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2019-10-02 16:52:24 +08:00
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thu_dsa/chp11/kmp.md
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@@ -64,7 +64,7 @@ K[0, next[i] - 1] = K[i - next[i] ,i - 1]
next[i] = next[i - 1] + 1;
```
可是如果不满足`P[i-1] = P[next[i-1]]`，则上一个位置的最长自匹配长度将在新的位置断裂，此时必有`next[i] <= next[i-1]`，所以只能到子串`P[0, next[i-1]]`中去寻找新的最长自匹配长度。由于`P[0, next[i-1]] = P[i-2-next[i-1] ,i-2]`，因此`next[next[i-1]] + 1`是`next[i]`的下一个候选值，如果有
可是如果不满足`P[i-1] = P[next[i-1]]`，则上一个位置的最长自匹配长度将在新的位置断裂，此时必有`next[i] <= next[i-1]`，所以只能到子串`P[0, next[i-1])`中去寻找新的最长自匹配长度。由于`P[0, next[i-1]) = P[i-1-next[i-1] ,i-1)`，因此`next[next[i-1]] + 1`是`next[i]`的下一个候选值，如果有
```c
P[i-1] == P[next[next[i-1]]];
@@ -95,7 +95,7 @@ int* makeNext(char* str){
应该看到，`next`表的构造的代码非常类似于`kmp`算法，这是因为`next`的构造本质上就是模式串的自我匹配，这个过程就是利用`kmp`的思想实现的。
可以证明，`kmp`算法的时间复杂度是`O(m + n)`。证明如下：令`k = 2i - j`，在每一次迭代中，要么执行`i++, j++`，要么执行`j = next[j]`，其中`next[j] < j`，因此每次迭代中`k`都至少增加1，而`k`的最大值不过为`2n`，即循环至多进行`O(n)`次，每一次的时间复杂度都是`O(1)`，故总的时间复杂度为`O(n)`。
可以证明，`kmp`算法的时间复杂度是`O(m + n)`。证明如下：令`k = 2i - j`，在每一次迭代中，要么执行`i++, j++`，要么执行`j = next[j]`，其中必然满足`next[j] < j`，因此每次迭代中`k`都至少增加1，而`k`的最大值不过为`2n`，即循环至多进行`O(n)`次，每一次的时间复杂度都是`O(1)`，故总的时间复杂度为`O(n)`。
## kmp的改进