* [做项目（多个C++、Java、Go、测开、前端项目）](https://www.programmercarl.com/other/kstar.html) * [刷算法（两个月高强度学算法）](https://www.programmercarl.com/xunlian/xunlianying.html) * [背八股（40天挑战高频面试题）](https://www.programmercarl.com/xunlian/bagu.html) # 518.零钱兑换II [力扣题目链接](https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/) 给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。  示例 1: * 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] * 输出: 4 解释: 有四种方式可以凑成总金额: * 5=5 * 5=2+2+1 * 5=2+1+1+1 * 5=1+1+1+1+1 示例 2: * 输入: amount = 3, coins = [2] * 输出: 0 * 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。 示例 3: * 输入: amount = 10, coins = [10] * 输出: 1 注意，你可以假设： * 0 <= amount (总金额) <= 5000 * 1 <= coin (硬币面额) <= 5000 * 硬币种类不超过 500 种 * 结果符合 32 位符号整数 ## 算法公开课 **[《代码随想录》算法视频公开课](https://programmercarl.com/other/gongkaike.html)：[装满背包有多少种方法？组合与排列有讲究！| LeetCode：518.零钱兑换II](https://www.bilibili.com/video/BV1KM411k75j/)，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解**。 ## 二维dp讲解 如果大家认真做完：[分割等和子集](https://www.programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html) ， [最后一块石头的重量II](https://www.programmercarl.com/1049.%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E5%9D%97%E7%9F%B3%E5%A4%B4%E7%9A%84%E9%87%8D%E9%87%8FII.html) 和 [目标和](https://www.programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html) 应该会知道类似这种题目：给出一个总数，一些物品，问能否凑成这个总数。 这是典型的背包问题！ 本题求的是装满这个背包的物品组合数是多少。 因为每一种面额的硬币有无限个，所以这是完全背包。 对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：[完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 但本题和纯完全背包不一样，**纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！** 注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？ 例如示例一： 5 = 2 + 2 + 1 5 = 2 + 1 + 2 这是一种组合，都是 2 2 1。 如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。 **组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序**。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过。 那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关! 本题其实与我们讲过 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 十分类似。 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 求的是装满背包有多少种方法，而本题是求装满背包有多少种组合。 这有啥区别？ **求装满背包有几种方法其实就是求组合数**。 不过 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 是 01背包，即每一类物品只有一个。 以下动规五部曲： ### 1、确定dp数组以及下标的含义 定义二维dp数值 dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的coins[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种组合方法。 很多录友也会疑惑，凭什么上来就定义 dp数组，思考过程是什么样的， 这个思考过程我在 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 “确定dp数组以及下标的含义” 有详细讲解。 （**强烈建议按照代码随想录的顺序学习，否则可能看不懂我的讲解**） ### 2、确定递推公式 > **注意**： 这里的公式推导，与之前讲解过的 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 、[完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 有极大重复，所以我不在重复讲解原理，而是只讲解区别。 我们再回顾一下，[01背包理论基础](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)，中二维DP数组的递推公式为： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])` 在 [完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 详细讲解了完全背包二维DP数组的递推公式为： `dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])` 看去完全背包 和 01背包的差别在哪里？ 在于01背包是 `dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]` ，完全背包是 `dp[i][j - weight[i]] + value[i])` 主要原因就是 完全背包单类物品有无限个。 具体原因我在 [完全背包理论基础（二维）](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 的 「确定递推公式」有详细讲解，如果大家忘了，再回顾一下。 我上面有说过，本题和 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 是一样的，唯一区别就是 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 是 01背包，本题是完全背包。 在[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中详解讲解了装满背包有几种方法，二维DP数组的递推公式： `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]` 所以本题递推公式：`dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - nums[i]]` ，区别依然是 ` dp[i - 1][j - nums[i]]` 和 `dp[i][j - nums[i]]` 这个 ‘所以’ 我省略了很多推导的内容，因为这些内容在 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 和 [完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 都详细讲过。 这里不再重复讲解。 大家主要疑惑点 1、 `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - nums[i]]` 这个递归公式框架怎么来的，在 [494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html) 有详细讲解。 2、为什么是 ` dp[i][j - nums[i]]` 而不是 ` dp[i - 1][j - nums[i]]` ，在[完全背包理论基础（二维）](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 有详细讲解 ### 3. dp数组如何初始化 那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化，这是递推公式推导的基础，如图红色部分： ![](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20240827103507.png) 这里首先要关注的就是 dp[0][0] 应该是多少？ 