 输出结果
print(knapsack(n, bag_weight, weight, value))

```

### JavaScript

```js
const readline = require('readline').createInterface({
    input: process.stdin,
    output: process.stdout
});

let input = [];
readline.on('line', (line) => {
    input.push(line.trim());
});

readline.on('close', () => {
    // 第一行解析 n 和 v
    const [n, bagweight] = input[0].split(' ').map(Number);
    
    /// 剩余 n 行解析重量和价值
    const weight = [];
    const value = [];
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        const [wi, vi] = input[i].split(' ').map(Number);
        weight.push(wi);
        value.push(vi);
    }

    
    let dp = Array.from({ length: n }, () => Array(bagweight + 1).fill(0));

    for (let j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j-weight[0]] + value[0];
    }

    for (let i = 1; i < n; i++) {
        for (let j = 0; j <= bagweight; j++) {
            if (j < weight[i]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
    }

    console.log(dp[n - 1][bagweight]);
});

```