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   1. 数据发送、接受方约定一个“除数”。
   2. K个信息位+R个校验位作为“被除数”，添加校验位后需保证除法的余数为0。
   3. 收到数据后，进行除法检查余数是否为0。
-
++ 得到CRC码的方法：
+  1. 确定K和R以及生成多项式对应的二进制码。其中R位生成多项式的最高次幂数。
+  2. 将信息码左移R位，低位补0。
+  3. 使用模二除法。
+  4. 余数就是校验位，只比多项式少一位。
+  5. 对全部数据进行多项式除，余数为0代表无措。
+  6. 若余数不为0，则出错。
+  7. 若$n$个信息位，$k$个校验位，若生成多项式得当，且$2^k\geqslant n+k+1$，则CRC码可纠正一位错。实际上基本上不怎么用来纠错。
 
 ## 定点数
 
+指小数点的位置不变，使用常规计数法，如96.94。
+
+### 定点数表示
+
+#### 无符号数
+
++ 整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。
++ $n$位无符号数表示范围为$[0,2^n-1]$。
++ 无符号数不涉及小数。
+
+#### 有符号数
+
++ 定点整数：最高一位是符号位，0是正，1是负，小数点位置一般隐含在最后。
++ 定点小数：最高一位是符号位，0是正，1是负，小数点位置隐含在符号位后面。
++ 数值部分也称为尾数。要保存一个非整数需要保存定点整数与定点小数两个部分。
+
+#### 原码
+
++ 原码：用尾数表示真值的绝对值，符号位“0/1”对应“正/负”。
++ 若机器字长为n+1位，则尾数占n位。
++ 若使用1B来保存数值，则+19D就是0001 0011，-19D就是1001 0011。
++ 有时1001 0011会写为1,0010011，其中的逗号只是为了标注正负号，本身是不存在的。
++ 若未指明机器字长，则最开头的多个0可以省略。如1001 0011可以表示为1,10011。
++ 同理小数也可以使用1.11表示，这是指-0.11。
++ 若机器字长$n+1$位，则原码整数的表示范围是$[-(2^n-1),2^n-1]$。
++ 若机器字长$n+1$位，则原码小数的表示范围是$[-(1-2^{-n}),1-2^{-n}]$。
++ 原码表示时真值0有+0和-0两种形式。
+
+#### 反码
+
++ 反码：若符号位为0，则反码与原码相同，若符号位为1，则数值位全部取反。
++ 可以转换为原码再取反。
++ 若机器字长$n+1$位，则反码整数的表示范围是$[-(2^n-1),2^n-1]$。
++ 若机器字长$n+1$位，则反码小数的表示范围是$[-(1-2^{-n}),1-2^{-n}]$。
++ 反码表示时真值0有+0和-0两种形式。
++ 反码只是由原码转换为补码的一个中间态，实际上并没有作用。
+
+#### 补码
+
++ 补码：若符号位为0，则反码与原码相同，若符号位为1，则数值位全部取反再加一，即反码加一。
++ 补码表示时真值0只有一种形式0000 0000。
++ 多出来的一种形式1000 0000表示$-2^7$和$-1$。
++ 若机器字长$n+1$位，则补码整数的表示范围是$[-2^n,2^n-1]$。
++ 若机器字长$n+1$位，则补码小数的表示范围是$[-1,1-2^{-n}]$。
++ 将负数补码转回原码的方法相同：尾数取反，末位加一。补码的补码就是原码。
++ 如果已知一个数值的补码，那么求这个值的负数的补码就是全部位取反，末位加一。
++ 如果已知一个负数的补码，那个求这个值的原码就是数值位取反再加一，或是负数补码中，最右边的1以及右边不变，最右边的1的左边取反。
+
+#### 移码
+
++ 补码的基础上将符号位取反。
++ 移码只能用于表示整数，而不能表示定点小数。
++ 若机器字长$n+1$位，则移码整数的表示范围是$[-2^n,2^n-1]$。
++ 若机器字长$n+1$位，则移码小数的表示范围是$[-1,1-2^{-n}]$。
++ 移码由于负数的最高位为0，正数的最高位为1，从而能更方便对比大小。
+
+机器数|无符号数|原码|反码|补码|移码
+:----:|:------:|:--:|:--:|:--:|:--:
+0000 0000|0|+0|+0|0|-128
+0000 0001|1|+1|+1|+1|-127
+...
