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thu_dsa/chp9/hash.md

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+Conclusions on HashTable
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+## 散列的基本概念
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+> 什么是散列？为什么需要散列？
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+据邓公所说，散列是一种思想。与已经学过的其他数据结构相比较，向量是采用循秩访问(call by rank)的访问方式，列表是采用循位置访问(call by position)的访问方式，二叉搜索树是采用循关键码访问(call by key)的访问方式，散列与他们都不一样，是采用循值访问(call by value)的访问方式。
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+举个例子，你现在身处同济大学嘉定校区，四周是一片荒芒，这个时候你想回家了。沿世界上所有的街道一间一间房找过去，这是循秩访问；你记得你家是住在四川省成都市某街道多少号，然后你可以依次先到四川省，再到成都市，再到某条街道，然后找到你家，这是循关键码访问；而循值访问，则是你通常会采用的方法——你根本不用去回想我家的地址是多少，你知道它就在那里，就在家这个词刚刚出现在你的脑海中的时候。想到家乡，你想到的不是地址或者一串数字，而是一个生动的影像，包含它的环境，四周的风物，已经曾经的朋友。这就是循值访问。
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+可以看到，相对于其他的访问方式，循值访问是将被访问对象的数值，与它在容器中的位置之间，直接建立了一个映射关系，从而对于任何对象的基本操作（访问，插入，删除）都只需要常数$O(1)$的时间，达到了最理想的境地。这就是人类需要散列的原因，你无法不被如此的诱惑所吸引。
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+> 完美散列
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+在时间与空间性能上均达到完美的散列，称为完美散列。
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+也就是说，对于完美散列，其中的每一个值，都可以唯一地映射到散列表中的一个位置，既无空余，亦无重复。从映射角度来看，完美散列是一个单射，同时也是一个满射。Bitmap就是完美散列的一个例子。
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+可以看出，完美散列实际中并不常见，在大多数的情形下，关键码的取值是远远大于词条的个数的，设关键码的取值为$[0, R)$, 词条的个数为$N$，则$R >> N$。设散列表的大小为$M$，此时，从定义域$[0, R)$到值域$[0, M)$的映射不可能是单射，即不可避免地会出现不同的关键码映射到散列表中的同一个位置，即所谓冲突。因此就需要合理地选择这一个映射关系，即散列函数，使冲突出现的可能性最小；同时还应该事先约定好一旦出现这种冲突，应该采取的解决访问。这两个问题将在下面重点讨论，即散列函数的设计与冲突解决方案。
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+## 散列函数的设计
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+> 散列函数的设计方案？什么是好的散列函数？
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+前面提到，从词条空间到地址空间的映射，即散列函数，绝对不可能是单射，冲突是一定不可能避免的，但是好的散列函数应该保证尽可能地少出现冲突。由此，可以提炼出散列函数的几个设计指标。
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++ 确定性。散列函数确定的条件下，同一个关键码应该总是映射到同一个地址，这样才满足一个函数的定义。
++ 快速性。是指散列地址的计算过程要尽可能快，要能在常数时间内完成。
++ 满射。好的散列函数最好是一个满射，这样可以充分利用散列空间，尽可能地减少冲突的发生。
++ 均匀性。也是为了减少冲突的发生，关键码被映射到各个散列地址的概率应该接近于$1/M$，这样可以防止汇聚(clustering)现象的发生，即关键码只被映射到少数的几个散列地址，在局部加剧散列冲突，全局的散列空间也没有得到充分地利用。
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+### 几个散列函数的实例
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+> 除余法(division method)
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+除余法的整体思路非常简单，即用关键码的值对散列表的长度$M$取余，即$hash(key) = key mod M$，这样可以将关键码映射到整个散列空间上。
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+这里问题的关键在于散列表长度$M$的选择。考虑有一组数据，其中的关键码的固定步长$S$变化（实际中的数据往往就是这种形式的，而不是随机的，例如for循环一般就是固定步长的数据）。根据上面对散列函数设计要求的分析，我们是希望散列函数可以尽可能地减少冲突。设第$i$个数据与第$j$个数据的关键码发生冲突，即
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+S\times i \equiv S\times j\ (mod M)
+$$
+即$Si$与$Sj$是同余类，所以
+$$
+S(j - i) \equiv 0 \ (mod M)
+$$
+由此可解得
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+j - i = \frac{M}{gcd(M, S)}
+$$

thu_dsa/hash.md

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-Conclusions on Hashing
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-## 散列函数的设计
-散列函数无非一个映射，其功能无非是将词条空间中的元素映射到散列表地址空间，其中前者远远大于后者，所以绝不可能是一个单射
-好的散列函数
-	- 确定性：同一关键码总是被映射到同一地址
-	- 快速
-	- 满射：充分利用散列空间
-	- 均匀：避免汇聚clustering。
-散列函数
-	- 除余法
-	- MAD法
-	- 折叠法