Add tSort, prim, dijkstra to Graph conclusion.

thu_dsa/chp6/Graph.md

@@ -172,3 +172,146 @@ DFS的时间复杂度也与BFS一致。
 > dfs的应用。
 
 dfs是图遍历算法中最重要的一个。大量与图相关的算法都是由dfs导出的，比如连通分量分解，拓扑排序等。此外，dfs还可以用来做带权图的最短路径算法框架。
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+## 拓扑排序
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+> 什么是拓扑排序？
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+事物之间往往会有一个依赖关系，因此形成一个了先后次序关系。比如我得先学好`Vector`和`List`，才能来学习依赖于两者的树，从而才能学习依赖于树的图结构。它们之间的这种次序就构成了一个拓扑顺序。
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+对于一般的有向图而言，就是要找到一个线性序列，使得对于任意个顶点x，排在它后面的顶点一定不会是当前顶点的前驱顶点。这个序列表示在访问x之前，x的所有前驱顶点一定要首先被访问。这个序列就是原图的一个拓扑排序(Topological Sort)。
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+要注意拓扑排序通常都是研究有向图，因为它反映了事物的一个先后次序。无向图不具有这样一个先后的次序，研究它的拓扑排序是没有意义的。
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+> 有向无环图与拓扑排序。
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+接下来要解决的一个问题就是，什么样的图具有拓扑排序？因为直观上来看，有环图必然是没有拓扑排序的。因此，接下来我们重要要研究的是就是有向无环图(DAG, Directed Acyclic Graph)。
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+那么，所有的DAG都具有拓扑排序吗？答案是是的，为了证明这个答案，我劝你还是学完离散数学再来吧......
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+> 拓扑排序的构造方法。
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+根据拓扑排序的定义进行构造。拓扑排序的每一步，都是寻找依赖项已经完成访问的顶点。因此，作为拓扑排序的起点，必然是一个入度为零的顶点，表示该顶点不依赖于任何其他顶点。从这里我们也可以看出，拓扑排序并不是唯一的，因为同时没有依赖的顶点可能有多个，此时它们都可以等效地加入拓扑排序的序列中。
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+在将任意一个准备被访问的顶点加入拓扑排序序列中后，相当于图中依赖于该顶点的其他顶点已经满足了对其的依赖关系，因此可以将该顶点从图中删除，以及删除与该顶点有联系的所有边。接下来的图仍然是一个DAG，从而可以将算法递归地进行下去，直到图中不再有任何顶点为止。
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+> 基于dfs的拓扑排序算法
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+其实，我们对比拓扑排序的定义以及dfs遍历的次序，可以发现它们之间具有某种相似性。对于拓扑排序而言，每次是选择入度为零的顶点加入拓扑排序序列；而对于dfs而言，只有当一个顶点的所有邻居都访问完毕后，这个顶点才会被标记`VISITED`，这样dfs中第一个被访问的顶点，必然是出度为零的顶点，而倘若没访问结束一个顶点，就将该顶点删除，那么dfs每一步都是访问出度为零的顶点。可以看出，dfs的访问次序，恰好是拓扑排序的逆序。
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+其实，上面的结论并不是偶然，而是由dfs的特性决定的--在dfs中，对于当前顶点x，总是需要优先访问完所有依赖于它的顶点，才能进行对x的访问。这恰好是拓扑排序的对称情况。
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+为了完成对图的拓扑排序，只需要逆序输出它的dfs访问序列就可以了。为此，我们需要引入一个栈用以延迟缓冲。
+
+```cpp
+template <typename Tv, typename Te>
+bool Graph<Tv, Te>::tSort(int x, Stack<int> &S){
+	status(x) = DISCOVERED;
+	for(int w = firstNeighbor(x); w != -1; w = nextNeighbor(x, w)){
+		switch(status(w)){
+			case UNDISCOVERED:
+				if(!tSort(w, S)) return false;
+				break;
+
+			case DISCOVERED:
+				return false;//cyclic graph
+
+			case VISITED:
+			default:
+				break;
+		}
+	}
+	status(x) = VISITED;
+	S.push(x);
+}
+```
+
+代码执行结束后，拓扑排序序列就存储在栈`S`中。需要注意的是，利用dfs的环路检测的性质，可以轻易地判断当前图是否是一个DAG，一旦发现一个环路，就可以立即终止循环，并且报告不可拓扑排序。
+
