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# 完全背包理论基础-二维DP数组 本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第52题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052)去练习，题意是一样的。 ## 完全背包 有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次）**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。 **完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件**。 同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。 在下面的讲解中，我拿下面数据举例子： 背包最大重量为4，物品为： | | 重量 | 价值 | | ----- | ---- | ---- | | 物品0 | 1 | 15 | | 物品1 | 3 | 20 | | 物品2 | 4 | 30 | **每件商品都有无限个！** 问背包能背的物品最大价值是多少？ **如果没看到之前的01背包讲解，已经要先仔细看如下两篇，01背包是基础，本篇在讲解完全背包，之前的背包基础我将不会重复讲解**。 * [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) * [01背包理论基础（一维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html) 动规五部曲分析完全背包，为了从原理上讲清楚，我们先从二维dp数组分析： ### 1. 确定dp数组以及下标的含义 **dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。 很多录友也会疑惑，凭什么上来就定义 dp数组，思考过程是什么样的， 这个思考过程我在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 “确定dp数组以及下标的含义” 有详细讲解。 ### 2. 确定递推公式 这里在把基本信息给出来： | | 重量 | 价值 | | ----- | ---- | ---- | | 物品0 | 1 | 15 | | 物品1 | 3 | 20 | | 物品2 | 4 | 30 | 对于递推公式，首先我们要明确有哪些方向可以推导出 dp[i][j]。 这里依然拿dp[1][4]的状态来举例： （[01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中也是这个例子，要注意下面的不同之处） 求取 dp[1][4] 有两种情况： 1. 放物品1 2. 还是不放物品1 如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。 推导方向如图：  如果放物品1， **那么背包要先留出物品1的容量**，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。 容量为1，只考虑放物品0 和物品1 的最大价值是 dp[1][1]， **注意 这里和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 有所不同了**！ 在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中，背包先空留出物品1的容量，此时容量为1，只考虑放物品0的最大价值是 dp[0][1]，**因为01背包每个物品只有一个，既然空出物品1，那背包中也不会再有物品1**！ 而在完全背包中，物品是可以放无限个，所以 即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1，所以此时我们依然考虑放 物品0 和 物品1 的最大价值即： **dp[1][1]， 而不是 dp[0][1]** 所以 放物品1 的情况 = dp[1][1] + 物品1 的价值，推导方向如图：  （**注意上图和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的区别**，对于理解完全背包很重要） 两种情况，分别是放物品1 和 不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值） `dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[1][1] + 物品1 的价值) ` 以上过程，抽象化如下： * **不放物品i**：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。 * **放物品i**：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值 递归公式： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);` （注意，完全背包二维dp数组 和 01背包二维dp数组 递推公式的区别，01背包中是 `dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])`） ### 3. dp数组如何初始化 **关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱**。 首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：  在看其他情况。 状态转移方程 `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);` 可以看出有一个方向 i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。 dp[0][j]，即：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。 那么很明显当 `j < weight[0]`的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。 当`j >= weight[0]`时，**dp[0][j] 如果能放下weight[0]的话，就一直装，每一种物品有无限个**。 代码初始化如下： ```CPP for (int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。 dp[i][0] = 0; } // 正序遍历，如果能放下就一直装物品0 for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; ``` （注意上面初始化和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)的区别在于物品有无限个） 此时dp数组初始化情况如图所示：  dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？ 其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由上方和左方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。 但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。 最后初始化代码如下： ```CPP // 初始化 dp vector
