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Shine wOng
2019-06-01 15:55:01 +08:00
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thu_dsa/chp5/chp5.md
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@@ -103,11 +103,11 @@ $$
针对某一个字符集$\Sigma$，考虑一棵带权编码树T，其带权平均叶节点深度(wald, weighted average leaf depth)为$wald(T)$。该字符集中权值最小的两个字符为`x`, `y`。
考察另一个字符集$\Sigma^{'} = (\Sigma\\{x, y}) \cup {z}$，即字符集$\Sigma$排除掉`x`, `y`，在添加一个字符`z`，其权重等于`x`, `y`权重之和。其编码树为$T^{'}$。可以证明，如果$T^{'}$是最优带权编码树的话，那么$T$也是一棵最优带权编码树。
考察另一个字符集$\Sigma^{'} = (\Sigma\\{x, y}) \cup {z}$，即字符集$\Sigma$排除掉`x`, `y`，再添加一个字符`z`，其权重等于`x`, `y`权重之和。其编码树为$T^{'}$。可以证明，如果$T^{'}$是最优带权编码树的话，那么$T$也是一棵最优带权编码树。
设$T^{'}$的带权平均叶节点深度为$wald(T^{'})$，那么$T$的平均带权叶节点深度
$$
wald(T) = wald(T^{'}) + W_a + W_b
$$
假设$T$并不是最优带权编码树，则存在一个比$T$更优的编码树$T_1$，满足$wald(T_1) < wald(T)$，那么将$T_1$中`x`和`y`结点合并成为`z`结点，对应的编码树$T_{1}^{'}$满足$wald(T_{1}^{'}) = wald(T_1) + W_a + W_b$，所以$T_{1}^{'}$是一棵比$T^{'}$更优的带权编码树，与假设矛盾。
假设$T$并不是最优带权编码树，则存在一个比$T$更优的编码树$T_1$，满足$wald(T_1) < wald(T)$，那么将$T_1$中`x`和`y`结点合并成为`z`结点，对应的编码树$T_{1}^{'}$满足$wald(T_{1}^{'}) = wald(T_1) - W_a - W_b < wald(T^{'})$，所以$T_{1}^{'}$是一棵比$T^{'}$更优的带权编码树，与假设矛盾。