# 图论理论基础 

**[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[图论理论基础](https://www.bilibili.com/video/BV1hYNBeYEvb/),相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。

这一篇我们正式开始图论！ 

代码随想录图论中的算法题目将统一使用ACM模式，[为什么要使用ACM模式](./图论为什么用ACM模式.md)

## 图的基本概念 

二维坐标中，两点可以连成线，多个点连成的线就构成了图。

当然图也可以就一个节点，甚至没有节点（空图）

### 图的种类

整体上一般分为 有向图 和 无向图。 

有向图是指 图中边是有方向的： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240510195737.png)

无向图是指 图中边没有方向： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240510195451.png)

加权有向图，就是图中边是有权值的，例如： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240510195821.png) 

加权无向图也是同理。 

### 度 

无向图中有几条边连接该节点，该节点就有几度。 

例如，该无向图中，节点4的度为5，节点6的度为3。

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240511115029.png) 

在有向图中，每个节点有出度和入度。 

出度：从该节点出发的边的个数。

入度：指向该节点边的个数。 

例如，该有向图中，节点3的入度为2，出度为1，节点1的入度为0，出度为2。

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240511115235.png)


## 连通性 

在图中表示节点的连通情况，我们称之为连通性。 

### 连通图 

在无向图中，任何两个节点都是可以到达的，我们称之为连通图 ，如图： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240511102351.png) 

如果有节点不能到达其他节点，则为非连通图，如图： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240511102449.png) 

节点1 不能到达节点4。 

### 强连通图 

在有向图中，任何两个节点是可以相互到达的，我们称之为 强连通图。 

这里有录友可能想，这和无向图中的连通图有什么区别，不是一样的吗？ 

我们来看这个有向图：  

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240511104531.png) 

这个图是强连通图吗？ 

初步一看，好像这节点都连着呢，但这不是强连通图，节点1 可以到节点5，但节点5 不能到 节点1 。

强连通图是在有向图中**任何两个节点是可以相互到达**  

下面这个有向图才是强连通图：

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240511113101.png)


### 连通分量

在无向图中的极大连通子图称之为该图的一个连通分量。 

只看概念大家可能不理解，我来画个图： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240511111559.png) 

该无向图中 节点1、节点2、节点5 构成的子图就是 该无向图中的一个连通分量，该子图所有节点都是相互可达到的。 

同理，节点3、节点4、节点6 构成的子图 也是该无向图中的一个连通分量。  

那么无向图中 节点3 、节点4 构成的子图 是该无向图的联通分量吗？ 

不是！

因为必须是极大联通子图才能是连通分量，所以 必须是节点3、节点4、节点6 构成的子图才是连通分量。 

在图论中，连通分量是一个很重要的概念，例如岛屿问题（后面章节会有专门讲解）其实就是求连通分量。 

### 强连通分量 

在有向图中极大强连通子图称之为该图的强连通分量。 

如图： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240511112951.png)

节点1、节点2、节点3、节点4、节点5 构成的子图是强连通分量，因为这是强连通图，也是极大图。 

节点6、节点7、节点8 构成的子图 不是强连通分量，因为这不是强连通图，节点8 不能达到节点6。 

节点1、节点2、节点5 构成的子图 也不是 强连通分量，因为这不是极大图。 


## 图的构造

我们如何用代码来表示一个图呢？ 

一般使用邻接表、邻接矩阵 或者用类来表示。 

主要是 朴素存储、邻接表和邻接矩阵。 

关于朴素存储，这是我自创的名字，因为这种存储方式，就是将所有边存下来。 

例如图：  

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240511112951.png)

图中有8条边，我们就定义 8 * 2的数组，即有n条边就申请n * 2，这么大的数组： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20250110114348.png)