背包空间为0，装满「物品0」 的组合数有多少呢？ 应该是 0 个， 但如果 「物品0」 的 数值就是0呢？ 岂不是可以有无限个0 组合 和为0！ 题目描述中说了`1 <= coins.length <= 300` ，所以不用考虑 物品数值为0的情况。 那么最上行dp[0][j] 如何初始化呢？ dp[0][j]的含义：用「物品0」（即coins[0]） 装满 背包容量为j的背包，有几种组合方法。 （如果看不懂dp数组的含义，建议先学习[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)） 如果 j 可以整除 物品0，那么装满背包就有1种组合方法。 初始化代码： ```CPP for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { if (j % coins[0] == 0) dp[0][j] = 1; } ``` 最左列如何初始化呢？ dp[i][0] 的含义：用物品i（即coins[i]） 装满容量为0的背包 有几种组合方法。 都有一种方法，即不装。 所以 dp[i][0] 都初始化为1 ### 4. 确定遍历顺序 二维DP数组的完全背包的两个for循环先后顺序是无所谓的。 先遍历背包，还是先遍历物品都是可以的。 原理和 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 「遍历顺序」是一样的，都是因为 两个for循环的先后顺序不影响 递推公式 所需要的数值。 具体分析过程看 [01背包理论基础（二维数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html) 中的 「遍历顺序」 ### 5. 打印DP数组 以amount为5，coins为：[2,3,5] 为例： dp数组应该是这样的： ``` 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 ``` ### 代码实现： ```CPP class Solution { public: int change(int amount, vector& coins) { int bagSize = amount; vector> dp(coins.size(), vector(bagSize + 1, 0)); // 初始化最上行 for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { if (j % coins[0] == 0) dp[0][j] = 1; } // 初始化最左列 for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { dp[i][0] = 1; } // 以下遍历顺序行列可以颠倒 for (int i = 1; i < coins.size(); i++) { // 行，遍历物品 for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列，遍历背包 if (coins[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]]; } } return dp[coins.size() - 1][bagSize]; } }; ``` ## 一维dp讲解 ### 1、确定dp数组以及下标的含义 dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j] ### 2、确定递推公式 本题 二维dp 递推公式： `dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]]` 压缩成一维：`dp[j] += dp[j - coins[i]]` 这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：`dp[j] += dp[j - nums[i]]` ### 3. dp数组如何初始化 装满背包容量为0 的方法是1，即不放任何物品，`dp[0] = 1` ### 4. 确定遍历顺序 本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？ 我在[完全背包（一维DP）](./背包问题完全背包一维.md)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。 **但本题就不行了！** 因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！ 而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。 所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。 本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是组合数。 那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。 我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。 代码如下： ```CPP for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品 for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量 dp[j] += dp[j - coins[i]]; } } ``` 假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。 那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。 **所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！** 如果把两个for交换顺序，代码如下： ```CPP for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量 for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品 if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]]; } } ``` 背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。 **此时dp[j]里算出来的就是排列数！** 可能这里很多同学还不是很理解，**建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）** ### 5. 举例推导dp数组 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下： ![518.零钱兑换II](https://file1.kamacoder.com/i/algo/20210120181331461.jpg) 最后红色框dp[amount]为最终结果。 以上分析完毕，C++代码如下： ```CPP class Solution { public: int change(int amount, vector& coins) { vector dp(amount + 1, 0); // 防止相加数据超int dp[0] = 1; // 只有一种方式达到0 for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品 for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包 dp[j] += dp[j - coins[i]]; } } return dp[amount]; // 返回组合数 } }; ``` C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。 * 时间复杂度: O(mn)，其中 m 是amount，n 是 coins 的长度 * 空间复杂度: O(m) 为了防止相加的数据 超int 也可以这么写： ```CPP class Solution { public: int change(int amount, vector& coins) { vector dp(amount + 1, 0); dp[0] = 1; // 只有一种方式达到0 for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品 for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包 if (dp[j] < INT_MAX - dp[j - coins[i]]) { //防止相加数据超int dp[j] += dp[j - coins[i]]; } } } return dp[amount]; // 返回组合数 } }; ``` ## 总结 本题我们从 二维 分析到 一维。 