+0111 1101|125|+125|+125|+125|-3
+0111 1110|126|+126|+126|+126|-2
+0111 1111|127|+127|+127|+127|-1
+1000 0000|128|-0|-127|-128|0
+1000 0001|129|-1|-126|-127|1
+1000 0010|130|-2|-125|-126|2
+...
+1111 1101|253|-125|-2|-3|125
+1111 1110|254|-126|-1|-2|126
+1111 1111|255|-127|-0|-1|127
+
+#### 补码作用
+
++ 原码在计算时由于首位表示的是符号，所以需要考虑将加减运算转换的问题，而减法实现起来比较困难，就考虑是否可以将减法通过加法来实现。
++ 由于计算机码操作若最高位进一就被舍弃，则天然是进行模运算，所以可以通过数学模运算来实现机器码的运算。
++ 带余除法：设$x,m\in Z$，$m>0$则存在唯一决定的整数$q$和$r$，使得$x=q\cdot m+r\,,0\leqslant r<m$。
++ 若两个数绝对值之和为模，则互为补数。即模-数的绝对值=数的补数（正数）。从而数加上数的补数就得到了模。
++ 补码就是正数不变，负数取模的结果。如-66=- 0100 0010，而(1000 0000 - 0100 0010)mod(1111 1111)=1011 1110，也就是其补码。
++ 从而就可以用补数的加法替代原码转换的减法。
++ 所以补码可以让减法操作转换为加法操作，减少硬件成本。
+
+### 定点数运算
+
+#### 移位运算
+
++ 算术移位：通过改变各介数码位和小数点的相对位置，从而改变各数码位的位权。可用移位运算实现乘法、除法。
+  + 原码的算数移位——符号位保持不变，仅对数值位进行移位：
+    + 若右移高位补0，低位舍弃，右移代表除2，若移出的是0则刚好整除，若移出的是1则会整除余1丢失精度。
+    + 若左移低位补0，低位舍弃，左移代表乘2，若移出的是0则刚好乘2，若移出的是1，则会严重误差。
+  + 反码的算术移位——正数的反码与原码相同，所以正数的处理跟原码一样。而对于负数而言，反码的1等于原码的0，反码的0等于原码的1：
+    + 若右移高位补1，低位舍弃。
+    + 若左移高位补1，低位舍弃。
+  + 补码的算术移位——正数的补码与原码相同，所以正数的处理跟原码一样。由于负数补码=反码末位加一，导致反码最右边几个连续的1都因进位而变为0，直到进位碰到第一个0为止。所以得到规律：
+    + 负数补码中，最右边的1及其右边同原码一样。最右边的1的左边同反码一样。
+    + 右移同反码，高位补1，低位舍弃。
+    + 左移同原码，低位补0，高位舍弃。
++ 逻辑移位，可以视为对无符号数的算术移位：
+  + 逻辑右移：高位补0，低位舍弃。
+  + 逻辑左移：低位补0，高位舍弃。
++ 循环移位，将移出的一位放到另一端的端点，类似队列：
+  + 循环右移：将最低位的一位移出放到最高位，其余右移一位。
+  + 循环左移：将最高位的一位移出放到最低位，其余左移一位。
+  + 进位位CF：保存计算是否进位。1代表产生进位，0代表未产生进位。
+  + 带进位位的循环左移：需要加上进位位数值的循环左移。
+  + 带进位位的循环右移：需要加上进位位数值的循环右移。
+
+#### 加减运算
+
++ 原码的加减，由加法器和减法器两个硬件来实现，因为最高位为符号位，所以不能直接进行加减：
+  + 原码的加法：
+    + 正数+正数：绝对值做加法，结果为正数。
+    + 负数+负数：绝对值做加法，结果为负数。
