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## 最短路径
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### 一、BFS算法（无权图）
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由`广度优先算法`求最短路径：
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```c
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//图的广度优先搜索（用图的邻接矩阵、领接表都可以，只是FirstNeighbor和NextNeighbor函数实现不一样）
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bool visited[MAX_VERTEX_NUM]; //访问标记数组
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void BFSTraverse(Graph G){ //对图G进行广度优先搜索
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for(v=0; v<G.vexnum; ++v){
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visited[v] = false; //初始化访问标记数组
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}
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InitQueue(Q); //初始化辅助队列Q
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for(v=0; v<G.vexnum; ++v){
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if(!visited[v]){ //对每个连通分量调用一次BFS
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BFS(G,v); //vi没访问过，从vi开始BFS
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}
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}
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}
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void BFS(Graph G, int v){
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visit(v); //访问初始顶点v
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visited[v] = true; //对v做已访问标记
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EnQueue(Q, v); //顶点v入队
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while(!isEmpty(Q)){ //队列不空则循环
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DeQueue(Q, v); //顶点v出队
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for(w=FirstNeighbor(G,v); w>=0; w=NextNeighbor(G,v,w)){//检测v所有的邻接顶点
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if(!visited[w]){ //w为v尚未访问的邻接顶点
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visit(w); //访问顶点w
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visited[w] = true; //对w做已访问标记
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EnQueue(Q, w); //顶点w入队
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}
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}
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}
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}
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```
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实现方式：
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用两个数组：
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①`d数组`：记录各点的路径长度。
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②`path数组`：记录各点的前驱。
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`时间复杂度`：
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`邻接矩阵`=$$O(|V|^2)$$，`邻接表`=$$O(|V|+|E|)$$
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```c
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//用BFS求顶点U到其它顶点的最短路径（只改了visit函数调用的两行）
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#define INFINITY 4294967295 //宏定义常量“无穷”，4294967295为最大的int值
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bool visited[MAX_VERTEX_NUM]; //访问标记数组
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void BFS(Graph G, int v){
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//d[i]表示从u到i结点的最短路径
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for(i=0; i<G.vexnum; ++i){
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d[i] = INFINITY; //初始化路径长度
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path[i] = -1; //最短路径从哪个顶点过来
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}
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d[u] = 0; //从u开始
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visited[v] = true; //对v做已访问标记
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EnQueue(Q, v); //顶点v入队
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while(!isEmpty(Q)){ //队列不空则循环
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DeQueue(Q, v); //顶点v出队
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for(w=FirstNeighbor(G,v); w>=0; w=NextNeighbor(G,v,w)){//检测v所有的邻接顶点
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if(!visited[w]){ //w为v尚未访问的邻接顶点
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d[w] = d[u] + 1; //路径长度加1
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path[w] = u; //最短路径应从u到w
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visited[w] = true; //对w做已访问标记
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EnQueue(Q, w); //顶点w入队
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}
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}
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}
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}
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```
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### 二、Dijkstra算法（迪杰斯特拉算法）（带权图、无权图）
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`BFS算法的局限性：不适用带权图`
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实现方式：
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用两个数组：
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①`final数组`：记录各顶点是否已找到最短路径。
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②`dist数组`：记录各点的最短路径长度。
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③`path数组`：记录各点路径上的前驱。
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每轮遍历**final**数组，第一遍找到**dist**最低的顶点，然后加入；第二遍循环遍历更新各点的**dist**值和**path**值。
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则`时间复杂度`=$$O(|V|^2)$$
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`Dijkstra算法的局限性：不适用负权值带权图`。
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### 三、Floyd算法（弗洛伊德算法）（带权图、无权图）
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实现方式：
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用两个二维数组：
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①`A数组`：记录各顶点之间目前的最短路径长度
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②`path数组`：记录两点之间的第一个中转点。
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以某一点为中转点遍历二维数组，更新两个数组，将所有点作为中转点都遍历一遍，形成三重循环
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则`时间复杂度`=$$O(|V|^3)$$，`空间复杂度`=$$O(|V|^2)$$。
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`Floyd算法的局限性：不适用负权值带权图`。
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```c
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//省略初始化A和path数组
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//Floyd算法的核心
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for(int k=0; k<n; k++){ //考虑以Vk作为中转点
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for(int i=0; i<n; i++){ //遍历整个矩阵，i为行号，j为列号
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for(int i=0; i<n; i++){
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if(A[i][j] > A[i][k] + A[k][j]){ //以Vk作为中转点的路径更短
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A[i][j] = A[i][k] + A[k][j]; //更新最短路径长度
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path[i][j] = k; //中转点
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}
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}
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}
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}
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```
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