+由于该算法是采用dfs的框架，其时间复杂度也和dfs一样，为$O(n + e)$。
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+## 双连通域的分解
+
+## 优先级搜索
+
+## 最小支撑树
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+> 什么是最小支撑树(MST, Minimal Spanning Tree)
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+沿用之前对树的定义，树是一个极大无环图和极小连通图。最小支撑树也满足这样的定义。
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+对于任意一个无向连通图而言，例如若干城市和它们之间的道路组成的网络，从某一个城市出发到达另一个城市往往具有若干条不同的道路，所谓条条大路通罗马。这个网络的一棵支撑树，就是只通过最少的路径数，就能将该网络的所有城市都连接起来的若干通路。如果再考虑这些不同的通路之间具有不同的权重，例如时间成本不同，具有最小权重和的一棵支撑树，就是最小支撑树(MST)。
+
+> 如何建立连通图的最小支撑树？
+
+据邓公所说，蛮力算法需要$O(n^{n-2})$的时间复杂度，是根据Cayley公式，我还比较懵......
+
+首先考虑一种较为一般的情况。考虑图G顶点集V，V的一个非平凡子集U以及U的补集V\U构成了G的一个割。最小支撑树总是会采用每一割的最短跨越边。
+
+根据上面的性质，就可以得到构造最小支撑树的算法：总是将原图视作一个割，两个顶点集分别是已经加入到最小支撑树中的顶点和未加入的顶点。通过找到这个割的最短跨越边，从而将一个新的顶点加入到最小支撑树中。这样不断地迭代，知道最小支撑树覆盖了全图的所有顶点。
+
+这里比较复杂的问题是，如何快速地找到当前割的最短跨越边，为此，可以模仿dijkstra算法，维护一个数组，来保存所有未加入最小支撑树的顶点到最小支撑树的路径，每加入一个新的顶点，将这个数组进行更新。这里并没有真正地用一个数组，而是用每个顶点的`priority`字段来保存这个信息。
+
+```cpp
+template <typename Tv, typename Te>
+void Graph<Tv, Te>::primPU(int x){
+	for(int w = firstNeighbor(x); w != -1; w = nextNeighbor(x, w))
+		if(status(w) == UNDISCOVERED){
+			if(weight(x, w) < priority(w)) priority(w) = weight(x, w);
+			parent(w) = x;
+		}
+}
+```
+
+通过优先级搜索的框架，即可以完成最小支撑树的生成。
+
+## 最短路径
+
+最短路径的定义与应用意义不言而喻，我们直接讨论如何求得最短路径的算法。
+
+> 最短路径树
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+在任意一个带权网络中，考察从源点到其余各个顶点的最短路径，它们之间并不组成任何回路。因此将它们组合在一起，可以构成最短路径树(SPT, Shortest Path Tree)。
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+需要注意的是，SPT和MST不一样。
+
+> Dijkstra算法
+
+首先来考虑最短路径具有的若干性质。
+
+考虑从源点s到任意顶点v的最短路径，其路径上还有若干其他顶点。那么该路径上从s到这些顶点的一段，也是从s到这些顶点的最短路径。这个性质是容易证明的，因为否则的话，从s到v还有一条更短的路径，这与一开始的假设矛盾。
+
+从上面的性质可以看出，为了构造从s到某一顶点的最短路径，首先需要构造从s到该顶点路径上更前面顶点的最短路径。将图中各点按距离s的远近次序由近到远排个序，就构成了最短路径子树序列。
+因此为了构造从源点s到所有其他顶点的最短路径，需要依次找到距离s最近的$u_1, $u_2, ..., u_k$，从而完成最短路径树的构造。
+
++ 首先需要找到距离s最近的顶点$u_1$。实际上，$u_1$是s的邻居中距离s最近的顶点。这是因为，倘若存在s的非邻居顶点$x$，距离s的距离比$u_1$更近，那么它必然通过某个顶点$y$与s连接，$y$是s的邻居顶点。所以，$x$到s的距离为
+$$
+dist(x, s) = dist(x, y) + dist(y, s)
+$$
+。而
+$$
+dist(y, s) > dist(u_1, s)
+$$
+，所以$x$到s的距离实际上比$u_1$远，故$u_1$才是距离s最近的顶点。
+
++ 已知$u_k$，找到接下来距离s最近的顶点$u_{k + 1}$。这个顶点就是所有的与
+s以及$u_1$到$u_k$连通的顶点中，距离s最近的一个。这个的证明和前面的原理一致，可以自己试试。
+
+至此，我们已经归纳地证明了最短路径树序列的构造方法，而这个算法，就是Dijkstra算法。
+
+同样地，找到当前的具有最短距离的顶点，具有一定的困难。为此，同样引入一个数组来保存前面已经保存了的距离信息，一旦有新的顶点加入最短路径序列中，就将这个数组进行更新。
+
+```cpp
+template <typename Tv, typename Te>
+void Graph<Tv, Te>::dijkstraPU(int x){
+	for(int w = firstNeighbor(x); w != -1; w = nextNeighbor(x, w)){
+		if(status(w) == UNDISCOVERED){
+			if(weight(x, w) + priority(x) < priority(w))
+				priority(w) = weight(x, w) + priority(x);
+				parent(w)   = x;
+		}
+	}
+}
+```
+
+