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2019-09-29 20:51:50 +08:00
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thu_dsa/chp9/skiplist.md
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@@ -7,13 +7,13 @@
![skiplist_structure](skiplist.png)
用地铁站对跳转表打一个比方，设想有一个城市的地铁分为多层，其中最底层的地铁要经过该城市的所有站台；所有这些站台中，有一些人流量很密集的站台，为它们在上一层设立一条新的地铁线路，因为该线路只经过这些大站台，因此运行速度可以更快。当人们乘坐地铁的时候，为了到了某一个小站台，最快捷的方案显然是先做大站车到距离小站台最近的大站台，当然在乘坐最底层的慢车到达某个小站。跳转表就是这样一种思路，通过在上层列表节点间的快速跳转，来迅速查找到某个数据。
用地铁站对跳转表打一个比方，设想有一个城市的地铁分为多层，其中最底层的地铁要经过该城市的所有站台；所有这些站台中，有一些人流量很密集的站台，为它们在上一层设立一条新的地铁线路，因为该线路只经过这些大站台，因此运行速度可以更快。当人们乘坐地铁的时候，为了到了某一个小站台，最快捷的方案显然是先做大站车到距离小站台最近的大站台，然后再乘坐最底层的慢车到达某个小站。跳转表就是这样一种思路，通过在上层列表节点间的快速跳转，来迅速查找到某个数据。
从上面的图中也可以看到，跳转表的结构就类似于一棵搜索树，上层列表对应了搜索树中高度较高的节点，而底层列表对应了搜索树中的叶节点。实际上，根据跳转表发明者的定义，跳转表是基于概率实现的对平衡二叉树的一种替代方案，它使用概率来实现平衡，而非强制的平衡，因而对于插入和删除节点比传统平衡树更为高效。
## 跳转表的结构
从宏观上来看，跳转表是由多层的列表组成的，为了实现不同层之间列表的跳转，列表中的每个节点除了要有前向后向指针以外，还需要同时具有上下的指针，来表示不同层次地铁的“换乘路径”。为此，需要修改`list`的实现中关于`ListNode`的定义，为其增加上下的指针，即形成下面的`QuadNode`类型：
从宏观上来看，跳转表是由多层的列表组成的，为了实现不同层之间列表的跳转，列表中的每个节点除了要有前向后向的指针以外，还需要同时具有上下的指针，来表示不同层次地铁的“换乘路径”。为此，需要修改`list`的实现中关于`ListNode`的定义，为其增加上下的指针，即形成下面的`QuadNode`类型：
```cpp
template <typename T>
@@ -67,7 +67,7 @@ n + n / 2 + n / 4 + ...... + 2 + 1 < 2n = O(n)
### 跳转表的搜索算法
实际上，在上面地铁那里已经叙述过跳转表的搜索算法了，即首先坐上层的大战车快速到达距离小站最近的位置，然后换乘底层的小站车。用算法的语言描述，即自上而下，自左而右地搜索，对于每一层的列表，从左至右遍历它的每一个元素，直到发现第一个大于搜索值`key`的元素，然后后退一步，如果当前节点的`key`值等于搜索值，则成功返回，否则表示应该在这里下车换乘了。如果当前列表还不是最底层，则切换到下一层的列表，并且重复上面的操作，直到查找成功，或者因为不存在该`key`值而查找失败。
实际上，在上面地铁那里已经叙述过跳转表的搜索算法了，即首先坐上层的大站车快速到达距离小站最近的位置，然后换乘底层的小站车。用算法的语言描述，即自上而下，自左而右地搜索，对于每一层的列表，从左至右遍历它的每一个元素，直到发现第一个大于搜索值`key`的元素，然后后退一步，如果当前节点的`key`值等于搜索值，则成功返回，否则表示应该在这里下车换乘了。如果当前列表还不是最底层，则切换到下一层的列表，并且重复上面的操作，直到查找成功，或者因为不存在该`key`值而查找失败。
这里的搜索算法将基于遵循前面列表的约定，即总是返回不大于`key`值节点中的最靠右者。跳转表的搜索算法实现如下：
```cpp
@@ -93,10 +93,12 @@ QuadNode<entry<K, V>>* SkipList<K, V>::skipSearch(K key) {
考虑搜索过程的逆过程，即从底层列表向右向上移动，该移动过程可以描述为：在某一层不断向右移动，直到发现了第一个向上生长的节点，或者直到到达第一个可以换乘的大站。设某一层横向移动的次数为`K`，有
$$
\begin{aligned}
P(K = 0) = p\\
P(K = 1) = (1 - p)p\\
...\\
P(K = k) = (1 - p)^{k - 1}p, k = 1, 2, ...
