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& prices) { int result = 0; for (int i = 0; i < prices.size(); i++) { for (int j = i + 1; j < prices.size(); j++){ result = max(result, prices[j] - prices[i]); } } return result; } }; ``` * 时间复杂度：O(n^2) * 空间复杂度：O(1) 当然该方法超时了。 ### 贪心 因为股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。 C++代码如下： ```CPP class Solution { public: int maxProfit(vector& prices) { int low = INT_MAX; int result = 0; for (int i = 0; i < prices.size(); i++) { low = min(low, prices[i]); // 取最左最小价格 result = max(result, prices[i] - low); // 直接取最大区间利润 } return result; } }; ``` * 时间复杂度：O(n) * 空间复杂度：O(1) ### 动态规划 动规五部曲分析如下： 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，**这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？** 其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金 **注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态** 很多同学把“持有”和“买入”没分区分清楚。 在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。 2. 确定递推公式 如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来 * 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0] * 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i] 那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来 * 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1] * 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0] 同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]); 这样递归公式我们就分析完了 3. dp数组如何初始化 由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出 其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。 那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0]; dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0; 4. 确定遍历顺序 从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。 5. 举例推导dp数组 以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：  dp[5][1]就是最终结果。 为什么不是dp[5][0]呢？ **因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！** 以上分析完毕，C++代码如下： ```CPP // 版本一 class Solution { public: int maxProfit(vector& prices) { int len = prices.size(); if (len == 0) return 0; vector> dp(len, vector(2)); dp[0][0] -= prices[0]; dp[0][1] = 0; for (int i = 1; i < len; i++) { dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]); } return dp[len - 1][1]; } }; ``` * 时间复杂度：O(n) * 空间复杂度：O(n) 从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。 ``` dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]); ``` 那么我们只需要记录 当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了，可以使用滚动数组来节省空间，代码如下： ```CPP // 版本二 class Solution { public: int maxProfit(vector& prices) { int len = prices.size(); vector> dp(2, vector(2)); // 注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组 dp[0][0] -= prices[0]; dp[0][1] = 0; for (int i = 1; i < len; i++) { dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]); dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]); } return dp[(len - 1) % 2][1]; } }; ``` * 时间复杂度：O(n) * 空间复杂度：O(1) 这里能写出版本一就可以了，版本二虽然原理都一样，但是想直接写出版本二还是有点麻烦，容易自己给自己找bug。 所以建议是先写出版本一，然后在版本一的基础上优化成版本二，而不是直接就写出版本二。 ## 其他语言版本 Java： ```java // 贪心思路 class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { int minprice = Integer.MAX_VALUE; int maxprofit = 0; for (int i = 0; i < prices.length; i++) { if (prices[i] < minprice) { minprice = prices[i]; } else if (prices[i] - minprice > maxprofit) { maxprofit = prices[i] - minprice; } } return maxprofit; } } ``` ```java // 解法1 class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { if (prices == null || prices.length == 0) return 0; int length = prices.length; // dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益 // dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益 int[][] dp = new int[length][2]; int result = 0; dp[0][0] = -prices[0]; dp[0][1] = 0; for (int i = 1; i < length; i++) { dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]); dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]); } return dp[length - 1][1]; } } ``` ``` java class Solution { // 动态规划解法 public int maxProfit(int[] prices) { // 可交易次数 int k = 1; // [天数][交易次数][是否持有股票] int[][][] dp = new int[prices.length][k + 1][2]; // bad case dp[0][0][0] = 0; dp[0][0][1] = Integer.MIN_VALUE; dp[0][1][0] = Integer.MIN_VALUE; dp[0][1][1] = -prices[0]; for (int i = 1; i < prices.length; i++) { for (int j = k; j >= 1; j--) { // dp公式 dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]); dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]); } } return dp[prices.length - 1][k][0] > 0 ? dp[prices.length - 1][k][0] : 0; } } ``` Python： > 贪心法： ```python class Solution: def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int: low = float("inf") result = 0 for i in range(len(prices)): low = min(low, prices[i]) #取最左最小价格 result = max(result, prices[i] - low) #直接取最大区间利润 return result ``` > 动态规划：版本一 ```python class Solution: def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int: length = len(prices) if len == 0: return 0 dp = [[0] * 2 for _ in range(length)] dp[0][0] = -prices[0] dp[0][1] = 0 for i in range(1, length): dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i]) dp[i][1] = max(dp[i-1][1], prices[i] + dp[i-1][0]) return dp[-1][1] ``` > 动态规划：版本二 ```python class Solution: def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int: length = len(prices) dp = [[0] * 2 for _ in range(2)] #注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组 dp[0][0] = -prices[0] dp[0][1] = 0 for i in range(1, length): dp[i % 2][0] = max(dp[(i-1) % 2][0], -prices[i]) dp[i % 2][1] = max(dp[(i-1) % 2][1], prices[i] + dp[(i-1) % 2][0]) return dp[(length-1) % 2][1] ``` Go： ```Go func maxProfit(prices []int) int { length:=len(prices) if length==0{return 0} dp:=make([][]int,length) for i:=0;ib{ return a } return b } ``` JavaScript： > 动态规划 ```javascript const maxProfit = prices => { const len = prices.length; // 创建dp数组 const dp = new Array(len).fill([0, 0]); // dp数组初始化 dp[0] = [-prices[0], 0]; for (let i = 1; i < len; i++) { // 更新dp[i] dp[i] = [ Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]), Math.max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]), ]; } return dp[len - 1][1]; }; ``` > 贪心法 ```javascript var maxProfit = function(prices) { let lowerPrice = prices[0];// 重点是维护这个最小值（贪心的思想） let profit = 0; for(let i = 0; i < prices.length; i++){ lowerPrice = Math.min(lowerPrice, prices[i]);// 贪心地选择左面的最小价格 profit = Math.max(profit, prices[i] - lowerPrice);// 遍历一趟就可以获得最大利润 } return profit; }; ``` ----------------------- * 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw) * B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321) * 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)