+    + 正数+负数：绝对值大的减绝对值小的，符号同绝对值大的数。
+    + 负数+正数：绝对值大的减绝对殖小的，符号同绝对值大的数。
+  + 原码的减法，减数符号取反，转变为加法：
+    + 正-负→正+正。
+    + 负-正→负+负。
+    + 正-正→正+负。
+    + 负+正→负-负。
++ 补码的加减，由于减法器的硬件实现比较困难，所以原码的减法操作可以由补码来更简单实现，不用考虑符号位的异常，直接全部参与运算：
+  + 如设机器字长为8位含一位符号位，A=15，B=-24，求A+B和A-B的补码。
+  + A=+1111，从而原码补码为0000 1111，B=-11000，所以原码为1001 1000，反码为1110 0111，补码为1110 1000。
+  + 所以A+B的补码等于A的补码加B的补码，为0000 1111+1110 1000=1111 0111，原码就是1000 1001，即-9，这与预期的一样。
+  + 同理负数值的补码就是补码全部取反加1，所以A-B=0000 1111+0001 1000=0010 0111，即+39。
++ 溢出判断，由于使用补码进行加减操作都会变成加法，所以只用考虑加法溢出的处理。
+  + 小于最小值就是下溢。只有负数+负数才会下溢得到正数。如-24-124=1110 1000+1000 0100=0110 1100=108。
+  + 大于最大值就是上溢。只有正数+正数才会上溢得到负数。如15+124=0000 1111+0111 1100=1000 1011=-117。
+  + 方法一，采用一位符号位（模二补码），根据符号位判断：
+    + 设A的符号为$A_s$，B的符号为$B_s$，运算结果的符号为$S_s$。
+    + 则溢出逻辑表达式为$V=A_sB_s\overline{S_s}+ \overline{A_s}\overline{B_s}S_s$（即$V=A_s\&\&B_s\&\&!(S_s)\mid\mid!(A_s)\&\&!(B_s)\&\&S_s$）。
+    + 若$V=0$，表示无溢出，若$V=1$，表示有溢出。
+    + 如-24-124=108产生了溢出，$A_s=1$、$B_s=1$、$S_s=0$，$V=A_sB_s\overline{S_s}+ \overline{A_s}\overline{B_s}S_s=1\,1\,1+0\,0\,0=1+0=1$，所以产生了溢出。
+  + 方法二，采用一位符号位（模二补码），根据数据位进位1情况判断：
+    + 符号位的进位$C_s=0$，最高数值位的进位$C_1=1$时产生了上溢。
+    + 符号位的进位$C_s=1$，最高数值位的进位$C_1=0$时产生了下溢。
+    + 如-24-124=1110 1000+1000 0100=0110 1100中符号位都为1，所以符号位进1，$C_s=1$，而最高数值位为1+0=1，没有进位，所以$C_1=0$，所以就产生了下溢。
+  + 方法三，采用双符号位（模四补码），正数符号为00，负数符号为11。
+    + 若两个符号位不同，则表示溢出，第一个符号位表示应该得到的符号位，第二个符号位代表实际得到的符号位。
+    + 如-24-124=11,110 1000+11,000 0100=10,110 1100=108。下溢。
+    + 如15+124=00,000 1111+00,111 1100=01,000 1011=-117。上溢。
+    + 实际存储时只存储一个符号位，运算时会复制一个符号位。
++ 符号扩展
+
+#### 乘法运算
+
+#### 除法运算
+
 ## 浮点数
 
+指小数点的位置不固定，使用科学计数法，如9.694E2。
+
 ## 算术逻辑单元