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Shine wOng
2019-06-14 10:59:42 +08:00
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@@ -41,7 +41,7 @@ $$
对于树高为h的AVL树我们说它的结点数不少于$fib(h + 3) - 1$,其中$fib(1) = 1, fib(2) = 1$。从而包含n个结点的AVL树其高度不超过$O(logn)$从而AVL树是一棵适度平衡的BST。其证明如下
+ 首先对于树高为1的平凡的情况$n = 1, h = 0$$fib(h + 3) - 1 = 2 - 1 = 1$,满足上述结论。
+ 对于任意树高h结点最少的情况下其左右子树树高分别为$h - 1, h - 2$,从而结点数$T(h) \ge T(h - 1) + T(h - 2) + 1 \ge = fib(h + 2) + fib(h + 1) - 1 = fib(h + 3) - 1$。故得证。
+ 对于任意树高h结点最少的情况下其左右子树树高分别为$h - 1, h - 2$,从而结点数$T(h) \ge T(h - 1) + T(h - 2) + 1 \ge fib(h + 2) + fib(h + 1) - 1 = fib(h + 3) - 1$。故得证。
由于Fibonacci数呈现一个指数级数所以反过来任意含n个结点的AVL树其树高不高于$O(logn)$。