\end{aligned}
$$
即随机变量`K`服从几何分布，其期望`EK = 1`，即在每一层的期望移动次数仅为`1`，这样一次搜索过程中的横向跳转次数不超过`h`。故得证。
@@ -109,7 +111,7 @@ $$
在定位了插入位置后，为了将新的词条插入，首先需要将插入位置指针强制转移到底层，从最底层开始插入，完成实质性的插入操作只需要修改前后词条的指针即可。此后，还需要保证`生长概率逐层减半`，可以通过一个随机数来实现，如果生成的随机数是奇数（或偶数），则继续在上一层插入，这个过程不断重复，直到生成的随机数表示不继续插入。
为了将新的词条在上一层插入，需要找到该词条在上一层的前驱后者后继节点。一种策略是遍历上一层的全部节点，直到找到新词条的前驱或者后继，其时间复杂度为`O(n)`，毋庸置疑，这种策略的开销太高了。为了快速地找到新词条的后继，可以沿用搜索过程中的跳转策略，具体说来就是在当前层次继续向后遍历，直到发现第一个向上生长的节点，在这里向上层跳转，就是新词条的后继节点了。在前面也已经证明过了，这种遍历进行次数的期望仅为`O(1)`，因此插入的时间复杂度，主要是消耗在了`search`过程中，其总体的时间复杂度也是`O(logn)`。插入过程的具体代码如下：
为了将新的词条在上一层插入，需要找到该词条在上一层的前驱或者后继节点。一种策略是遍历上一层的全部节点，直到找到新词条的前驱或者后继，其时间复杂度为`O(n)`，毋庸置疑，这种策略的开销太高了。为了快速地找到新词条的后继，可以沿用搜索过程中的跳转策略，具体说来就是在当前层次继续向后遍历，直到发现第一个向上生长的节点，在这里向上层跳转，就是新词条的后继节点了。在前面也已经证明过了，这种遍历进行次数的期望仅为`O(1)`，因此插入的时间复杂度，主要是消耗在了`search`过程中，其总体的时间复杂度也是`O(logn)`。插入过程的具体代码如下：
```cpp
template <typename K, typename V>
@@ -152,7 +154,7 @@ bool SkipList<K, V>::put(K key, V value){
## 跳转表的删除算法
跳转表的删除策略基本是类似插入的策略的，而且还要更加简单，因为不需要寻找被删除词条的前驱或者后继节点。具体的算法是，首先调用一次`search`对被删除的词条进行定位，随后即可自上而下依次对各层次中的该词条进行删除，由于这种删除至多会进行`h`次，因此删除操作的时间复杂度也仍然是`O(h) = O(logn)`。删除操作的具体代码如下：
跳转表的删除策略基本是类似于插入的策略的，而且还要更加简单，因为不需要寻找被删除词条的前驱或者后继节点。具体的算法是，首先调用一次`search`对被删除的词条进行定位，随后即可自上而下依次对各层次中的该词条进行删除，由于这种删除至多会进行`h`次，因此删除操作的时间复杂度也仍然是`O(h) = O(logn)`。删除操作的具体代码如下：
```cpp
template <typename K, typename V>