大家在刚开始学习的时候，从二维开始学习 容易理解。 之后，推荐大家直接掌握一维的写法，熟练后更容易写出来。 本题中，二维dp主要是就要 想清楚和我们之前讲解的 [01背包理论基础](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)、[494. 目标和](https://programmercarl.com/0494.目标和.html)、 [完全背包理论基础](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html) 联系与区别。 这也是代码随想录安排刷题顺序的精髓所在。 本题的一维dp中，难点在于理解便利顺序。 在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。 **如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包**。 **如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品**。 可能说到排列数录友们已经有点懵了，后面我还会安排求排列数的题目，到时候在对比一下，大家就会发现神奇所在！ ## 其他语言版本 ### Java： ```Java class Solution { public int change(int amount, int[] coins) { //递推表达式 int[] dp = new int[amount + 1]; //初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装 dp[0] = 1; for (int i = 0; i < coins.length; i++) { for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { dp[j] += dp[j - coins[i]]; } } return dp[amount]; } } ``` ```Java // 二维dp数组版本，方便理解 class Solution { public int change(int amount, int[] coins) { int[][] dp = new int[coins.length][amount+1]; // 初始化边界值 for(int i = 0; i < coins.length; i++){ // 第一列的初始值为1 dp[i][0] = 1; } for(int j = coins[0]; j <= amount; j++){ // 初始化第一行 dp[0][j] += dp[0][j-coins[0]]; } for(int i = 1; i < coins.length; i++){ for(int j = 1; j <= amount; j++){ if(j < coins[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j]; else dp[i][j] = dp[i][j-coins[i]] + dp[i-1][j]; } } return dp[coins.length-1][amount]; } } ``` ### Python： ```python class Solution: def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int: dp = [0]*(amount + 1) dp[0] = 1 # 遍历物品 for i in range(len(coins)): # 遍历背包 for j in range(coins[i], amount + 1): dp[j] += dp[j - coins[i]] return dp[amount] ``` ### Go： 一维dp ```go func change(amount int, coins []int) int { // 定义dp数组 dp := make([]int, amount+1) // 初始化,0大小的背包, 当然是不装任何东西了, 就是1种方法 dp[0] = 1 // 遍历顺序 // 遍历物品 for i := 0 ;i < len(coins);i++ { // 遍历背包 for j:= coins[i] ; j <= amount ;j++ { // 推导公式 dp[j] += dp[j-coins[i]] } } return dp[amount] } ``` 二维dp ```go func change(amount int, coins []int) int { dp := make([][]int, len(coins)) for i := range dp { dp[i] = make([]int, amount + 1) dp[i][0] = 1 } for j := coins[0]; j <= amount; j++ { dp[0][j] += dp[0][j-coins[0]] } for i := 1; i < len(coins); i++ { for j := 1; j <= amount; j++ { if j < coins[i] { dp[i][j] = dp[i-1][j] } else { dp[i][j] = dp[i][j-coins[i]] + dp[i-1][j] } } } return dp[len(coins)-1][amount] } ``` ### Rust: ```rust impl Solution { pub fn change(amount: i32, coins: Vec) -> i32 { let amount = amount as usize; let mut dp = vec![0; amount + 1]; dp[0] = 1; for coin in coins { for j in coin as usize..=amount { dp[j] += dp[j - coin as usize]; } } dp[amount] } } ``` ### JavaScript： ```javascript const change = (amount, coins) => { let dp = Array(amount + 1).fill(0); dp[0] = 1; for(let i =0; i < coins.length; i++) { for(let j = coins[i]; j <= amount; j++) { dp[j] += dp[j - coins[i]]; } } return dp[amount]; } ``` ### TypeScript： ```typescript function change(amount: number, coins: number[]): number { const dp: number[] = new Array(amount + 1).fill(0); dp[0] = 1; for (let i = 0, length = coins.length; i < length; i++) { for (let j = coins[i]; j <= amount; j++) { dp[j] += dp[j - coins[i]]; } } return dp[amount]; }; ``` ### Scala: ```scala object Solution { def change(amount: Int, coins: Array[Int]): Int = { var dp = new Array[Int](amount + 1) dp(0) = 1 for (i <- 0 until coins.length) { for (j <- coins(i) to amount) { dp(j) += dp(j - coins(i)) } } dp(amount) } } ``` ### C ```c int change(int amount, int* coins, int coinsSize) { int dp[amount + 1]; memset(dp, 0, sizeof (dp)); dp[0] = 1; // 遍历物品 for(int i = 0; i < coinsSize; i++){ // 遍历背包 for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){ dp[j] += dp[j - coins[i]]; } } return dp[amount]; } ``` ### C# ```csharp public class Solution { public int Change(int amount, int[] coins) { int[] dp = new int[amount + 1]; dp[0] = 1; for (int i = 0; i < coins.Length; i++) { for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { if (j >= coins[i]) dp[j] += dp[j - coins[i]]; } } return dp[amount]; } } ```