update chp1

thu_dsa/chp1.md

@@ -127,12 +127,62 @@ $$n^a + n^b <= n^a + n^a = 2 * n^a = O(n^a)$$
 
 #### big $\Omega$ notation
 
-big $\Omega$ notation是标志了算法运行时间的下届，即最好情况，其定义如下:
+big $\Omega$ notation是标志了算法运行时间的下界，即最好情况，其定义如下:
 
-_若存在函数f(n)和正的常数c，使得在渐进的条件(n >> 2)下，T(n) >= c·f(n)，则可以认为f(n)给出了T(n)增长速度的一个下届(最好情况)，记T(n) = $\Omega$(f(n))_
+_若存在函数f(n)和正的常数c，使得在渐进的条件(n >> 2)下，T(n) >= c·f(n)，则可以认为f(n)给出了T(n)增长速度的一个下界(最好情况)，记T(n) = $\Omega$(f(n))_
 
 #### big $\Theta$ notation
 
 big $\Theta$ notation 是标志算法运行时间的平均情况，它也具有相似的定义:
 
 _若存在函数f(n)和正的常数c1和c2，使得在渐进的条件(n >> 2)下，c1·f(n) < =T(n) <= c2·f(n)，则可以认为f(n)给出了T(n)增长速度的平均情况，记T(n) = $\Theta$(f(n))_
+
+
+## 大O记号的运用：计算
+
+接下来是讨论大O记法应该怎么用，具体说来就是如何计算大O记法下算法的时间复杂度。这又分为两种情况，即迭代的计算和递归的计算。这是因为，其他非迭代以及非递归的算法都是常数的时间复杂度，在渐进的条件下可以忽略。
+
+### 循环(迭代)算法大O的计算：级数求和
+
+其实，简单说来，就是分析各层循环执行的次数，然后求和。在渐进的条件下，就是级数求和问题。
+
+所以要进行计算循环的时间复杂度，首先需要知道各种常见级数的求和方法，现列举如下:
+
++ 幂方级数: 比幂次高出一阶
+	- $T_2(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = /frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = O(n^3)$
+	- $T_3(n) = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = /frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} = O(n^4)$
+	- $T_4(n) = 1^4 + 2^4 + 3^4 + ... + n^4 = /frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30} = O(n^3)$
+	- ...
+	- $T_k(n) = 1^k + 2^k + 3^k + ... + n^k = /int_{0}^{n}x^k{d}x = \frac{x^{k+1}}{k+1}|_{0}^{n} = O(n^{k+1}))$
++ 几何级数: 与末项同阶
++ 收敛级数
++ 不收敛的级数
+	- 调和级数
+	- 对数级数 $\log1 + \log2 + \log3 + ... + \logn = \log(n!) = \Theta(n\logn)$
+
+邓公说，计算的时候还是要灵活对待。最好可以画一个图分析，图上的每一个点代表一次循环，这样图的面积就是时间复杂度。
+
+### 递归算法的大O计算
+
+递归算法计算时间复杂度一般就有两个方法:
+
++ 递归跟踪(recursion trace): 通过跟踪到每一个递归调用，其总和的运行时间，就是算法的执行时间。
+
++ 递推方程(recurrence): 通过递推的表达式，写出不同规模问题运行时间的递推公式，通过求解递推公式，从而求解。
+
+详情可见邓公的教材和讲义，有一些实例。
+
+## 动态规划
+
+动态规划是一种程序设计思想。即分析程序运行的时间复杂度以及其机理，从而不断地优化程序的执行时间。例如重新设计算法，以避免递归过程中的重复操作。或者直接化递归程序为迭代程序。
+
+一般设计程序时，很难一开始就想出一个完美的解，一般人都是先想出一个易于实现的，可以运行的算法。但是其时间复杂度往往很高，例如递归的程序，由于逻辑简单，一般都容易想出一个递归的版本，但是递归的程序往往开销过大。
+
+在有了一个可以运行的版本后，再分析已有程序的运行过程，对其进行优化，比如规避递归程序的冗余，或者利用栈模拟操作系统的函数栈，写一个非递归的代码。这整个过程就是动态规划。
+
+关于动态规划，主要是有几个例子
+
++ 斐波拉契数
++ LCS
+
+可以查看邓公的网课和讲义，我自己也有代码实现。