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Data-Structrue/7-graph.md

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 + 生成子图：若有满足$V(G')=V(G)$的子图$G'$，则$G'$是$G$的生成子图。（即子图包含所有顶点，但不一定包含所有的边）
 + 连通分量：无向图$G$中的极大连通子图称为$G$的连通分量；对任何连通图而言，连通分量就是其自身。
 + 强连通分量：有向图$G$中的极大连通子图称为$G$的强连通分量；对任何强连通图而言，强连通分量就是其自身。
-+ 极大连通子图：是图的连捅分量，要求连通子图包含其所有的边。
-+ 极小连通子图：要保持图连通也要让边数最小的子图。
 + 生成树：包含连通图中全部顶点的一个极小连通子图。若图的顶点为$n$，则其生成树包含$n-1$条边，若去掉生成树的一条边则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。
 + 生成森林：在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。
 
+对于无向图：
+
++ 极大连通子图：用来讨论图的连通分量，要求连通子图包含其所有的边。
+  + 连通图的极大连通子图就是它本身。
+  + 非连通图中有多个连通分量（不同的点相连从而连通），也就是可以有多个极大连通子图。
++ 极小连通子图：用来讨论图的生成树，要保持图连通也要让边数最小的子图。
+  + 极小连通子图只在无向图中才有。
+  + 极小连通子图中包含图中全部的顶点（和极大不同，极大不要求包含所有的顶点）。
+  + 用边将极小连通图中的所有边都连接起
+  + 极小连通子图和生成树的概念不是等价的，生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
+
+对于有向图：
+
++ 极大强连通子图：
+  + 强连通图的极大强连通子图为其本身。（是唯一的）
+  + 非强连通图有多个极大强连通子图。（非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量）
++ 不存在极小强连通子图的概念，因为树没有方向性。
+
 无向图研究连通性，有向图研究强连通性。
 
 #### 连通与边点关系
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 #### 连通概念关系
 
 + 有向完全图是强连通有向图。（完全就代表所有边都有双向弧，强连通代表所有边都有双向路径，条件更强）
-+ 生成树是原图的无环子图、极小连通子图且点集相同。
++ 生成树是原图的无环子图、极小连通子图且点集相同。（不是连通分量）
 
 ### 图的权
 
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 设图$G$的邻接矩阵为$A$，矩阵元素为$0$或$1$，则$A^n$的元素$A^n[i][j]$表示由顶点$v_{i+1}$到顶点$v_{j+1}$的长度为$n$的路径的数目。
 
-邻接表的表示方式是唯一的。
+邻接矩阵的表示方式是唯一的。
 
 ### 邻接表
 
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 空间复杂度为$O(\vert V\vert+\vert E\vert)$。
 
+邻接多重表表示是不唯一的。
+
 ## 图的基本操作
 
 ### 图查找
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 性质：
 
-+ 邻接矩阵实现时的时间复杂度为$O(\vert V\vert^2)$，邻接表实现时的时间复杂度为$O(\vert V\vert+\vert E\vert)$；空间复杂度为$O(\vert V\vert)$。
 + 邻接表的深度优先序列会优先选择每个顶点的第一个相邻顶点，即顶点链中的第一个元素。
 + 邻接矩阵方式唯一所以深度优先序列唯一，而邻接表方式不唯一，所以深度优先序列不唯一。
 + 使用$DFS$算法递归地遍历一个无环有向图，并在退出递归时输出相应顶点，这样得到的顶点序列是逆拓扑有序。（因为栈的先进后出特性）
++ 邻接矩阵实现时的时间复杂度为$O(\vert V\vert^2)$，邻接表实现时的时间复杂度为$O(\vert V\vert+\vert E\vert)$；空间复杂度为$O(\vert V\vert)$。
 
 相关概念：