数组第一行：6 7，就表示节点6 指向 节点7，以此类推。 

当然可以不用数组，用map，或者用 类 到可以表示出 这种边的关系。

这种表示方式的好处就是直观，把节点与节点之间关系很容易展现出来。

但如果我们想知道 节点1 和 节点6 是否相连，我们就需要把存储空间都枚举一遍才行。

这是明显的缺点，同时，我们在深搜和广搜的时候，都不会使用这种存储方式。

因为 搜索中，需要知道 节点与其他节点的链接情况，而这种朴素存储，都需要全部枚举才知道链接情况。 

在图论章节的后面文章讲解中，我会举例说明的。大家先有个印象。

### 邻接矩阵 

邻接矩阵 使用 二维数组来表示图结构。 邻接矩阵是从节点的角度来表示图，有多少节点就申请多大的二维数组。

例如： grid[2][5] = 6，表示 节点 2 连接 节点5 为有向图，节点2 指向 节点5，边的权值为6。

如果想表示无向图，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6，表示节点2 与 节点5 相互连通，权值为6。

如图： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240222110025.png) 

在一个 n （节点数）为8 的图中，就需要申请 8 * 8 这么大的空间。

图中有一条双向边，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6

这种表达方式（邻接矩阵） 在 边少，节点多的情况下，会导致申请过大的二维数组，造成空间浪费。 

而且在寻找节点连接情况的时候，需要遍历整个矩阵，即 n * n 的时间复杂度，同样造成时间浪费。 

邻接矩阵的优点： 

* 表达方式简单，易于理解
* 检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快
* 适合稠密图，在边数接近顶点数平方的图中，邻接矩阵是一种空间效率较高的表示方法。 

缺点： 

* 遇到稀疏图，会导致申请过大的二维数组造成空间浪费 且遍历 边 的时候需要遍历整个n * n矩阵，造成时间浪费 

### 邻接表

邻接表 使用 数组 + 链表的方式来表示。 邻接表是从边的数量来表示图，有多少边 才会申请对应大小的链表。 

邻接表的构造如图： 

![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240223103713.png) 

这里表达的图是： 

* 节点1 指向 节点3 和 节点5 
* 节点2 指向 节点4、节点3、节点5 
* 节点3 指向 节点4 
* 节点4指向节点1 

有多少边 邻接表才会申请多少个对应的链表节点。 

从图中可以直观看出 使用 数组 + 链表 来表达 边的连接情况 。 

邻接表的优点： 

* 对于稀疏图的存储，只需要存储边，空间利用率高 
* 遍历节点连接情况相对容易

缺点： 

* 检查任意两个节点间是否存在边，效率相对低，需要 O(V)时间，V表示某节点连接其他节点的数量。
* 实现相对复杂，不易理解 


**以上大家可能理解比较模糊，没关系**，因为大家还没做过图论的题目，对于图的表达没有概念。 

这里我先不给出具体的实现代码，大家先有个初步印象，在后面算法题实战中，我还会讲到具体代码实现，等带大家做算法题，写了代码之后，自然就理解了。

## 图的遍历方式

图的遍历方式基本是两大类：

* 深度优先搜索（dfs）
* 广度优先搜索（bfs） 

在讲解二叉树章节的时候，其实就已经讲过这两种遍历方式。 

二叉树的递归遍历，是dfs 在二叉树上的遍历方式。 

二叉树的层序遍历，是bfs 在二叉树上的遍历方式。 

dfs 和 bfs 一种搜索算法，可以在不同的数据结构上进行搜索，在二叉树章节里是在二叉树这样的数据结构上搜索。 

而在图论章节，则是在图（邻接表或邻接矩阵）上进行搜索。 

## 总结 

以上知识点 大家先有个印象，上面提到的每个知识点，其实都需要大篇幅才能讲明白的。

我这里先给大家做一个概括，后面章节会针对每个知识点都会有对应的算法题和针对性的讲解，大家再去深入学习。 

图论是非常庞大的知识体系，上面的内容还不足以概括图论内容，仅仅是理论基础而已。 

在图论章节我会带大家深入讲解 深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、并查集、拓扑排序、最小生成树系列、最短路算法系列等等。 

敬请期待！